3. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN

Transkript

1 3 HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM Yazan SAYIN SAN

2 SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 2 BÖLÜM 2 EŞ-ANLI DENKLEM SİSTEMLERİ Bu bölümde analitik ve grafik olarak eş-anlı denklem sistemlerinin çözümü tanıtılacaktır Daha sonra bu öntemler, mal ve hizmet piasasında dengenin bulunması, tüketici ve üretici rantının hesaplanması, vergi va z edilmesinin dengee etkilerinin incelenmesinde kullanılacaktır Bu bölüm bittiğinde, doğrusal fonksionları kullanarak, aşağıdaki işlemleri apabilior olacaksınız: İki bilinmeenli iki denklemin çözümü ve çözümün grafik ile gösterimi, Tek çözüm, çözümün olmaması ve sonsuz çözüm arasındaki arımın apılması, Bir malın piasasında denge fiat ve miktarın bulunması ve grafik ile gösterimi, Bir malın piasasına müdahalenin sonuçlarının analiz edilmesi (tavan ve taban fiat ugulamaları), Bir malın piasasına vergi vea sübvansionlar ile müdahalenin etkilerinin tespit edilmesi ve grafikte gösterilmesi, Tüketici ve üretici rantının (artığının/fazlalığının) hesaplanması

3 SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 3 A EŞ-ANLI DOĞRUSAL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Bu başlık altında, aşağıdaki şu sorulara cevap vermek istioruz: i İki bilinmeenli iki eş-anlı denklem cebirsel ve grafiksel olarak nasıl çözülür? ii İki bilinmeenli eş-anlı iki denklemin tek bir çözümü olup olmadığı, hiçbir çözümünün olup olmadığı vea sonsuz saıda çözüme sahip olup olmadığı nasıl tespit edilir? iii Üç bilinmeenli üç eş-anlı denklemi nasıl çözeriz? A1 Çözüm nedir? Bir bilinmeenli (örneğin ) bir denklemin çözümü, denklemin sol ve sağ tarafını birbirine eşitleen bir değerdir Örneğin, Bir bilinmeenli bir denklemdir Bu denklemin çözümü şu şekildedir: Bu denklem özelinde değerdir ifadesi, eşitliğin sol ve sağ tarafını birbirine eşitleen tek Dolaısıla eş-anlı denklem sistemlerinin çözümü, modelde er alan bütün denklemleri eşitliklerinin sağ tarafındaki saısal değere eşitleen, değişkenlerin alacağı bir değerler kümesidir A2 İki bilinmeenli iki denklem İki bilinmeenli iki denklem için standart çözümü, bir örnek aracılığı ile açıklaalım: Şimdi bu iki bilinmeenli iki denklem için çözümü, hem cebirsel hem de grafiksel olarak bulalım Eleme apılması Birinci denklem ile ikinci denklemi toplaarak bilinmeenini denklem sisteminden çıkartırız Bölece iki bilinmeenli iki denklem, bir bilinmeenli bir denkleme dönüşür Daha

4 SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 4 sonra tek bilinmeenli denklemde değerini bulunur Bulunan bu değer, orijinal denklemde erine azılarak değeri de bulunmuş olur: Elde edilen eni denklemden değerini bulalım: Bulunan değerini orijinal denklemlerden birinde erine azarsak, değeri de bulunmuş olur: Daha sonra ve değerleri her iki denklemde de erine azılarak sağlama apılır (her iki denklemde de sol ve sağ taraf eşitliğinin sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilir: Grafiklerin çizilmesi İki denklemin de arı arı grafiğini çizelim:

5 SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 5 Sonuçta bu iki bilinmeenli iki denklemin tek çözümü olduğu bulunmuştur: 31 İki bilinmeenli iki denklem için çözümü, hem cebirsel hem de grafiksel olarak bulunuz Eleme öntemi Denklem sistemindeki değişkenini elemek için ikinci denklemin her iki tarafını da 2 ile çarpalım: Buradan sonucu elde edilir Bulunan bu değeri denklem sisteminde birinci eşitlikte erine azılır ve değeri bulunur ( ) Elde edilen çözüm değerlerini iki denklemde de erine azarak sağlamasını apalım: ve ( ) ve ( )

6 SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 6 Bu sonuçlar iki denklem için tek bir çözüm noktasının olduğu anlaşılmıştır Bu noktanın koordinatları: ve iki denklemin kesiştiği noktadır Bu durumda tek çözüm vardır denilebilir Diğer bir ifadele denklem sistemindeki iki denklemden elde edilen iki doğru, sadece tek bir noktada kesişmektedir Bu nokta ( ve ) denklem sistemindeki hem birinci hem de ikinci denklem üzerinde bir noktadır ve her iki denklemdeki değeri de sağlamaktadır A3 Eleme vea Yerine Koma öntemile eşanlı denklem sistemlerinin çözümü Eleme Yöntemi Dikkat ederseniz ilk iki örnekte de bir denklemi diğerine ekleerek bir değişkeni elemine ettik Bölece çözüm değerlerine ulaştık Yerine Koma Yöntemi Alternatif olarak denklemlerden birinde değişkenini cinsinden vea değişkenini cinsinden ifade ederek diğer denklemde erine azabilirdik Örneğin: Örneğini ele alalım Buradaki ikinci denklemdeki, değişkeni cinsinden ifade edilebilirdi Elde edilen bu değeri, ilk denklemde erine azılır ve değeri elde edilebilirdi: Daha sonra denklemlerde birinde değeri erine azılır ve değeri elde edilirdi: ( ) Özellikle denklem sistemindeki bir eşitlik doğrusal ve diğeri doğrusal olmaan bir denklemken, erine koma öntemi tercih edilmektedir (ilerleen bölümlerde görülecektir)

7 SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 7 32 Aşağıdaki denklem sisteminin, varsa, çözümü bulunuz ve grafik ardımı ile gösteriniz Dikkat edilirse her iki eşitlikte de doğrudan eleme apılabilecek bir durum söz konusu değildir Bu durumda ilk eşitliği 2 ile ve ikinci eşitliği de -3 ile çarparsak, değişkeni denklem sisteminden elimine edilebilir: Elde edilen bu değeri, iki eşitlikten birinde erine azılırsa değeri de elde edilir: ( ) Grafiğin çizilmesi

8 SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 8 A4 Eş-anlı denklem sistemlerinde tek çözümün a da sonsuz saıda çözümün olması veahut hiç çözümün olmaması Bir eş-anlı denklem sisteminde çözüm olarak üç durum söz konusu olabilir: Tek bir çözüm, Çözümün olmaması, Sonsuz saıda çözüm Tek çözüm Şu ana kadar gördüğümüz örneklerde tek bir çözüm noktası mevcuttu Çözümün olmaması Böle bir durumda denklem sistemini oluşturan eşitliklerin değerlerini anı anda sağlaan bir değerler kümesi oktur Görüldüğü üzere bu denklem sisteminin çözüm kümesi oktur: Bunun anlamı, anı anda her iki denklemin de eşitliğini sağlaan bir ve değerinin olmamasıdır Diğer bir ifadele, için hangi değeri azarsak azalım, bu tek değeri iki farklı eşitliğe azdığımızda anı değerini elde etmemiz mümkün değildir

9 SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 9 Sonsuz saıda çözüm Örneğin aşağıdaki gibi bir eş-anlı denklem sistemi verilsin: Denklem sistemindeki ikinci eşitliği 2 saısına bölelim: Sonuç olarak denklem sistemindeki birinci eşitlik ile anı sonuç elde edilecektir Bunun anlamı, iki bilinmeenli sadece bir denklem olduğudur Diğer bir ifadele, için her hangi bir değer verildiğinde değeri tespit edilebilecektir Örneğin: Eşitlik 1 ve 2 i sağlaan sonsuz saıda (,) saı ikilisi mevcuttur Grafik incelendiğinde bu iki eşitliğin çakıştığı (üst üste örtüştüğü) görülecektir Bir doğru, sonsuz saıda noktanın birleşiminden oluştuğuna göre, bu iki eşitlik için de sonsuz saıda çözüm söz konusu olacaktır ve

10 SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 10 A5 Üç bilinmeenli üç denklem İki bilinmeenli eş-anlı denklem sistemindeki eliminason öntemi, üç bilinmeenli üç denkleme vea dört bilinmeenli dört denkleme de genişletilebilir Bunu bir örnek üzerinden açıklaalım: İlk apılacak iş, denklem sistemindeki eşitlik 1 ile eşitlik 3 ün toplanmasıdır: Sonra da eşitlik 3 ile eşitlik 2 nin toplaması apılmalıdır Bölece z değişkeni elimine edilecek ve sadece ve değişkeninin olduğu bir denklem sistemi kalacaktır: Şimdi elde edilen iki denklemde iki bilinmeen mevcuttur: Bu eni eş-anlı denklem sistemindeki ikinci eşitliği -1 değeri ile çarpalım ve iki eşitliği toplaalım: Türetilen ikinci denklem sistemindeki bir eşitliğe değeri azılarak değeri bulunur: ve değerleri ilk denklem sistemindeki üç eşitlikten birine azılarak z değişkenin de değeri tespit edilir: ve

11 SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / Aşağıdaki denklem sistemlerinin varsa çözümlerini bulunuz ve grafiklerini çiziniz i iv B DENGE Bu başlık altında, şu konuları öğreneceğiz: i Bir malın piasasında denge, ii Emek piasasında denge, iii İkame ve rakip malın varlığı halinde bir malın piasasında denge, iv Vergilerin, sübvansionların üretici ve tüketici arasında dağılımı B1 Bir Malın Piasasında Denge Bir malın piasasında denge, üretilmek istenen miktar ile tüketilmek istenen miktarın birbirine eşit olması ile sağlanır Benzer şekilde, tüketicinin ödemee razı olduğu fiat ile üreticinin üretmee razı olduğu fiatın birbirine eşit olması da bir denge halidir Denge koşulu, şu şekilde ifade edilebilir:

12 SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / Bir malın talep ve arzına ait olarak aşağıdaki fonksionlar verilmiştir: Denge fiat ve miktarını bulunuz ve grafikte gösteriniz Bir malın piasasındaki denge koşulu vea şeklidedir Her iki fonksionda da malın fiatı, eşitliklerin sol tarafında er alan tek değişken olduğu için, fiatları birbirine eşitleerek denge noktasındaki miktar bulunabilir: Denge noktasında olacağından, bu iki değişken erine sadece Q azılabilir ve bölece denge miktar düzei bulunabilir: Bulunan denge miktarı, arz vea talep fonksionunda erine azılır ve denge noktasındaki fiat düzei elde edilir: P P S Q S E 0 P D Q D Q

13 SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / Bir malın piasasına ait arz ve talep fonksionları, aşağıdaki gibidir: Bu malın denge fiat ve miktarını bulunuz, grafik üzerinde gösteriniz Denge Koşulu bulunur: Bulunan denge fiatı talep vea arz fonksionunda erine azıldığında denge miktarı Q Q D P X Q S P X E 0 P

14 SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 14 B2 Emek Piasasında Denge Emek piasasında da, bir malın piasasında olduğu gibi, emek arz edenler ve emek talep edenler mevcuttur Emeği arz edenler, işgücü olarak bireler vea hane halkıdır Emeği talep edenler, işgücünü istihdam eden firmalardır Emeği arz eden hane halkı için ücret (wage w), haatı idame ettirmekte en önemli kazanç kanağı olduğu için önemlidir Dolaısıla ücretler arttığında, emek arzının da artması beklenir Diğer bir ifadele, ücretler ile emek arzı arasında pozitif önlü bir ilişki söz konusudur Emek arzını ücretin dışında da etkileen değişkenler mevcuttur Nüfus vea boş zaman tercihi gibi bir değişken de emek arzı kararını etkilemektedir Örneğin, bir kişi için boş zaman değerlise, ücreti artmasına rağmen çalışmasını arttırmaacaktır Ancak konumuz tek değişkenli analiz olduğu için açık fonksion formunda emek arzını sadece ücretin bir fonksionu olarak azacağız Emeği talep eden firmalar için ücret, bir maliet kalemidir Buna bağlı olarak, ücretler arttığında firmaların malietleri artacak ve daha az emek istihdam etmek isteeceklerdir Diğer bir ifadele ücretler ile emek talebi arasında ters önlü (negatif) bir ilişki vardır Firmaların emek talebini ücretin dışında etkileen farklı değişkenler de mevcuttur Örneğin, emeğin verimliliği, sermae miktarı vea teknolojik ilerleme gibi unsurlar da emek talebini etkilemektedir Açık fonksion formunda ücret haricindeki diğer bütün değişkenler, sabit terimin içerisinde er alacaktır

15 SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / Emek arz ve talep fonksionları, aşağıdaki gibi verilmiştir: Emek piasasındaki denge ücreti ve bu ücret düzeinde istihdam edilen işçi saısını bulunuz, grafik üzerinde gösteriniz Her hangi bir piasada denge, arz ve talebin birbirine eşitlenmesi ile sağlanır Emek piasası özelinde denge koşulu, aşağıdaki gibidir: Denge ücret düzeinde emek arzı ve talebi birbirine eşit olacağından denge ücreti, ister arz isterse talep fonksionunda erine azılır ve denge istihdam düzei bulunur: L L S w E 0 L D w w

16 SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 16 B3 Fiat Kontrolleri ve Hükümetin farklı piasalara müdahaleleri Bazı iktisadi nedenlerden dolaı çoğu kez piasalarda kendiliğinden dengenin sağlanması zor olmaktadır Piasalarda tekelci firmaların olması vea piasalarda devletin müdahale etmesi, dengenin sağlanmasını güçleştiren unsurlardır Bu başlık altında devletin fiat kontrolleri ile piasalara müdahalesi ve sonuçları tartışılacaktır B31 Tavan Fiat Ugulaması Şaet devlet, piasada denge noktasında oluşan fiatı, tüketicilerin ödemesi için çok üksek bulursa, tavan fiat ugulaması apacaktır Diğer bir ifadele tavan fiat ugulaması, piasa denge fiatını altında belirlenir ve amacı tüketicileri korumaktır 37 Bir malın arz ve talep fonksionları aşağıdaki gibidir: Devletin bu piasada 40 TL tavan fiatı ugulamasının sonuçlarını tartışınız Arıca karaborsa oluşması durumunda karaborsada faaliette bulunanların kârını da hesaplaınız Soru 34 te denge fiat ve miktarı şu şekilde bulunmuştu: P P S Q S E 0 P D Q D Q Malın piasa fiatının devlet tarafından 40 TL olarak belirlenmesi, arz ve talep edenler, malın miktarını belirlerken bu fiatı dikkate alacakları anlamına gelmektedir Şimdi malın fiatı 40 TL olduğunda arz ve talep edilen miktarı belirleelim:

17 SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 17 karaborsa arz e risi P P S Q S karaborsa k rı E 0 P D Q D Q Dikkat edilirse arz ve talep edilen miktar, artık birbirine eşit değildir Bunun anlamı, bu malın piasasında talep fazlalığı vardır Üretilen miktar, bu fiat düzeinde talep edilen miktarı karşılamamaktadır Üretilen miktarın talep edilen miktardan düşük olması, karaborsa oluşmasına neden olacaktır Yasal olmaan piasada malın fiatı, devletin belirlediği tavan fiatının üzerinde olacaktır Tüketicilerin 60 birim mala ödemee razı oldukları fiat, karaborsa fiatı olacaktır: Bu durumda piasa fiatı 40 TL olan 60 birim malı karaborsacılar el altından 70 TL e satacaklardır Kârları ise, 60 birimi 70 TL den satmaları ile 60 birimi 40 TL den satın almaları arasındaki fark olacaktır: