AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

Transkript

1 AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a m a l a r ı» i s i m l i k i t a p t a n h a z ı r l a n m ı ş t ı r.

2 1.4 Yüklemler ve Niceleyiciler Yüklemler «x>3», «x=y+3», «x+y=z» ve «Bilgisayar x, bir saldırgan tarafından saldırı altında» ve «Bilgisayar x, düzgün çalışıyor» gibi değişkenleri kapsayan bildirimler, matematiksel iddialarda, bilgisayar programlarında ve sistem özelliklerinde sıkça bulunur. Değişkenlerin değerleri belirtilmediği zaman bu ifadeler ne doğru ne de yanlıştır. «x büyüktür 3» ifadesi, iki bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde, x değişkeni bildirimin konusudur. İkinci bölüm- yüklem, «3 ten büyüktür» açıklamasına konu olabilecek bir özellik anlamına gelir. «x büyüktür 3» ifadesini P(x) ile belirtebiliriz. Burada P, «3 ten büyüktür» yüklemini belirtir ve x bir değişkendir. P(x) ifadesi aynı zamanda önerme x noktasında P önerme fonksiyonunun değeri olarak da söylenebilir. Bir kere x değişkenine değer atandığında P(x) ifadesi bir önerme olur ve doğruluk değeri vardır.

3 1.4 Yüklemler ve Niceleyiciler Yüklemler ÖRNEK: P(x), «x>3» ifadesini belirtsin. P(4) ve P(2) nin doğruluk değerleri ne olur? ÇÖZÜM: P(4) ifadesini «x>3» ifadesinde x yerine 4 yazarak elde ederiz. Böylece P(4), ifadesi 4>3, doğrudur. Bununla birlikte P(2) ifadesi, 2>3, yanlıştır.

4 1.4 Yüklemler ve Niceleyiciler Yüklemler ÖRNEK: A(x) «Bilgisayar x bir saldırgan tarafından saldırı altında.» ifadesini belirtsin. Kampüsteki bilgisayarlardan halen sadece CS2 ve MATH1 in saldırganlar tarafından saldırı altında olduğunu varsayalım. A(CS1), A(CS2) ve A(MATH1) in doğruluk değerleri nelerdir? ÇÖZÜM: A(CS1) ifadesini «Bilgisayar x bir saldırgan tarafından saldırı altında.» ifadesinde x=cs1 yazarak elde ederiz. CS1 saldırı altnda olan bilgisayarların listesinde olmadığından A(CS1) yanlış sonucuna varırız. Benzer olarak CS2 ve MATH1 saldırganlar tarafından saldırı altnda olan bilgisayarların listesinde olduğundan A(CS2) ve A(MATH1) doğrudur.

5 1.4 Yüklemler ve Niceleyiciler Yüklemler Ayrıca, birden fazla değişken içeren ifadeler olabilir. Örneğin, «x=y+3» ifadesini ele alalım. Bu ifadeyi Q(x,y) ile belirtebiliriz. Burada x ve y değişkenler ve Q yüklemdir. x ve y değişkenlerine değerler atandığında Q(x,y) ifadesinin bir doğruluk değeri olur. ÖRNEK: «x=y+3» ifadesini Q(x,y) ile belirtelim. Q(1,2) ve Q(3,0) önermelerinin doğruluk değerleri nedir? ÇÖZÜM: Q(1,2) yi elde etmek için Q(x,y) ifadesinde x=1, y=2 koyalım. Böylece Q(1,2) ifadesi «1=2+3» olur ki bu da yanlıştır. Q(3,0) ifadesi «3=0+3» olur ki bu da doğrudur.

6 1.4 Yüklemler ve Niceleyiciler Yüklemler ÖRNEK: A(c n), «c bilgisayarı, n ağına bağlıdır.» ifadesini göstersin. Burada c bir bilgisayarı temsil eden bir değişken ve n bir ağı temsil eden bir değişkendir. MATH1 bilgisayarının CAMPUS2 ağına bağlı fakat CAMPUS1 ağına bağlı olmadığını kabul edelim. A(MATH1, CAMPUS1) ve A(MATH1, CAMPUS2) nin değerleri nelerdir? ÇÖZÜM: MATH1, CAMPUS1 ağına bağlı olmadığından, A(MATH1, CAMPUS1) in yanlış olduğunu görüyoruz. MATH1, CAMPUS2 ağına bağlı olduğundan A(MATH1, CAMPUS2) nin doğru olduğunu görüyoruz.

7 1.4 Yüklemler ve Niceleyiciler Yüklemler Benzer şekilde, «x+y=z» ifadesini R(x, y, z) ile gösterebiliriz. x, y ve z değişkenlerine değerler atandığı zaman bir doğruluk değeri olur. ÖRNEK: R(1, 2, 3) ve R(0, 0, 1) önermelerinin doğruluk değerleri nedir? ÇÖZÜM: R(1, 2, 3) önermesi R(x, y, z) ifadesinde x=1, y=2 ve z=3 yerlerine yazılarak elde edilir. R(1, 2, 3) önermesinin «1+2=3» ifadesine eşit olduğunu görürüz ve bu da doğrudur. Aynı zamanda R(0, 0, 1) önermesi «0+0=1» ifadesine eşittir ve yanlıştır.

8 1.4 Yüklemler ve Niceleyiciler Yüklemler Genel olarak n tane x 1, x 2... x n değişkenlerini içeren bir ifade P(x 1, x 2... x n ) n-değişkenler grubunda P önermeli fonksiyonun değeridir ve p aynı zamanda n- yerli yüklem veya n-li yüklem olarak adlandırılır. Önermeli (önermesel) fonksiyonlar aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi, bilgisayar programlarında görülür. ÖRNEK: İf x>0 then x:= x+1 ifadesini ele alalım. Bu deyimle, bir programda karşılaşıldığı zaman, programın icrasında x noktasındaki değeri P(x) de koyularak elde edilir. Burada «x>0» dır. Eğer x in bu değeri için P(x) doğruysa x:=x+1 çalıştırılır, böylece x in değeri 1 artar. Eğer x in bu değeri için P(x) yanlışsa atama ifadesi çalıştırılmaz, böylece x in değeri değişmez.

9 ÖN KOŞULLAR VE SON KOŞULLAR Yüklemler aynı zamanda bilgisayar programlarının doğruluğunun gösterilmesinde kullanılır, geçerli girdi verildiğinde bilgisayar programlarının her zaman istenilen çıktıyı ürettiğini göstermek için kullanılır. Eğer program doğruluğu gerçekleştirilmediyse, tüm girdi değerleri test edilmeden, bir bilgisayar programının her girdi için istenilen çıktıyı ürettiğini, ne kadar çok test yaparsak yapalım bilemeyiz. Geçerli giriş tanımlayan ifadeler önşartlar olarak bilinir, program çalıştığında çıkışın sağladığı şartlar son şartlar olarak bilinir.

10 1.4 Yüklemler ve Niceleyiciler Niceleyiciler Bir önermesel fonksiyonda değişkenlerin değerleri atandığı zaman, çıkan ifade belli bir doğruluk değeri olan bir önerme olur. Ancak, bir önermesel fonksiyondan bir önerme oluşturmak için niceleme olarak adlandırılan başka önemli bir yol vardır. Niceleme bir yüklemin bir aralıktaki öğeler üzerinde gerçek olduğu dereceyi ifade eder. Hep, bazı, birçok, hiçbiri ve birkaç kelimeleri niceleyiciler olarak kullanılmaktadır. Evrensel niceleme, inceleme altındaki her eleman için doğru olduğunu söyleyen bir yüklemdir ve varoluşsal niceleme, doğru olan yüklem için inceleme altında bir ya da daha fazla öğe olduğunu söyler. Yüklemler ve niceleyiciler ile ilgilenen bu mantık alanı yüklemli temel matematik olarak adlandırılır.

11 EVRENSEL NİCELEME Matematiksel ifadelerin, birçoğu bir özelliğin belirli bir tanım bölgesindeki bir değişkenin tüm değerler için geçerli olduğunu iddia eder. Bu tanım bölgesi söylem alanı (veya söylem evreni) olarak adlandırılır, genellikle sadece etki alanı olarak adlandırılır. Böyle bir ifade evrensel niceleme kullanılarak ifade edilir. Belirli bir tanım bölgesi için P(x) in evrensel nicelemesi, bu tanım bölgesindeki bütün x değerleri için P(x) in doğru olduğunu ileri süren önermedir. Tanım bölgesini değiştirdiğimizde P(x) evrensel nicelemesinin anlamı değişir. Evrensel bir nicelik kullanıldığında tanım bölgesi her zaman belirtilmelidir. Bu yapılmazsa, bir ifadenin evrensel nicelemesi tanımlı değildir.

12 EVRENSEL NİCELEME TANIM 1: P(x) evrensel nicelemesi «Tanım bölgesindeki tüm x değerleri için P(x)» ifadesidir. x P(x) gösterimi p(x) için evrensel bir niceleme gösterir. Burada evrensel niceleyici olarak adlandırılır. x P(x) i «Tüm x P(x) için» veya «Her x P(x) için» şeklinde okuruz. Yanlış olan bir P(x) elemanı x P(x) in bir karşı örneği olarak adlandırılır. Tablo 1. Niceleyiciler İfade Doğru olduğunda Yanlış olduğunda x P(x) P(x) her bir x için geçerli P(x) in yanlış olduğu bir x değeri vardır. x P(x) P(x) in doğru olduğu bir x sayısı vardır. P(x) her x için yanlıştır.

13 EVRENSEL NİCELEME ÖRNEK: P(x), «x+1>x» ifadesi olsun. x P(x) nicellemesinin doğruluk değeri nedir? Burada tanım bölgesi tüm gerçek sayılardan oluşur. ÇÖZÜM: P(x) tüm x gerçek sayıları için geçerli olduğundan x P(x) nicellemesi doğrudur. NOT: Genellikle üstü kapalı bir varsayım, boş olmayan niceleyiciler için söylemin bütün tanım bölgelerinde yapılır. P(x) in yanlış olduğu tanım bölgesinde herhangi bir x elemanı olmadığından, herhangi bir önermesel P(x) fonksiyonu için tanım bölgesi boş ise o zaman x P(x) in doğru olduğuna dikkat ediniz.

14 EVRENSEL NİCELEME Bunun yanı sıra «tümü için» ve «her için» evrensel niceleyicileri, «hepsi», «herhangi bir», «keyfi için», «her biri için» ve «herhangi biri için» ifadelerini de içeren pek çok başka şekillerde de ifade edilebilir. NOT: «herhangi bir» ifadesini «her» veya «bazı» anlamında kullanmak genellikle belirsiz olduğundan «herhangi bir x için» ifadesini kullanmak kaçınmaktan en iyisidir. Bazı durumlarda, mesela negatif olarak kullanıldığında «herhangi bir» ifadesi belirsiz değildir. Örneğin, «incelemekten kaçınmak için herhangi bir neden yoktur.»

15 EVRENSEL NİCELEME ÖRNEK: Q(x), «x<2» ifadesi olsun. Tanım bölgesi bütün gerçek sayılar içeriyorsa x Q(x) niceleyicisinin doğruluk değeri nedir? ÇÖZÜM: Örneğin, Q(3) yanlış olduğundan Q(x) her x reel sayısı için geçerli değildir. Yani x=3, x Q(x) ifadesi için bir ters örnektir. Böylece x Q(x) yanlıştır.

16 EVRENSEL NİCELEME Tanım bölgesindeki tüm elemanlar x 1, x 2,..., x n şeklinde listelenerek söylendiğinde, x P(x) evrensel niceleyicisi, P(x 1 ), P(x 2 ),..., P(x n ) niceleyicilerinin hepsi doğru olduğunda doğru olduğundan P(x 1 ) ^ P(x 2 ) ^... ^P(x n ) ile aynıdır. ÖRNEK: P(x) ifadesi «x 2 <10» olduğunda ve tanım bölgesi 4 ü geçmeyen pozitif tamsayılar olduğunda x P(x) in doğruluk değeri nedir? ÇÖZÜM: Tanım bölgesi 1, 2, 3 ve 4 tam sayılarından oluştuğundan x P(x) ifadesi P(1) ^ P(2) ^ P(3) ^ P(4) birleşimi ile aynıdır. P(4) yani «4 2 <10» yanlış olduğundan x P(x) yanlıştır.

17 VAROLUŞSAL NİCELEYİCİ Matematiksel ifadelerin birçoğunun belli bir özelliği olan bir eleman olduğu iddia edilir. Bu tür ifadeler varoluşsal niceleme kullanılarak ifade edilir. Varoluşsal niceleme ile doğru bir önerme oluşturulması için gerek ve yeter şart tanım bölgesindeki en az bir x elemanı için P(x) in doğru olmasıdır. TANIM 2: P(x) in varoluşsal nicelemesi «Tanım bölgesinde P(x) olacak şekilde bir x elemanı olmalıdır.» önermesidir. x P(x) gösterimini P(x) in varoluşsal nicelemesi için kullanırız. Burada varoluşsal niceleyici olarak adlandırılır. x P(x) ifadesi kullanıldığında her zaman bir tanım bölgesi belirtilmelidir. Ayrıca, tanım bölgesi değiştiğinde x P(x) ifadesinin anlamı da değişir. Tanım kümesi belirtilmediği sürece x P(x) in anlamı yoktur. Bunun yanı sıra, «mevcuttur» ifadesini, «bazıları için», «en az biri için» veya «vardır» gibi diğer bir çok yollarda varoluşsal niceleme olarak ifade edebiliriz. x P(x) varoluşsal nicelemesi «P(x) olacak şekilde bir x vardır.», «P(x) olacak şekilde en az bir tane x vardır.» veya «Bazı xp(x) ler için» şeklinde okunur.

18 VAROLUŞSAL NİCELEYİCİ ÖRNEK: P(x) «x>3» ifadesini göstersin. Tanım bölgesi bütün reel sayılardan oluştuğunda x P(x) niceleyicisinin doğruluk değeri nedir? ÇÖZÜM: x>3 bazen doğru olduğundan, mesela x=4 için doğrudur, P(x) in varoluşsal niceleyicisi x P(x) doğrudur. x P(x) in yanlış olması için gerek ve yeter şartın P(x) in doğru olduğu tanım bölgesinde hiç x elemanı olmadığını gözlemleyiniz. Yani, x P(x) in yanlış olması için gerek ve yeter şart tanım bölgesindeki her x elemanı için P(x) in yanlış olmasıdır.

19 Niceleyicilerin Önceliği ve niceleyicileri önermesel analizde bütün diğer mantıksal operatörlerden daha yüksek önceliğe sahiptir. Örneğin, x P(x) Q(x) ifadesi x P(x) ve Q(x) in ayrılmasıdır. Başka bir ifade ile x P(x) Q(x) demektense ( x P(x)) Q(x) demek daha iyidir. Değişkenleri Bağlama x değişkeni üzerinde bir niceleyici kullanıldığında değişkenin bu oluşumu bağımlıdır deriz. Bir niceleyici tarafından bağımlı olmayan veya belirli bir değerin bir cümlesine eşit bir değişkenin oluşumu bağımsızdır denir.

20 Niceleyicileri İçeren Mantıksal Denklikler TANIM 3: Yüklemler ve niceleyicileri içeren ifadeler mantıksal olarak denktir ancak ve ancak hangi yüklemler olursa olsun bu ifadeler yerine konursa aynı doğruluk değerine sahip olması ve bu önermesel fonksiyonlarda değişkenler için söylemin tanım kümesinin kullanılması gerekmektedir. S T notasyonunu mantıksal olarak yüklemler ve niceleyicileri içeren S ve T ifadelerini belirtmek için kullanırız. Nicelendirilmiş İfadeleri Olumsuzlama (Değillerini alma) Tablo 2. Niceleyiciler İçin De Morgan Kuralları Değil Eşdeğer ifade Değili ne zaman doğru? Ne zaman yanlış? x P(x) x P(x) Her x için P(x) yanlış P(x) doğru olacak şekilde bir x vardır. x P(x) x P(x) P(x) yanlış olacak şekilde bir x vardır. Her x için P(x) doğrudur.

21 Niceleyicileri İçeren Mantıksal Denklikler UYARI: n sayısı 1 den büyük bir tamsayı olmak üzere bir P(x) yükleminin tanım kümesi n tane elemandan oluştuğunda ifadelerin miktarları için değilleme kuralları De Morgan kuralları ile tam olarak aynıdır. Tanım kümesi n tane x 1, x 2,..., x n elemanlarından oluştuğunda De Morgan kuralları ile (P(x 1 )^P(x 2 )... ^ P(x n )) ile aynıdır ve bu x P(x n ) ile denk olan (P(x 1 ) P(x 2 )... P(x n )) in aynısıdır ve bu x P(x) e denktir.

22 ALIŞTIRMALAR 1. «x 4» ifadesini P(x) ile gösterelim. Aşağıdakilerin doğruluk değeri nedir? A)P(0) B)P(4) C) P(6)

23 ALIŞTIRMALAR 1. «x 4» ifadesini P(x) ile gösterelim. Aşağıdakilerin doğruluk değeri nedir? A)P(0) Doğru B)P(4) Doğru C) P(6) Yanlış

24 ALIŞTIRMALAR 2. «y nin başkenti x tir.» ifadesini Q(x,y) ile gösterelim. Aşağıdakilerin doğruluk değeri nedir? A) Q(Atina, Yunanistan) B) Q(Tahran, İran) C. Q(Rusya, Moskova) D. Q(Barcelona, İspanya)

25 ALIŞTIRMALAR 2. «y nin başkenti x tir.» ifadesini Q(x,y) ile gösterelim. Aşağıdakilerin doğruluk değeri nedir? A) Q(Atina, Yunanistan) Doğru B) Q(Tahran, İran) Doğru C. Q(Rusya, Moskova) Yanlış D. Q(Barcelona, İspanya) Yanlış

26 ALIŞTIRMALAR 3. x in tanım kümesi bütün öğrencilerden oluşmak üzere P(x), «x derste her hafta sonu beş saatten fazla zaman geçirir.» ifadesini göstersin. Aşağıdaki niceleyicilerin her birini Türkçe olarak açıklayınız. A) x P(x) B) x P(x) C. x P(x) D. x P(x)

27 ALIŞTIRMALAR 3. x in tanım kümesi bütün öğrencilerden oluşmak üzere P(x), «x derste her hafta sonu beş saatten fazla zaman geçirir.» ifadesini göstersin. Aşağıdaki niceleyicilerin her birini Türkçe olarak açıklayınız. A) x P(x) Sınıfta hafta içi her gün 5 saatten fazla vakit harcayan bir öğrenci vardır. B) x P(x) Her öğrenci sınıfta hafta içi her gün 5 saatten fazla vakit harcar. C. x P(x) Sınıfta hafta içi her gün 5 saatten fazla vakit harcamayan bir öğrenci vardır. D. x P(x) Hiçbir öğrenci sınıfta hafta içi her gün 5 saatten fazla vakit harcamaz.

28 ALIŞTIRMALAR 4. Tanım kümesi bütün insanlar, C(x), «x bir komedyendir.» ve F(x), «x eğlencelidir.» olmak üzere aşağıdaki ifadeleri Türkçe ye çeviriniz. A) x (C(x) F(x)) B) x (C(x)^F(x)) C) x (C(x) F(x)) D) x (C(x)^F(x))

29 ALIŞTIRMALAR 4. Tanım kümesi bütün insanlar, C(x), «x bir komedyendir.» ve F(x), «x eğlencelidir.» olmak üzere aşağıdaki ifadeleri Türkçe ye çeviriniz. A) x (C(x) F(x)) Her komedyen komiktir. B) x (C(x)^F(x)) Her kişi bir komedyendir. C) x (C(x) F(x)) Bir kişi vardır ki, eğer o bir komedyen ise o zaman o komiktir. D) x C(x)^F(x)) Bazı komedyenler komiktir.

30 ALIŞTIRMALAR 5. P(x), «x Rusça konuşabilir.» ifadesi olsun ve Q(x), «x C++ Bilgisayar dilini bilir.» ifadesi olsun. Aşağıdaki cümlelerin her birini P(x), Q(x), niceleyiciler ve mantıksal bağlaçlar cinsinden ifade ediniz. A) Okulunuzda Rusça konuşabilen ve C++ bilen bir öğrenci vardır. B) Okulunuzda Rusça konuşabilen fakat C++ bilmeyen bir öğrenci vardır. C) Okulunuzda her öğrenci ya Rusça konuşabilmekte ya da C++ bilmektedir. D) Okulunuzda Rusça konuşabilen ya da C++ bilen hiç bir öğrenci yoktur.

31 ALIŞTIRMALAR 5. P(x), «x Rusça konuşabilir.» ifadesi olsun ve Q(x), «x C++ Bilgisayar dilini bilir.» ifadesi olsun. Aşağıdaki cümlelerin her birini P(x), Q(x), niceleyiciler ve mantıksal bağlaçlar cinsinden ifade ediniz. A) Okulunuzda Rusça konuşabilen ve C++ bilen bir öğrenci vardır. x (P(x) ^ Q(x)) B) Okulunuzda Rusça konuşabilen fakat C++ bilmeyen bir öğrenci vardır. x (P(x) ^ Q(x)) C) Okulunuzda her öğrenci ya Rusça konuşabilmekte ya da C++ bilmektedir. x (P(x) Q(x)) D) Okulunuzda Rusça konuşabilen ya da C++ bilen hiç bir öğrenci yoktur. x (P(x) Q(x))

32 ALIŞTIRMALAR 6. P(x), «x=x 2» ifadesi olsun. Eğer tanım kümesi tam sayılardan oluşuyorsa aşağıdaki ifadelerin doğruluk değeri nedir? A) P(0) B. P(1) C. P(2) D. P(-1) E. x P(x) F. x P(x)

33 ALIŞTIRMALAR 6. P(x), «x=x 2» ifadesi olsun. Eğer tanım kümesi tam sayılardan oluşuyorsa aşağıdaki ifadelerin doğruluk değeri nedir? A) P(0) T B. P(1) T C. P(2) F D. P(-1) F E. x P(x) T F. x P(x) F

34 ALIŞTIRMALAR 7. Eğer tanım kümesi bütün tam sayılardan oluşuyorsa aşağıdaki ifadelerin her birinin doğruluk değerlerini belirleyiniz. A) n (n+1>n) B) n (2n=3n) C. n (n=-n) D) n (3n 4n)

35 ALIŞTIRMALAR 7. Eğer tanım kümesi bütün tam sayılardan oluşuyorsa aşağıdaki ifadelerin her birinin doğruluk değerlerini belirleyiniz. A) n (n+1>n) T B) n (2n=3n) T C. n (n=-n) T D) n (3n 4n) T

36 ALIŞTIRMALAR 8. Eğer değişkenlerin tanım kümeleri bütün tam sayılardan oluşuyorsa aşağıdaki ifadelerin her birinin doğruluk değerlerini belirleyiniz. A) n (n 2 0) B) n (n 2 =2) C. n (n 2 n) D) n (n 2 <0)

37 ALIŞTIRMALAR 8. Eğer değişkenlerin tanım kümeleri bütün tam sayılardan oluşuyorsa aşağıdaki ifadelerin her birinin doğruluk değerlerini belirleyiniz. A) n (n 2 0) T B) n (n 2 =2) F C. n (n 2 n) T D) n (n 2 <0) F

38 ALIŞTIRMALAR 9. Aşağıdaki ifadelerin her birini yüklemler ve niceleyiciler kullanarak ifade ediniz. A. Bir hava yolu üzerinde bir yolcu eğer yolcu 1 yılda milden daha fazla uçmuşsa veya bu yıl boyunca 25 uçuş satın almışsa elit yolcu olarak sınıflandırılmaktadır. B. Eğer bir erkeğin önceki derecelerinin en iyisi 3 saatin altında ve bir kadının önceki derecelerinin en iyisi 3,5 saatin altında ise maraton için uygundur. C. Bir öğrenci yüksek lisans derecesi alması için en az 60 saatlik ders almalıdır veya 45 saat ders almalı ve bir yüksek lisans tezi yazmalıdır ve bütün gerekli derslerden B seviyesinden daha aşağı bir not almamalıdır. D. Bir dönemde 21 saat krediden daha fazla ders alan ve hepsinden A alan bir öğrenci vardır.

39 ALIŞTIRMALAR 9. Aşağıdaki ifadelerin her birini yüklemler ve niceleyiciler kullanarak ifade ediniz. A. Bir hava yolu üzerinde bir yolcu eğer yolcu 1 yılda milden daha fazla uçmuşsa veya bu yıl boyunca 25 uçuş satın almışsa elit yolcu olarak sınıflandırılmaktadır. x ((F(x,25000) S(x,25)) E(x), burada E(x) «Verilen yılda elit yolcu olarak seçilen x kişisi», F(x,y) «Verilen yılda y milden fazla uçan x kişisi.» ve S(x,y) «Verilen yılda y uçuştan daha fazla uçuş yapan x kişisi»dir. B. Eğer bir erkeğin önceki derecelerinin en iyisi 3 saatin altında ve bir kadının önceki derecelerinin en iyisi 3,5 saatin altında ise maraton için uygundur. x ((M(x) ^ T(x,3)) ( M(x) ^ T(x,3,5))) Q(x)), burada Q(x) «Maraton için seçilen x kişisi», M(x) «x kişisi erkektir.» ve T(x,y) «Maratonu y saatten daha az bir sürede tamamlayan x kişisi» dir.

40 ALIŞTIRMALAR 9. Aşağıdaki ifadelerin her birini yüklemler ve niceleyiciler kullanarak ifade ediniz. C. Bir öğrenci yüksek lisans derecesi alması için en az 60 saatlik ders almalıdır veya 45 saat ders almalı ve bir yüksek lisans tezi yazmalıdır ve bütün gerekli derslerden B seviyesinden daha aşağı bir not almamalıdır. M ((H(60) (H(45) ^ T) ^ y G(B,y), burada M»Öğrenci yüksek lisans yaptı.» önermesi, H(x) «Öğrenci en az x saat ders aldı.», T «Öğrenci tez yazdı.» önermesi ve G(x,y) «Kişi y dersinden x veya daha yüksek not aldı.» dır. D. Bir dönemde 21 saat krediden daha fazla ders alan ve hepsinden A alan bir öğrenci vardır. x ((T (x, 21) ^ G(x,4.0)), burada T(x,y) «y kredi saatinden fazla alan x kişisi.» ve G(x,p) «ortalama p düzeyi notu kazanan x kişisi» dir (Verilen bir sömestirdan bahsedildiğini kabul ediyoruz. Tüm derslerde A alan bir öğrencinin dönem matematik ortalaması 4 olur.)