IARS Temmuz Marmaris Kuramsal ve Uygulamalı Fizik ( ITAP )

Transkript

1 IARS İSTATİSTİK MEKANİK VE KARMAŞIKLIK SERİSİ İLERİ İSTATİSTİK MEKANİK VE KARMAŞIKLIK ÇALIŞTAYI DERS NOTLARI Temmuz 2007 Marmaris Kuramsal ve Uygulamalı Fizik Araştırma Enstitüsü ( ITAP ) Turunç- MARMARİS

2 ÖNSÖZ i

3 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ i İÇİNDEKİLER ii BÖLÜM BİR - KLASİK İSTATİSTİK MEKANİK GİRİŞ - İSTATİSTİKSEL FİZİK TERMODİNAMİK Termodinamiǧin Kanunları Problemler KLASİK İSTATİSTİKSEL MEKANİK Mikrokanonik Topluluk Kanonik Topluluk Problemler Grand Kanonik Topluluk Problemler Etkileşen Parçacıklar Problemler Faz Geçişleri Landau-Ginzburg Teorisi Ölçekleme Hipotezi Ising Modeli Problemler İçin İpuçları BÖLÜM İKİ- İSTATİSTİK FİZİKTE SAYISAL YÖNTEMLER Bilgisayar Simülasyonları Bilgisayar Kullanım şekillleri Model Sistemler ve Etkileşim Potansiyelleri İndirgenmiş Birimler Periyodik Sınır Koşulları Üç Boyutta Simülasyon Nümerik İntegrasyon ii

4 2.2.1 Hareket Denklemleri Verlet Algoritması Verlet Algoritmasının Özellikleri Moleküler Dinamiǧin İncelikleri Hücre Sistemi Sabit Basınç Algoritması Kaos Kaosun Özellikleri Kaos Sistemlerinin Analizi Lojistik Map Lorenz Çekicisi Duffing Osilatörü Sönümlü Sürülmüş Harmonik Salınıcı İki Boyutlu Kare Örgüde İsing Modeli BÖLÜM ÜÇ- KAOS GEÇİŞ EŞİǦİNDEKİ DİNAMİK SİSTEMLER Kaotik Sistemler Giriş Doǧrusal ve Doǧrusal Olmayan Sistemler Doǧrusal Olmamanın Önemi Doǧrusal Olmama ve Kaos Önemli Sorular Biyolojik Popülasyon Büyümesi Modeli Sabit Noktaların Önemi Daha Karmaşık Davranış Lyapunov Üstelleri Determinizm, Kestirilemezlik ve Yörüngelerin Iraksaması Kaosun Evrenselliǧi Giriş Feigenbaum Sayıları Kestirimde δ nın Kullanımı Feigenbaum Büyüklük Ölçeklenmesi Kendine Benzerlik iii

5 3.2.6 Diǧer Evrensel Özellikler Düşük Boyutlu Dinamik Sistemler z-lojistik Harita Ailesi Diǧer Çevrimler İlk Koşullara Kuvvetli Baǧlılık Entropi Artış Hızı Durulma Dinamiǧi Merkezsel Limit Kuramı İlk Koşullara Zayıf Baǧlılık Kaos Geçiş Eşiǧindeki Düşük Boyutlu Dinamik Sistemler Entropi Artış Hızı Durulma Dinamiǧi Merkezsel Limit Kuramı iv

6 KLASİK İSTATİSTİK MEKANİK Alkan KABAKÇIOǦLU KOÇ ÜNİVERSİTESİ DERS ASİSTANLARI : Neşe ARAL (Koç Üniversitesi) Murat TUǦRUL (Koç Üniversitesi ) DERS NOTU ASİSTANLARI : Yusuf YÜKSEL (Dokuz Eylül Üniversitesi) Sevil SARIKURT (Dokuz Eylül Üniversitesi) 1

7 Aşaǧıdaki notlar IARS yaz okulu kapsamında Temmuz 2007 de Turunç/Marmaris te verilmiş olan İleri İstatistiksel Fizik dersine aittir; ticari amaçla kullanılamazlar; kopyalanmaları ve daǧıtılmaları serbesttir. Dersi alan ögrencilerin notları arasından okul organizasyon komitesi tarafından seçilerek gözden geçirilen bu notlar (dersin içeriǧi gibi) MIT OpenCourseWare kaynak alınarak hazırlanmıştır, ancak bu kaynagın birebir tercümesi deǧildir. Kaynak: Prof. Mehran Kardar, 8.333, Statistical Mechanics I: Statistical Mechanics of Particles, Fall 2005 (MIT OpenCourseWare: Massachusetts Institute of Technology), License: Creative commons BY-NC-SA Telif hakları ve kullanım koşulları için bakınız: 2

8 BÖLÜM BİR KLASİK İSTATİSTİK MEKANİK 1.1 GİRİŞ - İSTATİSTİKSEL FİZİK Çok sayıda özdeş parçaçık ya da alt sistem içeren makroskobik sistemlerin fiziksel özelliklerini inceler. Bir tane elektronun özellikleriyle deǧil, bunlardan pek çoǧu bir araya geldiǧi zaman bu sistem nasıl davranır onunla ilgileniyoruz. Burada çok sayıdan kasıt Avogadro sayısı kadar yani yaklaşık parçacık ya da alt sistemdir. İstatistiksel fizikte, incelenen fiziksel özellikler makroskobik özelliklerdir ve bunlar genelde ortalamalardır. İstatistiksel fizikte makroskobik ve mikroskobik perspektif olmak üzere iki durum söz konusudur. Makroskobik perspektif, sistemin ortalama özelliklerini inceler ve önemlidir. Mikroskobik özellikler ise genellikle önem arz etmez. Makroskobik sistem; yaklaşık tane parçacık içeren sistemlerdir. Bunun karşıtı olarak bir de mikroskobik tanımdan bahsederiz tane parçacık içeren bu makroskobik sistemin mikroskobik bir tanımını verebiliriz. Makroskobik sistemlere baktıǧımız zaman pek çok özellik aslında mikroskobik detaylardan baǧımsızdır. Örneǧin; bir odanın içerisindeki gaza baktıǧımız zaman bunun belli bir hacim kapladıǧını, duvarlara belli bir basınç uyguladıǧını biliyoruz. Bu özellikler hangi parçacıǧın nerede olduǧuyla çok fazla ilgili deǧil. Aslında gözlemlediǧimiz bunların ortalamasıdır. Bu ortalamalar, mikroskobik detaylardan baǧımsız olarak, ortalama deǧerleri sabit deǧerlerdir. Aslında istatistik fizik yaptıǧımız zaman bu makroskobik özelliklere dair birşeyler söylemeye çalışıyoruz ve bunların arasındaki ilişkileri belirlemeye çalışacaǧız. 3

9 4 Mikroskobik sistem; tane parçacıǧın her birinin konumlarını ({ r i }) ve momentumlarını ({ p i }) verir. Dolayısıyla fazla detaylı ve gereksizdir. Bu momentum ve konumlara ihtiyaç yoktur. Fakat önemli olan bunların ortalamalarıdır. Bu detaylar üzerinden ortalamalar alınarak sadece makroskobik düzeyde bazı deǧişkenler (örneǧin: basınç, hacim, sıcaklık) cinsinden bu sistem tanımlanabilir. Temel nokta aslında; mikroskobik seviyede sistemi bilmeden makroskobik davranışı hakkında hala birşeyler söyleyebilmemiz. İstatistiksel fiziǧe iki farklı bakış açısı söz konusudur: Termodinamik : Buhar makinasının icadıyla başlamıştır. O zamanlar daha belki çok detaylı olarak atomik seviyede maddenin davranışına dair fikrimiz yoktu. Termodinamik; mikroskobik detaylara hiç bakmadan, sadece deneysel gözlemlere dayalı olarak bazı makroskobik deǧişkenler arasındaki ilişileri tutarlı bir matematiksel yapıya oturtan bir teoridir. Şu anda üzerinde herhangi bir araştırma yoktur. Tamamen deneysel gözlemlere dayalıdır. İstatistiksel mekanik : Mikro düzeyden makro düzeye taşıyan bir terimdir. Mikroskobik gözlenebilirler ile makroskobik gözlenebilirler arasındaki ilişkiyi kurma imkanı verir. Makroskobik özelliklerin (sistemin mıknatıslanması, gazların makroskobik özellikleri, basınç, sıcaklık arasındaki ilişkileri,... vb.) mikroskobik özelliklerden nasıl ortaya çıktıǧını sorgular. Dolayısıyla, çok daha temel bir bakış açısıdır. İstatistiksel mekaniǧin, mikroskobik özelliklerden başlayarak termodinamiǧin tamamen deneysel gözlemlere dayalı olarak bulduǧu matematiksel yapıyı üretebilmesi gerekiyor.

10 5 1.2 TERMODİNAMİK Termodinamikte yaptıǧımız şey; deneysel gözlemlere dayalı olarak makroskobik deǧişkenler arasındaki ilişkileri bulmaya çalışmak ve deneylerle bulduǧumuz bu ilişkileri daha sonra matematiksel bir formda ifade etmeye çalışmaktır. Bunu yaparken kuramsal olarak termodinamik deǧişkenler (koordinatlar) tanımlamalı, onlar üzerinden işlem yapılmalıdır. İlgilenilen sistemlere göre termodinamik koordinatlar a örnek: Gaz için : Basınç (P ) ve Hacim (V ) İnce bir film için : Yüzey Gerilimi (σ) ve Alan (A) Sicim, elastik ip için : Gerginlik (T ) ve Uzunluk (L) Manyetik sistem için : Manyetik Alan (B) ve Mıknatıslanma (M) : Bunları birbirine baǧlayan denklem Durum Denklemi dir: T = f(p, V, N) T : sıcaklık Durum denklemi, termodinamik koordinatlar arasında bir eşitliktir. Bu tanımları verdikten sonra, deneysel gözlemler sonucunda termodinamiǧin dayandıǧı, özetlendiǧi temel kanunlara bakalım Termodinamiǧin Kanunları Esasen bütün termodinamiǧi 4 temel kanundan türetebiliriz.

11 6 0. Kanun : İki sistem bir üçüncü ile dengede ise kendi aralarında da dengede olurlar. Yani; A, B, C sistemlerinden A ile B dengede, A ile C dengede ise B ile C dengededir. Bu kanun durum denkleminin varlıǧını söyler ve sıcaklıǧı tanımlar. T A = T B, T A = T C T B = T C A sistemi ile B sisteminin dengede olma durumunu niteleyen eşitliǧi yazalım: f AB ({A i }, {B i }) = 0 (1.2.1) ({A i }, {B i } sırasıyla A sisteminin ve B sisteminin termodinamik koordinatlarıdır. Sistemlerin makroskobik durumları bu koordinatlar cinsinden veriliyor.) Aynı şekilde A sistemi ile C sistemi için; f AC ({A i }, {C i }) = 0 (1.2.2) Sıfırıncı Kanuna göre B ile C nin dengede olması gerekir: f BC ({B i }, {C i }) = ve denklemlerinde 1 nolu termodinamik koordinatı seçelim; A 1 = F AB ({A i }\A 1, {B i }) (1.2.3)

12 A 1 = F AB ({A i }\A 1, {C i }) (1.2.4) 7 Dolayısıyla ve denklemlerinin birbirine eşit olması gerekir. Bu iki denklemden A koordinarları elenebilirse; θ B ({B i }) = θ C ({C i }) denge koşulu elde edilir. (θ : termodinamik nicelik, θ = θ B ({B i }) durum denklemi.) Yani, denge durumunda saǧlanması gereken eşitlik; θ B ({B i }) = θ C ({C i }) = θ A ({A i }) (1.2.5) I. Kanun : Enerji korunumu ile ilgilidir. 0. kanunda sistemi bir denge konumundan diǧer bir denge konumuna taşıdık. Farklı denge konumları arasındaki dönüşümlere bakalım. Bu esnada sisteme iki farklı şekilde enerji aktarılabilir: 1. W (iş olarak) : makroskobik serbestlik dereceleriyle oynayarak 2. Q (ısı olarak) : mikroskobik serbestlik dereceleriyle oynayarak. Eǧer sistem adyabatik olarak izole edilmiş ise yani dış çevreyle ısı alışverişi yoksa yapılan iş ile aktarılan enerji yoldan baǧımsızdır (korunumlu). Adyabatik sistemlerde; W = E olduǧundan yapılan işin tamamı sistemde indüklenen enerji olacaktır. W = E = E(X s ) E(X i )

13 8 Enerji de bir durum fonksiyonudur. bakılarak bulunabilir. Sistemin o anki makroskobik durumuna Adyabatik olmayan dönüşümler için sistemin enerjisi hem ısı hem de iş olarak indüklenecektir. Q = E W (1.2.6) Sonsuz küçük deǧişimler için; dq = de dw (1.2.7) (Q ve W yola baǧlı, E yoldan baǧımsız.) Sistem üzerinde yaptıǧımız işe bakalım. Eǧer sistem üzerinde yaptıǧımız dönüşüm quasi-statik 1 ise ; dw = J i dx i (1.2.8) i J i : genel kuvvet (örneǧin; basınç, manyetik alan) dx i : genel kuvvete yanıt veren yerdeǧişimi (örneǧin; hacim) J i ve dx i dengede tanımlı nicelikler olduǧu için sistemin quasi-statik olması gerekir. Genelleştirilmiş Kuvvetler Genelleştirilmiş Yerdeǧiştirmeler Sicim T (Gerilme) L (Uzunluk) İnce film σ (Yüzey gerilimi) A (Alan) Akışkan P (Basınç) V (Hacim) Mıknatıs H (Dış manyetik alan) M (Mıknatıslanma) P ; gerilme gibi denge durumuna çaǧırıcı nitelikte olmadıǧı için (-) dir. Sistem tarafından deǧil sistem üzerine yapılan işe bakıyoruz. Sistem üzerine yapılan 1 sistemi çok yavaş bir şekilde başlangıç noktasından bitiş noktasına götürüyoruz, her noktada dengede kabul ediyoruz.

14 9 iş ( W ), sistem tarafından yapılan iş (+ W ). Bir sistemin özelliklerini, davranışını incelemek istiyorsak o sistemi uyarırız ve sistemin verdiǧi cevaba bakarız. Bu aşamada karşımıza cevap fonksiyonları çıkar. Cevap Fonksiyonları: Isı Sıǧaları: Sisteme bir ısı transferi yapılırsa sistemin sıcaklıǧının ne kadar deǧişeceǧinin yanıtını verir. C V = dq dt = V de dw dt = de V dt + P dv V dt = de V dt (1.2.9) V C P = dq dt = P de dw dt = de P dt + P dv P dt (1.2.10) P Kuvvet Sabitleri : yanıt olarak incelenir. Sisteme bir basınç uygularsak hacimdeki deǧişim Mekanik sistemlerde; κ T = 1 V { V P } T (eş sıcaklık sıkışabilirliǧi) (1.2.11) Manyetik alan uygularsak mıknatıslanmadaki deǧişim incelenir.

15 10 Manyetik sistemlerde; χ T = 1 V { M B } T (manyetik alınganlık) (1.2.12) Termal Cevap : α P = 1 V { V T } P (genleşebilirlik) (1.2.13) ÖRNEK : İdeal gaz için genleşebilirliǧi kullanarak C V ve C P arasındaki ilişkiye bakalım. Bunun için ideal gazda enerjinin sadece sıcaklık ile ilişkili olmasından yararlanıyoruz (E = E(T )). P V T E T = E P T V olmalı. Çünkü E, P ile V ye baǧlı deǧil. O halde; C P C V = { E T + P V } P T P { E T } V = P V T (1.2.14) P Denklem ile verilen genleşebilirliǧin tanımından; C P C V = P V α P (1.2.15) P V T P V = c T (1.2.16) V = c T V P T = c P P α P = c P V = 1 T (1.2.17)

16 eşitliǧi denkleminde yerine yazılırsa; C P C V = P V 1 T (1.2.18) eşitliǧi aynı zamanda şu şekilde de yazılabilir: C P C V = P V 1 T = k BN P V = Nk B T (1.2.19) eşitliǧi ideal gaz için durum denklemidir. (k B = J/K) II. Kanun : Bu yasada ısı akışı incelenir. Isı makinesi; iş üretir. Sıcak rezarvuardan bir miktar ısı alır, aldıǧı ısının bir kısmını işe çevirir bir kısmını da soǧuk rezervuara iletir. İdeal bir ısı makinesi aldıǧı tüm ısıyı işe çevirir. Şekil 1.1: Isı makinesi Bir ısı makinesinin ne kadar iyi bir makine olduǧu verimlilikten hesaplanabilir. Verimlilik; η = W Q H (1.2.20)

17 12 Buzdolabının yaptıǧı iş; soǧuktan alıp sıcak rezervuara iletmektir. Şekil 1.2: Buzdolabı ω = Q c W (1.2.21) KELVIN : Hiç bir makine aldıǧı ısının tamamını işe çeviremez. CLAUSIUS : Isı başka hiçbir şeyin yardımı olmadan tek başına soǧuk sistemden sıcak sisteme geçemez. Gerçekte Kelvin ve Clausius ifadeleri aynı şeylerdir. KELVIN = CLAUSIUS Kelvin ifadesine uyan bir makine varsa Clausius ifadesine uyan bir makina elde edilebilir. Kelvin ifadesinden Clausius ifadesine geçelim. İSPAT 1 : Isının tümünü enerjiye çevirebilen bir makine olduǧunu, Kelvin ifadesinin yanlış olduǧunu kabul edelim. Bu durumda; %100 verimle çalışan bir makineden elde edilen işi Clausius prensibine göre çalışan bir buzdolabına aktaralım.

18 13 Şekil 1.3: Bu durumda; Kelvin in yanlış olduǧunu çıkartan bir makine Clausius u da yanlış çıkartır. İSPAT 2 : Clausius ifadesinin yanlış olduǧunu ve bir buzdolabının enerji almadan ısıyı sıcaktan soǧuk sisteme taşıdıǧını düşünelim. Bu durumda Carnot makinesi ortaya çıkar. Carnot Makinesi : Tersinebilir (sürtünmesiz) bir döngü içinde çalışan ve sadece T H ve T C sıcaklıklarında ısı alışverişi yapan makinedir. Teorem : Hiçbir ısı makinesi Carnot ısı makinesinden daha verimli deǧildir. Bu teoremin ispatı; Carnot makinesi olmayan bir makineyi, diǧer bir ısı makinesine ters baǧlayarak yapılabilir. 1 η CE = T C T H (1.2.22)

19 14 Şekil 1.4: Carnot makinesi η CE ; Carnot makinesinin verimi. Entropi : Şekil 1.5: Makroskobik sistem uygun koordinatlarda bu döngü boyunca hareket etsin. Sistemde hem ısı alışverişi var hem de sistem üzerine iş yapılıyor. T 0 sıcaklıǧında bir rezervuar olsun. Carnot makinesi, bu rezervuardan gerektiǧi kadar ısı alsın, dışarıya iş versin ve bir miktar ısıyıda sisteme geri versin.

20 15 Şekil 1.6: Sistem Sistem bir döngüyü tamamladıǧında aynı enerjiye sahip olur. Yol boyunca sisteme ısı şeklinde giren enerji ile iş şeklinde giren enerjinin toplamı sıfırdır. dq i + i i dw i = 0 dq Res i (dq i ; toplam rezervuardan çekilen enerji.) = dq i + dw CE i Q Res i = i dq i + i dw CE i = W (W ; dışarıya verilen toplam iş) Carnot makinesinin verimliliǧi; 1 η CE = T C T H = Q C Q H = 1 W Q H dq Res dq i = T 0 T i

21 16 Q Res i = i dw i + i dw CE i Q Res i = W bulduk. Ancak, Kelvin ifadesine göre W 0 olmalı. Verimlilik ifadesi kullanılırsa; Q Res = i dq Res i = T 0 i dq i T i 0 Bu adımlar çok küçük olduǧu için; i dq i T i 0 dq T 0 Sistemde sürtünme, enerji kaybı yoksa döngü tersten de gidilebilir. Tersinebilir (sürtünmesiz) bir döngü için; olmalıdır. dq T = 0 Şekil 1.7:

22 17 B A (1) dq T + B A (1) dq T A B (2) dq T = 0 B A (2) dq T = 0 B A (1) dq T = B dq A (2) T = S(B) S(A) (1.2.23) S entropi : durum fonksiyonu. O durumun nicelikleri cinsinden hesaplanan ve o durumu niteleyen fonksiyon. Tersinebilir süreçler için; dq = T ds de = dq + dw = T ds + i 1 T = S E V J i dx i = (T } ds {{ P dv } ) ideal gaz için P = E V S Eǧer sistemde enerji deǧişimi yoksa; T P = V S E Kapalı bir sistem düşünelim. Bu sistem birçok alt durumdan oluşsun. Alt sistemler kendi aralarında ısı alışverişi yapsınlar. Bu nedenle dq = 0 olmalı. Fakat toplam entropi deǧişimi sıfırdan farklı olmalı. dq = 0 dq T ds 0 ds

23 18 Şekil 1.8: Tersinmez bir yoldan A dan B ye gidip, B-A tersinir yolundan geri dönelim. Şekil 1.9: B denklemindeki eşitlikten A (1) dq T + A dq B (2) T A B (2) dq T 0 = S(B) S(A) yazılabileceǧinden; B A dq T S(B) S(A) = S olur. Eǧer sistem dışarıdan adyabatik olarak izole edilmiş ise entropi deǧişimi sıfır Termodinamik Potansiyeller : Sistemin, belli koşullar altında minimize etmeye çalıştıǧı parametrelere termodinamik potansiyel denir.

24 Adyabatik izolasyon ve sabit kuvvet şartları altında sistem dengeye geliyorsa dengeye gelme koşulu entropinin maksimum deǧere ulaşmasıdır. 19 Kuvvet sabitse sistem üzerinde yapılan iş; dw Jdx (sürtünmeden dolayı kayıp var.) dq = 0 de = dw + dq Jdx veya d(e } {{ Jx } ) 0 H H; entalpi, termodinamik potansiyel. dh = d(e Jx) = T ds + Jdx (Jdx + xdj) dh = T ds xdj (1.2.24) İdeal gaz için; dh = T ds + V dp İzotermal ve sıfır iş (T sabit, dw = 0) şartları altında; dq T ds de = dq + dw de = dq de T ds d(e } {{ T S } ) 0 A

25 20 A = E T S : Helmholtz serbest enerjisi. Dengede minimum olur. da = de d(t S) = SdT + Jdx (1.2.25) İzotermal ve sabit kuvvet dq T ds dw Jdx de = dq + dw T ds + Jdx d(e } T {{ S Jx } ) 0 G G; Gibbs serbest enerjisi. Dengede minimum. dg = SdT xdj (1.2.26) Kimyasal İş: dw = µdn µ : Kimyasal potansiyel (Kimyasal potansiyel; sisteme o cins parçacıklardan bir tane daha eklemek için yapılması gereken iş) N i : i cinsinden parçacıkların sayısı Sistem üzerine yapılan iş sıfırsa ve sistem sabit sıcaklıkta ise; de T ds + µdn d(e T S µn) 0 } {{ } Grand potansiyel

26 21 Grand potansiyel, sistem dengeye gelirken minimuma yaklaşır. dφ = SdT Ndµ (1.2.27) Helmholtz Serbest Enerji da = SdT P dv (ideal gaz) S = A T V P = A V T S V = 2 A T V T = 2 A T V = T ( A ) V T = P T V Dolayısıyla buradan; S V daki denklem Maxwell baǧıntılarından birisidir. = P T T (1.2.28) V Örnek : C P C V =? Entropinin, sıcaklıǧın ve hacmin fonksiyonu olduǧunu kabul edelim. S = S(T, V ) ds = ( ) ( ) S S dt dv T V V T ds dt = P ( ) ( ) ( ) S S V + T V V T T P

27 C P = dq dt = T ds P dt P 22 = T S T + T S } {{ V V } C V T V T P Denklem ile verilen Maxwell baǧıntısı kullanılırsa; C P C V = T P T V V T P Zincir kuralı; P T V T V P V P = 1 T Bu zincir kuralını kullanırsak (C P C V ) ifadesini cevap fonksiyonları cinsinden yazmak mümkün olacaktır: C P C V = T ( ) ( ) 2 P V V T T P = T 1 ( ) ( ) 2 P V 1 V V2 V V T T P V } {{ } } {{ 2 } 1/κ P α 2 P C P C V = T V κ P α 2 P (1.2.29) III. Kanun : T = 0 da bir sistemin entropisi sıfırdır (S(T = 0) = 0). Isı sıǧası biliniyorsa sistemin entropisi hesaplanabilir. dq dq = T ds S(T ) = T

28 23 = S(T ) = T 0 T 0 C(T ) dt + S(T = 0) T } {{ } =0 C(T ) T dt (1.2.30) Entropiyi kesin olarak denklem den bulmak mümkündür Problemler 1) Foton Gazı: Karacisim ışımasının enerjisinin sıcaklıǧın dördüncü kuvvetiyle orantılı olduǧunu gösteriniz (E(T, V ) V T 4 ). Carnot çevrimi kullanarak bulunuz. a) Carnot çevriminde yapılan bu işi dp ve dv nin fonksiyonu olarak bulunuz. W = W (dp, dv ) =? b) Bir izoterm eǧrisi boyunca sistemin aldıǧı ısıyı(q) P dv ve E(T, V ) nin türevi cinsinden bulunuz. c) Carnot çevriminin veriminden yaralanarak W, Q ve T, dt arasında bir baǧıntı bulunuz. d) Foton gazının basıncını (P = AT 4 ) kullanarak foton gazının enerjisini bulunuz. e) Adyabatik eǧriler nedir? 2) a) Bir süperiletkenin, manyetik alan olmadıǧı koşulda termodinamiǧin III. yasasını kullanarak, süperiletken ve normal fazının entropisini bulunuz. b) İki faz arasındaki geçiş sıcaklıǧını α, β ve γ nın fonksiyonu olarak bulunuz (α, β, γ : sabit).

29 c) T = 0 da Copper baǧlarının oluşması sebebiyle iç enerjide V kadar bir düşme gözlenir. Buradan yararlanarak süperiletken faz ve normal faz için iç enerjiyi hesaplayınız ( : Birim hacim için enerji azalması). d) Her iki fazdaki Gibbs enerjilerini karşılaştırarak için α, β, γ cinsinden bir baǧıntı bulunuz. T 2 c 3) Sıcaklık Skalaları : e) Bir B manyetik alanının varlıǧında süperiletken faz bir diyamanyetik gibi davranır ve M s = V B 4π şeklinde bir mıknatıslanma üretir. B c(t ) = ( B 0 1 T ) 2 den daha büyük manyetik alanda süperiletken fazın normal faza döndüǧünü gösteriniz. İdeal gaz için Carnot çevrimini kullanarak ideal gaz sıcaklık skalası θ ile termodinamik skala T nin birbirine eşit olduǧunu kanıtlayınız. İdeal gaz, P V = Nk B θ eşitliǧine uyar ve iç enerjisi E, sadece θ sıcaklıǧının bir fonksiyonudur. Bununla beraber, E θ kabulünü yapmak yerine şu yolu da izleyebilirsiniz: 24 a) Q C ve Q H ısılarını θ H, θ C ve hacim terimlerinin fonksiyonu olarak hesaplayınız. b) Adyabatik süreçteki hacimce genişleme katsayısını θ nın fonksiyonu olarak hesaplayınız. c) Q H Q C = θ H θ C olduǧunu gösteriniz. 4) Durum Denklemleri : a) de = T ds P dv eşitliǧinden başlayarak durum denkleminin P V = Nk B T olduǧunu ve E nin sadece T sıcaklıǧına baǧlı olabileceǧini gösteriniz. b) Sadece sıcaklıǧa baǧlı bir iç enerji ile uyumlu olan bir durum denkleminin en genel formu nasıl yazılabilir?

30 c) Van der Waals gazı için ısı kapasitesi C V nin sadece sıcaklıǧın bir fonksiyonu olduǧunu gösteriniz KLASİK İSTATİSTİKSEL MEKANİK µ : Bir sistemin belli bir andaki mikroskobik durumu. Örneǧin; sistemin bütün parçacıklarının momentumları ( p i ) ve konumları ( r i ) M : Makroskobik durum. Sadece makroskobik gözlenebilirler cinsinden verilir. Örneǧin; (E, T, V, P ). Topluluk (ensemble) : Belli bir makroskobik durumla tutarlı mikroskobik durumların tümü. Her topluluk için mikroskobik durumların daǧılımlarıolmasıgerek. Topluluk içindeki olasılık daǧılımıp M (µ i ) olmak üzere; P M (µ i ) = 1 i Mikrokanonik Topluluk Adyabatik ve mekanik 2 olarak izole edilmiş (yalıtılmış) bir sistem düşünelim. Bu sistemin enerjisi E olsun. Bu sistemin makrodurumunu M(E, x) ile gösterelim. Bu M makrodurumu ile tutarlı olan birçok µ i mikrodurumu söz konusu. H(µ i ) = E 2 Mekanik olarak izole edilmiş : Hacim sabit, iş yapılmıyor.

31 olmalı (H:Hamiltoniyen). Yani her mikrodurumda aynı enerjiyi vermesi gerekir. 26 İstatistiksel mekaniǧin temel varsayımı; tüm mikrodurumlar aynı düzeyde eşit enerjiye sahip. Konfigürasyonlar aynı olasılıkta bulunur. Dengede E enerjili her mikrodurum eşit olasılıǧa sahiptir. Bu makrodurumla tutarlı olan bütün mikrodurumların sayısı; P M (µ i ) = 1 Γ(E, x) = 1 H(µ i ) = E 0 H(µ i ) E Γ(E, x) : {µ} uzayında H(µ i ) = E olduǧu yüzeyin alanı. H = i p 2 i 2m + U({ x i}) E enerjisi yerine E ile E + aralıǧındaki durumlar söz konusu olabilir. Bu durumda 6 N boyutlu momentum uzayında bir kabuǧun hacminden bahsedebiliriz. Kabuk çok ince ise bir alan olur. Γ yı kullanarak entropiyi tanımlarsak; S = k B ln Γ(E, x) (1.3.1) Entropiyi mikroskobik durumlara baǧlamış olduk. Bir boyutta hareket eden tek bir parçacıǧın enerjisinin sabit olduǧu durumlara bakalım. Parçacık L boyunda bir kutunun içerisinde sınırlandırılmış olsun.

32 27 Şekil 1.10: 0 x L V (x) = x > L Bu uzayda H(p, x) = E olduǧu durumları bulmaya çalışalım. E = H(p, x) = p2 2m + V (x) p2 = 2mE İki parçacık varsa; p 2 1 2m + p2 2 2m = E p2 1 + p 2 2 = 2mE Uzay, yarıçapı 2mE olan bir çember olur. Bu çember üzerindeki tüm noktalar girilebilir. Her noktanın enerjisi E dir.

33 28 Şekil 1.11: Termodinamiǧi bu mikrokanonik topluluktan yeniden türetmeye çalışalım. Termodinamǧin Yeniden Türetilmesi 0. Kanun : Şekil 1.12:

34 29 Alt sistem dışarıyla sadece ısı alış-verişinde bulunabilir. E = E 1 + E 2 = sabit (E 2 = E E 1 ) Toplam Γ yüzeyinin alanına bakalım. (1) ve (2) nolu alt sistemlerin olası mikrodurumları üzerinden yüzey alanını yazmaya çalışalım. Γ(E) = de 1 Γ 1 (E 1 )Γ 2 (E 2 ) (1.3.2) (1) nolu sistemin enerjisi deǧiştiǧinde (2) nolu sistemin enerjisinin tüm olası durumlarınıhesaba katıyoruz, olası tüm konfigürasyonları hesaplıyoruz. Bu integrali hesaplamak için Saddle-Point yöntemini kullanacaǧız. Saddle-Point Metodu : İlk önce toplamlar için Saddle-Point yöntemine bakalım. Örneǧin i e Nφ(x i) toplamına bakalım (N : makroskobik sistemdeki parçacık sayısı). Bu toplamın içndeki φ(x i ) lerden büyük olan φ(x max ) terimini dışarı alalım. e Nφ(xi) = e Nφ(xmax) {1 + i i i max e N[φ(xi) φ(xmax)] } {{ } N ise =0olur. } İntegrale bakalım; I = dxe Nφ(x) = ( [ dx exp N φ(x ) + dφ dx x (x x ) d 2 φ dx 2 x (x x ) 2 ])

35 φ(x) i minimum ya da maksimum civarında açıyoruz. Bu nedenle birinci düzeltme terimi d2 φ dx 2 dir. 30 Şekil 1.13: I = e Nφ(x ) ( ) dx exp N φ 2 (x x ) 2 Gaussian bir integral Gauss integrali; O halde; + e ax2 dx = π a 2π ) I = N φ enφ(x (1.3.3) (1.3.4) olur. Buna Saddle-Point integrasyonu denir. Denklem ile verilen Γ(E) nın logaritmasına bakalım. S = k B ln Γ(E) = k B ln (S 1 (E 1 ) = k B ln Γ 1 (E 1 )) de 1 exp {S 1 (E 1 ) + S 2 (E 2 )} 1 } {{ } k B j Saddle pointe göre j ile belirtilen parantez içini maksimum yapan deǧer integral

36 31 dışında yazılabilir. Yukarıda E 2 = E E 1 yazdık. [ ( S = k B ln exp {S 1 (E1) + S 2 (E2)} 1 )] k B Toplamı maksimize eden enerjiyi E 1 civarında seri açalım. E 1 (S 1 (E 1 ) + S 2 (E E 1 )) E1 =E 1 S 1 E 1 S 2 E 2 = 0 = 0 S 1 E 1 = S 2 E 2 1 T 1 = 1 T 2 T 1 = T 2 0. kanun bulundu. Denge durumunda sıcaklıkların eşit olması gerekir. I. Kanun : Denge durumundaki dönüşümlere bakacaǧız. Hacmi biraz deǧiştirip (δx kadar) entropideki deǧişime bakalım. δ x S(E, x) dw = Jdx S = S(E + Jd x, x + d x) S(E, x) Çok küçük deǧişimler olduǧu için Taylor açılımı yapılır: S = S(E, x) + S S E J d x + x x d x S(E, x) E Eǧer E ve x bir denge noktası ise birinci dereceden düzeltmeler sıfır verir. İlk

37 32 düzeltmeler ikinci dereceden gelir. S E J + S } {{ } x x 1 T E δx = 0 J T = S x S = S(E, x) ds = S E de + S x x d x E ds = S J E de x T d x = de T J T d x de = T ds + Jd x (1.3.5) E II. Kanun : İki sistem olsun: Γ 1 (E 1, x 1 ), Γ 2 (E 2, x 2 ) (1) ve (2) sistemleri temas haline geçsin. Enerji alışverişi başlasın. Dolayısıyla E 1 ve E 2 deǧişecek. Yeni durum; Γ 1 (E 1, x 1 ) Γ 2 (E 2, x 2 ) (E 1 + E 2 = E1 + E2) Yeni durumun mikrodurumu çok daha fazladır. de 1 Γ 1 (E 1, x 1 )Γ 2 (E 2, x 2 ) Saddle-Point teroreminden Γ = Γ 1 (E 1, x 1 )Γ 2 (E 2, x 2 )

38 33 Entropi deǧişimi; δs = S 1 (E 1) + S 2 (E 2) S 1 (E 1 ) S 2 (E 2 ) 0 Dengeye gelmeden hemen önceki duruma baktıǧımızı kabul edelim. Yani E 1 ile E1, E 2 ile E2 arasındaki fark çok küçükse (S 1 (E1) S 1 (E 1 ), S 2 (E2) S 2 (E 2 )); δs = S 1 E 1 δe 1 + S 2 x1 E 2 δe 2 0 x2 δe 2 = δe 1 ( 1 1 ) δe 1 0 T 1 T 2 Bu denklem enerji transferinin yönü hakkında bilgi verir. δe 1 0 ise ((1). sistem enerji almışsa) T 1 < T 2 olur. T 1 sıcaklıǧındaki (1). sistem soǧuk sistem olur. Yani enerji sıcaktan soǧuǧa akar. III. Kanun : S(T = 0) = 0 Γ(T = 0) = 1 Yani T = 0 da tek bir durum sözkonusu. Temel durum 1 tane olmalı. Örnek : V hacimli bir kutu içerisindeki ideal gaz: H = i p i 2 2m + U( x i)

39 34 Potansiyel terimini tanımlayalım; 0 { x i } V U( x i ) = { x i } V Parçacıkların toplam enerjilerinin E ye eşit olduǧu alan (6N boyutlu uzayda) ne kadardır? Γ(E) = d 3N pd 3N x δ (H({ p i, x i }) E) Bu ifade, Γ uzayında sabit enerji yüzeyinin alanına karşılık geliyor. Noktalar hacim içerisinde olduǧu sürece x lerin katkısı sıfırdır (hacim içinde U( x i ) = 0). Γ(E) = ( ) d 3N pi 2 p δ 2m E d 3N q { q i } V d 3N q = V N i p i 2 = 2mE 3N boyutlu uzayda yarıçapı 2mE olan kürenin yüzeyi Γ(E) = V N p 2 i =2mE { } d 3N p = V N 2π ( 3N/2 3N 1)! 2 } {{ } S 3N (2mE) 3N/2 1 ( p 2 i = 2mE : 2mE yarıçaplı 3N boyutlu kürenin yüzey alanı S 3N : 3N boyutlu birim yarıçaplı kürenin yüzey alanı) Γ(E) V N (2mE) 3N/2 S 3N (1.3.6) S(E, V, N) = k B ln Γ(E, V, N) S k B = N ln [ V (2mE) 3/2] + ln S 3N

40 ln S 3N = ln { } ( ) 2π ( 3N/2 3N 3N ) = N ln π 3/2 ln 2! 2! } {{ } 35 ln N! = N ln N N: Stirling yaklaşımı Stirling yaklaşımını Saddle-point integrasyonu ile gösterebiliriz: ( ) π 3/2 ln S 3N = N ln e3/2 N 3/2 0 x n e x dx = n! [ S = N ln V k B ( ) ] 3/2 4eπmE 3N (1.3.7) Entropiyi kullanarak termodinamik potansiyelleri bulabiliriz. bulalım. 1 T = S 3N E = k B V,N 2E Örneǧin enerjiyi E = 3 2 Nk BT (1.3.8) Durum Denklemi : de = T ds P dv Sabit E altında T ds = P dv olur. P T = S V = k bn E,N V P V = Nk B T Bu ifade, sadece ideal gaz için geçerli olan durum denklemidir. Gibbs Paradoksu T sıcaklıǧında iki tane gaz örneǧi olsun: N 1, V 1, T ; N 2, V 2, T

41 36 Şekil 1.14: İki farklı cins gaz atomu. Parçacıklar karışınca, aradaki engel kalkar, entropinin artması gerekir. Sistemler birleşmeden önceki ve sonraki enerji farkı; E = E 1+2 E 1 E 2 = 3 2 (N 1 + N 2 )k B T 3 2 N 1k B T 3 2 N 2k B T = 0 Entropi; S = S 1+2 S 1 S 2 ( ) 3/2 4eπmE S(E) = Nk B ln V 3N } {{ } Bu denklemdeki ln ifadesi toplam olarak yazılırsa entropi farkı alınırken parantez içerisindeki ifadeden herhangi bir katkı gelmez. (V = V 1 + V 2 ) S = (N 1 + N 2 ) ln(v 1 + V 2 ) N 1 ln V 1 N 2 ln V 2 = N 1 ln ( ) ( ) V V V 1 + N 2 ln V 2 0 Bu denklem farklı gazlar için doǧrudur. Fakat; aynı gazlar için problemlidir. İki gaz aynı parçacıklardan oluşuyorsa makroskobik olarak ayırtedilemezlik problemi ortaya çıkar.

42 37 Bir konfigürasyonda aynı tip iki atomun yeri deǧiştokuş edildiǧinde konfigürasyonu iki defa saymış oluruz. N tane atom varsa N! kadar fazla saymış oluruz. Bunu düzeltmek için Γ Γ/N! yazılır. Bu durumda; S k B S k B N ln N S = Nk B ln [ V N ( ) ] 3/2 4πmeE 3N (1.3.9) Entropi doǧru tanımlandı. Doǧru entropi tanımı extensive olmalı. Kontrol : (N 1, V 1 ) + (N 2, V 2 ) aynı cins gazlar, sabit T, sabit P S k B P : sabit N 1 V 1 = N 2 V 2 = N 1 + N 2 V 1 + V 2 = α ( ) V1 + V 2 = (N 1 + N 2 ) ln N 1 ln V 1 N 2 ln V 2 N 1 + N 2 N 1 N 2 S k B = (N 1 + N 2 ) ln α N 1 ln α N 2 ln α = 0 saǧlandı. Buraya kadar ilk düzeltmeydi. İkinci düzeltme : Γ = d 3N pd 3N q birimlerden kurtarılmalı. Γ bir sayı olmalı. Γ Γ/h 3N h : birimi (p, q) Sonuç olarak; yazılmalı. Γ = 1 N! 1 h 3N d3n pd 3N q

43 Kanonik Topluluk Burada T, V, N sabit olup N için mikrokanonik sonuçla uyumludur. Makrosistemi farklı termodinamik nicelikler cinsinden tanımlayacaǧız. Dışarıdan izole edilmiş bir sistem ele alalım. Bu sistemin enerjisi E toplam olsun. Şekil 1.15: P (µ S+R ) = 1 Γ S+R (E toplam ) = Küçük sistemin mikrodurumunu bulalım. 1 H S + H R = E 0 H S + H R E P (µ S ) = µ R P (µ S+R ) = Γ R(E top H S (µ S )) Γ R+S (E top ) Γ R (E top H S (µ S )) e 1 S k R (E top H S ) B 1 = exp S R (E top ) 1 k B k B S R E R } {{ } x 1/T R H S e H S/(k B T R ) Topluluk büyük bir rezervuar ile temas halinde olduǧu için farklı mikrodurumlar farklı enerjilerle karşımıza çıkıyor.

44 39 Yeni topluluktaki bir mikrodurumun olasılıǧı: Z = {µ S } P (µ S ) = e H(µ S)/(k B T ) e H S/(k B T ) {µ S } e H S/(k B T ) Bölüşüm fonksiyonu Mikrodurumlar { p i, q i } seti ile verilsin. Z = 1 N! N i=1 ( d 3 p i d 3 q i h 3 ) e H(q i,p i )/k B T (1.3.10) Bölüşüm fonksiyonunu bütün enerjiler üzerinden bir toplam olarak yazalım. Z = ε Γ(ε)e ε/k BT Γ(ε) : ε enerjili düzeylerin sayısı = ε Γ(ε)e S(ε)/k B ε/k B T Yine Saddle-point yöntemine başvuralım: Z = ε Γ(ε)e F (ε)/k B F (ε) = ε T S(ε) A yı maksimize ya da minimize eden ε deǧerini seçelim: A(T, x,n)/k Z(T, x, N) = e BT Helmholtz Serbest Enerjisi A = F (ε )

45 40 Soru : A ile termodinamikten bildiǧimiz serbest enerji aynı mıdır? 1 = {µ} e β(a(t, x) H) β = 1 k B T β ya göre türev alalım: 0 = {µ} [ A(T, x) H + β A β ] x e β(a H) β A β = β A T T β = 1 A k B β T A(T, x) E 1 k B β A(T, x) = E + T A T A T x = 0 x A T = S x A = E T S Eǧer A Helmholtz enerjisi ise; E = T ds P dv d(e } {{ T S } ) = SdT A Sistemin enerjisi sabit deǧil deǧişiyor. A = k B T ln Z

46 41 Ortalama enerji; E = H = {µ S } H Se βh S e βh S = {µ S } H Se βh S Z = ln Z β Basınç; P = A V = k B T ln Z T V Enerji Salınımları: T Enerji ortalama deǧerinden ne kadar sapmaya uǧrar? (H H ) 2 = H 2 H 2 ln Z β = H = E = 1 H 2 Z Se βh S 1 H S e βh S Z = 1 Z {µ S } [ 2 Z 1 β 2 Z {µ S } ] 2 Z = [ 1 β β Z ] Z β } {{ } ln Z β 2 = 2 ln Z β 2 (H H ) 2 = E β = E T T β = k BT 2 C x C x : Isı sıǧası, sistemdeki enerji salınımları hakkında bilgi verir. σ = (H H ) 2 = k B T 2 C x N

47 42 Şekil 1.16: Göreceli enerji salınımları N N = 1 N Kanonik topluluk N için mikrokanonik ile aynı olur. Gaussian daǧılımı; P (x) = e x2 /2σ 2 2πσ 2 ) (ε H )2 1 P (ε) = exp ( 2k B T 2 C x 2πkB T 2 C x N iken P (ε) δ(ε) olur. UYGULAMA Soru : Entropiyi neden ln li bir fonksiyon olarak alıyoruz? Mikrodurum sayısı; Γ 1 (E 1 )Γ 2 (E 2 ), E 2 = E E 1

48 43 E 1 in hangi deǧeri için Γ 1 maksimum oluyor? Γ 1 (E 1 ) E 1 E1 =E 1 Γ 2 (E 2) + Γ 1 (E 1) Γ 2(E 2 ) E 2 E 2 E 1 }{{} = 1 (E 1 : mikrodurum sayısını maksimum yapan enerji deǧeri) Yukarıdaki denklemi 1 Γ 1 Γ 2 ile çarpıp düzenlersek; Γ 1 1 = Γ 2 1 E 1 Γ 1 E 2 Γ 2 Küçük farklar halinde yazarsak; β 1 = ln Γ 1 E 1 = ln Γ 2 E 2 = β 2 denge koşulu ln Γ E 1 = ln Γ S S = β }{{} E 1/T S (ln Γ) = 1 βt S = k B (ln Γ) (1.3.11) n Boyutlu Hiperküre : x x x 2 n = r 2 olacak şekilde bir küre tanımlayabiliriz. Bu kürenin diferansiyel hacmi; V =... x 2 1 +x x2 n=r 2 dx 1 dx 2 dx 3... dx n

49 44 Hacim, uzayın boyutuyla orantılıdır. n boyuttaki bir hacim için; V n = c n R n c n : uzayın boyutuna baǧlı bir sabit. ya da V n = R S n dr S n : alan Yüzey alanı için şu baǧıntıyı yazabiliriz: 0 S n = dv n(r) dr = nc n r n 1 V n = R R nc n r n 1 dr = nc n r n 1 dr = dx 1 dx 2 dx 3... dx n x 2 1 +x x2 n=r 2 (1.3.12) Kartezyen koordinatları küresel koordinatlara çevirmek gerek denkleminin saǧ tarafını küresel koordinatlara çevireceǧiz. dx 1... dx n = r n 1 drdω n 1 R (1.3.13) = nc n r n 1 dr 0 Örneǧin 3-boyutta dv = r 2 dr sin θdθdφ Bütün açılar üzerinden alınan integral o integralin önündeki katsayıyı verir. n 1 tane açı tanımlıyoruz denkleminden; dω n 1 = nc n

50 45 buluruz. Şöyle bir fonksiyon alalım: e (x2 1 +x x2 n) = e r e (x2 1 +x x2 n ) dx 1... dx n = r n 1 dr dω n 1 e r e x2 1 dx1 e x2 2 dx e x2 n dxn = nc n r n 1 e r2 dr (1.3.14) } {{ } π } {{ } π } {{ } π 0 } {{ } I I ile tanımlanan integral ifadesine kısmi integrasyon uygulanırsa; I = 1 2 Γ ( n 2 ) elde edilir denklemini yeniden düzenlersek; n Γ ( ) ( n 2 2 = Γ n + 1) olduǧuna göre; 2 π n/2 1 ( n ) = nc n 2 Γ 2 c n = πn/2 Γ ( (1.3.15) n + 1) 2 Hacim; Yüzey alanı; V = c n r n = S n = n π n/2 πn/2 r n Γ ( (1.3.16) n + 1) 2 Γ ( n 2 + 1)rn 1

51 46 denklemini 2 ile çarpıp bölersek S n = 2 n 2 πn/2 Γ ( n 2 + 1)rn 1 Γ(n + 1) = nγ(n) = n(n 1)! eşitliǧini yüzey alanı için yazdıǧımız denklemde kullanıp yeniden düzenlersek; S n = 2πn/2 r n 1 ( n 2 1)! elde ederiz. Bu kürede ince bir kabuk alalım. hacimine oranı ne olur? Bu ince kabuǧun hacminin bütün küre Şekil 1.17: V n V n =? Bu oran yarıçaplarla orantılı olduǧu için; V n V n = rn 0 (r 0 r) n r n 0 [ ] n [ r0 r = 1 = 1 1 r ] n r 0 r 0 lim n V n V n = 1 Bu durumda sadece kabuk yüzeyine yakın mikrodurumlar yeterli. E 0 ile E 0 + E aralıǧındaki mikrodurumları almak yeterli.

52 Problemler 1) Klasik Harmonik Osilatör : Bir boyutta salınım yapan N tane harmonik osilatorden oluşan sistemin mikro durum sayısı(γ(e, N)), entropisi (S), enerjisi (E) ve ısı kapasitesi (C) nedir? 2) Harmonik Salınıcılar Sistemi : N tane baǧımsız ve ayırdedilebilir kuantum mekaniksel harmonik salınıcıdan oluşan bir sistemi göz önüne alınız. H({n i }) = N i=1 ( ω n i + 1 ) 2 a) Sistemin entropisini toplam enerjinin bir fonksiyonu olarak bulunuz. (S(E)) b) Sistemin T sıcaklıǧını hesaplayınız, enerjiyi ve ısı kapasitesini T ve N nin fonksiyonu olarak yazınız. c) Salınıcıların herhangi bir n. düzeyde bulunma olasılıǧını hesaplayınız. 3) Hiperküre : N parçacıktan oluşan bir sistemin hacminin V 3N = 0 N i=1 r i R ( N ) 4πri 2 dr i i=1 = (8πR3 ) N (3N)! olduǧunu gösterin. Bu eşitliǧi kullanarak üç boyutta hareket eden N parçacıklı ve E = pc enerjili ekstrem rölativistik gazın sıcaklıǧını, basıncını ve ısı kapasitesini hesaplayınız. 4) Serbest Parçacık : Bir boyutta hareket eden bir parçacıǧın hareketi, 0, 0 < x < L u(x) =, diǧer durumlar potansiyeli ile sınırlandırılıyor. Kanonik topluluk formalizmini kullanarak parçacıǧın bölüşüm fonksiyonu Z(T, L) için bir eşitlik yazınız.

53 48 Kanonik Topluluk - İdeal Gaz Z(T, V, N) = 1 h 3N N! = V N h 3N N! = V N h 3N N! N i=1 H = N i=1 p i 2 2m + U( q i) d p i d q i e βh({ p i, q i }) d p 1 d p 2... d p N e β N i=1 d p 1 e p 1 2 /(2mk B T ) } {{ } I p i 2 2m d p 2 e p 2 2 /(2mk B T )... } {{ } I = V N h 3N N! IN (1.3.17) I = dp x dp y dp z e (p2 x+p 2 y+p 2 z)/(2mk B T ) = (2πmk B T ) 3/2 eşitliǧini denkleminde yerine yazarsak; eşitliǧini elde ederiz. Z(T, V, N) = 1 N! V N ( 2πmkB T h 2 ) 3N/2 T sıcaklıǧındaki m kütleli bir parçacık için termal dalgaboyu: λ(t ) = h 2πmkB T Z(T, V, N) = 1 N! ( ) V λ 3 Bu denklem ideal gaz için kanonik bölüşüm fonksiyonudur. (1.3.18) (1.3.19)

54 V λ 3 : V hacmi içerisinde tek bir ideal gazın alabileceǧi durum sayısı olarak tanımlayabiliriz. 49 Serbest enerji; A(T, V, N) = k B T ln Z = Nk B T ( ) V e A(T, V, N) = Nk B T ln Nλ 3 { ( ) } V ln ln N + 1 λ 3 Entropi; S = A T ( ) V e = Nk B ln V,N Nλ 3 3Nk BT λ λ T denkleminden; λ T = 1 2T λ ( ) V e S = Nk B ln Nλ Nk B = A T Nk B = A T + E T A = E T S İç enerji; E = lnz β = T = β [ N ln [ ( ev N ln Nλ 3 ( ev Nλ 3 Parantez içerisindeki ifadenin türevine bakalım: )] T β )] N ( ) ev T ln = N ( ) 1 Nλ 3 T ln = N λ 3 T ln λ3

55 = 3N T ln λ = 3N λ = 3 N 2 T λ T = 3N λ ( λ ) 2T E = 3 N T 2 T β = 3 N 2 T ( k BT 2 ) 50 E = 3 2 Nk BT (1.3.20) Durum denklemi: Bunun için P V ilişkisine bakmalıyız. P = A V = Nk BT T,N V P V = Nk B T İdeal gaz için kimyasal potansiyel: µ = A N = A T,V N + k BT = E T S N + P V N E = T S P V + µn de = T ds + SdT P dv V dp + µdn + Ndµ (1.3.21) ( ) V e A = Nk B T ln N λ 3

56 51 Serbest enerji ifadesini kimyasal potansiyel eşitliǧinde kullanırsak: ( ) ( ) V e V µ = k B T ln + k Nλ 3 B T = k B T ln Nλ 3 ( ) Nλ 3 µ = k B T ln V (1.3.22) Bu sistem için; de = dq + dw = T ds P dv + µdn denklemi ile bu denklemi karşılaştırırsak; T ds + SdT P dv V dp + µdn + Ndµ = T ds P dv + µdn SdT V dp + Ndµ = denkleminde gelen ek terimler sıfırdır Grand Kanonik Topluluk Bu sistemlerde parçacık alışverişi sözkonusu. Isı banyosu ile sistem arasında ısı alışverişi var. Toplam hacim : V = V R + V S Toplam parçacık sayısı : N = N R + N S Kanonik bölüşüm fonksiyonu; Z N (T, V ) = d 3N qd 3N p N!h 3N e β(h R+H S ) (1.3.23)

57 52 Şekil 1.18: H = H R + H S : Toplam Hamiltoniyen Kabul : Toplam Hamiltoniyen, ısı banyosundaki parçacıkların konum ve momentumları ile sistemin konum ve momentumlarının bir toplamıdır. Yüzey terimlerini ihmal ediyoruz. Z N (T, V ) = 1 N!h 3N Z N (T, V ) = 1 N!h 3N d 3N qd 3N pe βh(q,p) d 3N qd 3N pe β(h R+H S ) (1.3.24) Kaç parçacık sistemde, kaç parçacık ısı banyosunda belli deǧil. Bu nedenle tüm parçacıklar üzerinden toplam alınır. Z = 1 N!h 3N N N S =0 N! N S!N R! d 3N S q S d 3N S p S E βh S d 3N R q R d 3N R p R e βh R (1.3.25) Burada N tane parçacık içinden N S tanesini kaç farklı şekilde seçebileceǧimizi hesaba katmak için eşitliǧi N S!N R! ile böldük. Z NR (V R, T ) = 1 N R!h 3N R dq 3N R dp 3N R e βh R (1.3.26)

58 eşitliǧini eşitliǧinde kullanarak grand kanonik topluluk için olasılık baǧıntısı şu şekilde yazılır: P ({ p S, q S }, N S ) = e βh S Z N S!h 3N NR (V R, T ) (1.3.27) S Toplam olasılık 1 e normalize edilirse, P ({ p S, q S }, N S ) = e βh S Z N S!h 3N S N R (V R, T ) Z N (T, V ) (1.3.28) Z N (T, V ) = e βa(n,t,v ) (1.3.29) Isı banyosu için, Z NR (T, V R ) = e βa(n N S),T,(V V S ) (1.3.30) Isı banyosunun, sisteme göre çok büyük olduǧunu kabul ediyoruz: Z NR (T, V R ) = e β [ A(N,T,V ) N S( A N ) T,V V S( A V ) N,T ] (1.3.31) ve eşitlikleri da kullanılırsa, P ({ p S, q S }, N S ) = e βh S+βµN S +βp V S N S!h 3N S (1.3.32) Sistemin hacmi sabit (βp V S = sbt), parçacık sayısı (βµn S ) ve enerji (βh S )

59 54 deǧişken olduǧu için olasılık, P e βh S+βµN S N S!h 3N S (1.3.33) olarak elde edilir. Normalizasyon terimi; Ξ = N N S =0 d 3N S q S d 3N S p S e βh S+βµN S (1.3.34) N S!h 3N S Standart uygulama : z = e βµ seçelim. Ξ = N {N S } z N S e βh S N S!h 3N S (1.3.35) Bu eşitlikte iki çeşit toplam vardır ve z N S teriminde konum ve momentum baǧlılıǧı yoktur. Ξ = N N S z NS d 3N q S d 3N p S e βh S (1.3.36) N S!h 3N S Böylece kanonik bölüşüm fonksiyonu cinsinden grand kanonik bölüşüm fonksiyonu; N Ξ(µ, T, V ) = z N S Z(N S, T, V S ) (1.3.37) N S =0 Sistemde N S tane parçacık olma olasılıǧı; P (N S ) = z N S Z(N S, T, V ) N N S =0 zn S Z(NS, T, V ) (1.3.38)

60 55 Ortalama parçacık sayısı; N N S = N S P (N S ) = N S =0 N N S =0 N Se βµn S Z(N S, T, V ) Ξ = ( ) ln Ξ (βµ) T,V (1.3.39) Parçacık Sayısındaki Dalgalanmalar (N S < N S >) 2 = 2 ln Ξ (βµ) 2 = (βµ) ( ) ln Ξ = < N S > (βµ) (βµ) (1.3.40) σ N S σ N S 1 NS Termodinamik limitte (N S ) için σ/n S 0 olur. Bu limitte kanonik ve grand kanonik topluluklar için elde edilen her sonuç özdeş olur. N Ξ(µ, T, V ) = e βµn S Z(N S, T, V ) (1.3.41) N S = eşitliǧine Saddle-Point yöntemini uygulayalım. e βµn S βa(n S,T,V ) = e β(e T S µn ) (1.3.42) Ξ = e βφ G (1.3.43) Φ G = E T S µn = P V : Grand Potansiyel.

61 56 dφ G = P dv SdT Ndµ (1.3.44) S = P = N = ( Φ ) G T V,µ ( ) ΦG V T,µ ( ) ΦG µ V,T (1.3.45) Grand Kanonik Kümede İdeal Gaz Ξ(T, V, µ) = N=0 e βµn N! d 3N qd 3N pe β N i=1 P 2 i /2m (1.3.46) İntegralin sonucu kanonik bölüşüm fonksiyonunu verir. Ξ(µ, V, T ) = e βµn 1 N! N=0 ( ) N V = λ 3 N=0 ( ) 1 e βµ N V = e eβµ V λ 3 (1.3.47) N! λ 3 Φ G = k B T ln Ξ = k B T eβµ V λ 3 = P V (1.3.48) eşitliǧinden; P = k BT λ 3 eβµ (1.3.49) Bu eşitliǧi kimyasal potansiyel cinsinden deǧil de parçacık sayısı cinsinden yazsaydık

62 57 P V = Nk B T eşitliǧini elde ederdik. Parçacık sayısı: N = ( Φ ) G µ T,V = e βµ V λ 3 (1.3.50) ve eşitlikleri birleştirilirse, P = k BT N V P V = Nk B T (1.3.51) ile verilen ideal gazın durum eşitliǧi elde edilir. Kanonik kümede parçacık sayısı sabit olduǧu için bölüşüm fonksiyonunu hesaplamak çoǧu zaman zordur bu nedenle grand kanonik kümede, parçacık sayısının deǧişken olması daha basit bir matematiksel yaklaşım kullanmamızı saǧlar Problemler 1) Bir boyutlu polimer : Esnek, bir boyutlu bir polimer, N monomerden her biri yatay veya dikey olacak şekilde modellenebilir. Monomer uzunluklarıyatay durumda a, dikey durumda sıfır olsun. a) Polimerin boyu L iken entropisi nedir? (L = mna) b) Entropiyi maksimize ederek polimerin tipik uzunluǧunu (L ) bulunuz. c) Enerji terimi olmadıǧıiçin sabit sıcaklıkta serbest enerji A = T S ile verilir. L L + L için gerilimi hesaplayınız ve yay sabitini bulunuz.

63 58 2) Clausius-Clapeyron Denklemi: Kaynama sıcaklıǧının basınca baǧlılıǧınıgösteren bir denklemdir. Bir mol su kullanan bir Carnot makinası düşünelim. Sabit (P, T ) ile L gizli ısısı girişiyle, su buhara çevrilsin (hacim artacak). Ardından basınç, adyabatik olarak (P dp ) ye düşürülsün. (P dp, T dt ) de buhar yeniden yoǧunlaşsın (bkz. Şekil 1.19). Şekil 1.19: a) (P, T ) ve (P dp, T dt ) de ayrıayrıµ su = µ buhar olmalı. dp yi entropi dt ve hacim farkları cinsinden yazın.(v sıvı = 0 alın) b) Bir döngüde yapılan işin dw = V dp olduǧunu gösteriniz. c) η = 1 T C T H den, Clausius-Clapeyron denklemini elde ediniz: dp dt = L T V Etkileşen Parçacıklar Önceki kısımlarda etkileşmeyen parçacıklardan oluşan sistemleri ele almıştık. Bu kesimde parçacıklar arasındaki etkileşimleri ve bu etkileşimlerin istatistiksel mekanikteki rolünü anlamaya çalışacaǧız. Bu tip sistemler için en genel Hamil-

64 toniyen; H N = N i=1 59 P i 2 2m + U( q 1, q 2,..., q N ) (1.3.52) şeklindedir. Sistemin N parçacıktan oluştuǧunu kabul ederek bu Hamiltoniyen için kanonik bölüşüm fonksiyonunu yazalım: Z(T, V, N) = N i=1 d 3 q i d 3 p i e βh N!h 3N = 1 N!λ 3N N i=1 d 3 q i e βu( q 1, q 2,..., q N ) (1.3.53) Hesaplarımızda kolaylık saǧlaması açısından U( q 1, q 2,..., q N ) = i<j ν( q i q j ) şeklinde bir potansiyel tanımlayalım. Böylece parçacıklar arasındaki konum farkından kaynaklanan bir potansiyel etkileşme tanımlamış olduk. Bu potansiyel ifadesini, ilk terimi etkileşme barındırmayan bir seriye açılmalıdır. Eǧer iki parçacık birbirine yaklaşırsa itici etkileşme, mesafe uzayınca ise sıfır etkileşme olsun: f ij = e βν( q i q j ) Böylece f ij, -1 ile 0 arasında bir deǧer alabilecek şekilde seçilmiş olur. Bölüşüm fonksiyonunu f ij etkileşme terimi cinsinden yazalım; Şekil 1.20: Moleküller arası ν ij potansiyeli ve f ij fonksiyonu

65 Z(T, V, N) = 1 N!λ 3N N i=1 d 3 q i e β i<j ν( q i q j ) = 1 N!λ 3N N d 3 q i (1 + f ij ) i=1 i<j 60 (1.3.54) i<j (1 + f ij) ifadesinin ilk terimi yukarıdaki eşitliǧe V N katkısı verir. Daha sonra ise düzeltme terimleri gelir. Sistemdeki parçacık sayısını deǧişken tutarak kanonik bölüşüm fonksiyonundan grand kanonik bölüşüm fonksiyonuna geçelim. Grand kanonik bölüşüm fonksiyonu; S N = N i=1 S N = Ξ(µ, T, V ) = N i=1 d 3 q i [ N=0 1 + i<j e βµn N!λ 3N S N (1.3.55) f ij + i<j ] f ij f kl k<l (1.3.56) d 3 q i [1 + (f 12 + f ) + (f 12 f 13 + f 12 f ) +...] (1.3.57) Bu açılımdaki bütün terimleri saymanın uygun bir yolu, her bir terimi bir çizge ile ilişkilendirmektir. N parçacıktan oluşan bir çizge, 1, 2,..., N şeklinde numaralandırılmış N tane farklı çemberin bir toplamıdır. Örneǧin, eǧer birbirine farklı hatlarla baǧlanan farklı çiftler α, β,..., λ çiftleri ise, o halde söz konusu çizgenin terimleri şu şekilde olacaktır: N i=1 d 3 q i f α f β...f λ (1.3.58) Mesela, açtıǧımız terimlerden birisi f 23 f 56 f 67 olsun. Bu terim, 2 ile 3, 5 ile 6 ve 6 ile 7 indisli parçacıklar arasındaki etkileşmeyi temsil eder. Bu duruma ait çizgenin şekli aşaǧıdaki şekilde görülmektedir.

66 61 Bu çizgenin etkileşme terimleri şu şekilde olmalıdır: d 3 q 1 d 3 q 2 d 3 q 3 f( q 2 q 3 ) d 3 q 4 d 3 q 5 d 3 q 6 d 3 q 7 f( q 5 q 6 )f( q 6 q 7 ) (1.3.59) Deǧişik türden ikili, üçlü, dörlü,... çizgeler söz konusu olabilir. i < j şartını her bir etkileşmeyi bir defa saymak için kullanıyoruz. Şekilde gösterilen iki yapının terimleri farklıdır ancak integrallerin sonuçları aynıdır. Burada yeni bir parametre tanımlayalım: b l : l tane parçacık içeren baǧlı çizgeler üzerinden toplam. b 1 : tek baǧlı çizgi. d 3 q = V b 2 : iki parçacıklı baǧlı çizgi. d 3 q 1 d 3 q 2 f( q 1 q 2 ) Eǧer çizgede en az iki parçacık etkileşiyorsa b l parametresinin hesabı için f fonksiyonu tam olarak bilinmelidir. Son eşitlikte yazılan iki deǧişkenli integral tek deǧişkene baǧlı olarak yazılabilir. Parçacıklar arası mesafeyi deǧiştirmeden

67 62 aǧırlık merkezi üzerinden integral hesaplamak mümkündür. q 1 + q 2 2 = q cm q 1 q 2 2 = q 12 d 3 q 1 d 3 q 2 f( q 1 q 2 ) = dq cm dq 12 f 12 = V dq 12 f(q 12 ) (1.3.60) Üç parçacıklı baǧlı çizgeler (Şekil 1.21): Şekil 1.21: dq 1 dq 2 dq 3 [f(q 1 q 2 )f(q 1 q 3 ) + f(q 1 q 3 )f(q 2 q 3 ) +f(q 1 q 2 )f(q 2 q 3 ) + f(q 1 q 2 )f(q 2 q 3 )f(q 1 q 3 )]

68 63 Şimdi bu eşitliǧi aǧırlık merkezi koordinatlarına göre yazalım: = V d 3 q 12 d 3 q 13 [f( q 12 )f( q 23 ) + f( q 12 + q 23 )f( q 23 ) +f( q 12 )f( q 12 + q 13 ) + f( q 12 )f( q 13 )f( q 12 + q 13 )] Son yazdıǧımız integralde q 1 q 2 ve q 1 q 3 şeklinde iki deǧişken seçtik ve aşaǧıdaki eşitliklerden faydalandık. q 1 q 3 = ( q 1 q 2 ) + ( q 2 q 3 ) q cm = q 1 + q 2 + q 3 3 q 12 = q 1 q 2 q 23 = q 2 q 3 Yukarıdaki eşitlikte yer alan açılımda ilk üç integral aynı sonucu verir, dördüncüsü ise farklıdır. (1.3.57) eşitliǧi ile verilen S N ifadesi bütün b l terimlerini içinde barındırır. İlk terim tek bir parçacıǧı, ikinci terim bir çizgi ile birleştirilmiş iki parçacıǧı, üçüncü terim ise iki çizgi ile birleştirilmiş üç ya da daha fazla parçacıǧı... temsil eder. Şimdi şu sorunun cevabını arayalım: N tane noktayı kaçtane l lik çizgeler gruplarının bir araya gelmesi ile yazabiliriz? Örneǧin az önceki tartışmalarımızda 7 tane noktayı(yani parçacıǧı) iki tane tek çizgi cinsinden yazmıştık. S N ifadesini şu şekilde yazarsak bu sorunun cevabınıkısmen elde etmişoluruz: S N = {nl} l b n l l (1.3.61)

69 Görüldüǧü üzere, bu açılımın ilk terimleri daha baskındır. Bu eşitlikte; l, nokta (parçacık) sayısını, n ise bu noktalardan kaç çeşit olduǧunu temsil eder. 64 Parçacıklara index ataması yaparken N tane parçacık için N! kadar farklı index ataması yapılabilir. Her b l terimi için l! kadar fazla sayma yapılır. Eǧer n l tane l boylu çizge varsa; kadar düzeltme yapılır. (l!) n l l Aynı sayıda parçacık içeren gruplar deǧiş-tokuş yapılırsa, yine fazladan sayım yapılır. Bunu önlemek için de n l! ile bölmek gerekir. Böylece (1.3.63) eşitliǧinin yeni hali şöyle elde edilir: S N = {nl} ( l b n l l ) ( ) N! l n l!(l!) n l (1.3.62) Buradan grand kanonik bölüşüm fonksiyonu için şu eşitlik elde edilir; Ξ = ( ) e βµ N 1 λ 3 N! N=0 {n l } ( l b n l l ) N! l n l!(l!) n l (1.3.63) Bu eşitlikte dikkat edilmesi gereken önemli husus, {n l } setlerinin keyfi olarak seçilemeyeceǧidir. Bu nedenle (1.3.63) eşitliǧinde ikinci toplam üzerindeki simgesi sınırlı toplam yapıldıǧını belirtir. l ln l = N baǧşartınıda kullanarak artık kanonik bölüşüm fonksiyonundan grand kanonik bölüşüm fonksiyonuna geçilir: Ξ = {nl} l 1 n l! [ (e βµ λ 3 ) l ] nl b l (1.3.64) l!

70 Son eşitlikte çarpım ve toplamın yeri deǧiştirilirse üstel bir ifade elde edilir. Ξ = l exp [ (e βµ λ 3 ) l ] b l l! [ ( e βµ = exp l=0 λ 3 ) l b l l! ] 65 (1.3.65) Elde edilen son eşitlik kullanılarak ideal gazın durum denklemi yeniden yazılabilir: ln Ξ = βφ = P V k B T = l=0 ( e βµ λ 3 ) l b l l! (1.3.66) Buradan, ideal gazın durum eşitliǧine gelen düzeltme terimleri elde edilmiş olur. Toplam parçacık sayısı; N = ln Ξ (βµ) = ( ) e βµ l b l l λ 3 l! l=0 (1.3.67) b l terimleri hacime baǧlı terimlerdir. b l = V b l yazarak durum denklemine gelecek düzeltmeler yoǧunluk cinsinden yazılmış olur. µ teriminden kurtulmak için e βµ /λ 3 = x şeklinde seçerek, N = l=0 lx l V b l l! (1.3.68) N V = n = lx l b l l! βp = l=0 l=0 x l b l l! (1.3.70) eşitliǧindeki parametrik denklem x cinsinden çözülürse; (1.3.69) (1.3.70) x = n b 2 x 2 b 3 2 x (1.3.71)

71 66 elde edilir. Şimdi bu eşitlikten adım adım gidilerek; x 1 = n (1.3.72) x 3 = n b 2 (n b 2 n 2 ) 2 b 3 x 2 = n b 2 n 2 (1.3.73) 2 n3 = n b 2 n 2 + (2 b 2 2 b 3 2 )n3 (1.3.74) x 1, x 2 ve x 3 terimlerini elde ederken kısaca şu yol izlenir: Bir önceki çözümde elde edilen x çözümübir sonraki x eşitliǧinde (örneǧin x 1 çözümü x 2 de) yerine yazılır. x 1 birinci terime kadar, x 2 ikinci terime kadar, x 3 üçüncüterime kadar açılır. Böylece parçacıklar arasıetkileşimler söz konusu olduǧunda ideal gazın durum eşitliǧi için; βp = x+ b 2 2 x2 + b 3 6 x3 = n b 2 n 2 +(2 b 2 b 3 2 )n3 + b 2 ( n 2 2 b 2 n 3) + b n3 (1.3.75) βp = n b ( 2 2 n2 + b2 2 b ) 3 n 3 (1.3.76) 3 Son olarak, en genel haliyle bu eşitlik daha kısa bir biçimde yazılabilir: βp = n ( 1 + B 2 n + B 3 n ) (1.3.77) Bu eşitlikteki B i katsayılarına virial katsayılar adı verilir. Bu katsayılar, durum denklemine etkileşmelerden gelen katkıları temsil eder. İkinci virial katsayısına bakılacak olursa; B 2 = b 2 2 (1.3.78) b2 teriminin ikili çizgeler üzerinden alınan toplam olduǧunu daha önce belirtmiştik.

72 67 Bu terimin integral ifadesi kullanılarak şu sonuca varılır: B 2 = 1 dqf(q) = 1 dq [ e ν(q)/kbt 1 ] (1.3.79) 2 2 Yani sistemin ν(q) potansiyeli bilinirse ikinci virial katsayısı kolayca hesaplanabilir Problemler 1. Paramanyetizma: Kanonik topluluk formalizmini kullanarak bir H dış manyetik alanına yerleştirilmiş µ dipol momentli N tane parçacıktan oluşan sistemin M mıknatıslanmasını hesaplayarak T 0 ve T limitlerini yorumlayınız. 2. İki Boyutlu İdeal Gaz: İç yüzey alanı Y olan V hacimli bir kapta N tane etkileşmeyen parçacık bulunmaktadır. Kabın yüzeyinde soǧurulan parçacıklar ɛ kadar enerji kaybına uǧrarlar. Sistemin sıcaklıǧının sabit olduǧunu ve bu kabın içerisindeki parçacıkların iki boyutlu ideal gaz gibi davrandıǧını düşünerek yüzeyde soǧurulan parçacıkların sayısı N s yi hesaplayınız. 3. Virial Katsayıları: d- boyutlu bir uzayda komşu çiftleri arasında V (r) merkezcil potansiyeli ile etkileşen gazı ele alınız. V (r), 0 < r < a V (r) = ɛ, a < r < b V (r) = 0, b < r < İkinci virial katsayısı B 2(T ) yi hesaplayarak düşük ve yüksek sıcaklık limitlerindeki davranışını yorumlayınız.

73 68 κ T = 1 V V P T,N ile verilen izotermal sıkışabilirlik eşitliǧine birinci dereceden gelen düzeltmeyi hesaplayınız. Yüksek sıcaklık limitinde sistemin durum denklemini Van der Waals formunda yazarak Van der Waals parametrelerini belirleyiniz. 4. Kimyasal Denge: A ve B parçacıklarının tepkimeye girerek AB bileşiǧini oluşturduǧunu düşününüz (A + B AB). Herhangi bir t = t 0 anında her üç çeşit parçacıǧın derişimleri n 0 A, n0 B, n0 AB ve tek parçacık bölüşüm fonksiyonları sırası ile Z (1) A, Z(1) B ve Z(1) AB ise sistemin toplam bölüşüm fonksiyonunu yazarak olduǧunu gösteriniz. n AB n A n B = V Z(1) AB Z (1) A Z(1) B Faz Geçişleri Etkileşimli bir sistemde etkileşmeler zayıf deǧilse (düşük sıcaklıklarda parçacıklar arası etkileşmeler şiddetli olur) sistem bir makro durumdan başka bir makro duruma geçebilir. Bu geçiş makroskobik deǧişkenlerin belli deǧerlerinde aniden ortaya çıkar. Bu kesimde detaylardan arınmış bir perspektif kullanarak, manyetik sistemleri inceleyeceǧiz. Faz Geçişleri: Maddenin birbirinden çok farklı durumları arasındaki geçişlerdir. Faz geçişlerine örnek olarak; sıvı-gaz arası geçiş normal metal-süperiletken arası geçiş

74 69 paramagnet-ferromagnet arası geçiş gibi durumları verebiliriz. Makroskobik özellikler, serbest enerjiden elde edilebildiǧi için faz geçişleri serbest enerjinin tekil noktaları ile ilişkilidir. Normal durumda bölüşüm fonksiyonu Z(T, V, N) tekillik göstermez. Sıvı-Gaz Arası Faz Geçişleri : Sabit basınçta sıcaklıǧı arttırdıǧımızda sıvı fazdan gaz faza ani bir geçiş meydana gelir. Kritik Nokta : Birlikte bulunma eǧrisinin sonlandıǧı nokta.

75 70 Şekil 1.22: Bu şekildeki bir durum T = T c = sbt ve basıncın deǧişken olduǧu durumlarda ortaya çıkar. Milyonlarca parçacıǧın aynı anda hareket ediyor olmaları söz konusu olduǧu için kritik noktada, her ölçekte salınımlar gözlenebilir. Korelasyon Mesafesi: Sistemdeki bir parçacıǧın, kendisine göre en uzaktaki parçacıkla etkileşmesinin bir ölçüsüdür. Spinlerin sadece yukarı ve aşaǧı olmak üzere iki şekilde yönelebildiǧi manyetik bir sistemi göz önüne alalım. Sistem üzerine dış alan uygulanmıyorsa mıknatıslanma her iki yöne bakabilir. Şekil 1.23: Düzen parametresi faz geçişi sırasında ani bir deǧişim gösterir.

76 71 Ferromanyetik faz ile paramanyetik fazı ayıran parametreye düzen parametresi denir. Düzen parametresi farklı fazlarda deǧişik deǧerler alan bir termodinamik fonksiyondur. Tipik olarak, bir fazda sıfır iken diǧer faza geçildiǧinde sıfırdan farklı olur. Ergodic Hipotezi: Mikrodurumlar üzerinden alınan ortalamalar, zaman ortalamaları ile çoǧu zaman aynıdır. Parçacık başına mıknatıslanma, düzen parametresinin yoǧunluǧu olarak düşünülebilir. H : dış alan. m(t ) = 1 V lim M(T, H) (1.3.80) H 0 d-boyutlu bir uzayda tüm mikrodurumlar ele alınırsa, M = d d xm( x) (1.3.81) yazmak mümkündür. Kritik nokta civarında t = T c T T c 0, T > T c m(t, H = 0) = (1.3.82) t β, T < T c : kritik noktadan ne kadar uzakta bulunulduǧunu gösterir. β: Kritik üstel olarak adlandırılır. Kritik üsteller pek çok farklı türden etkileşimlerin olduǧu sistemlerde aynı çıkar, yani evrensel özellik taşırlar. m(t c, H 0) H 1/δ (1.3.83)

77 72 δ: Kritik üstel. χ(t, H = 0) t γ (1.3.84) γ: Bir diǧer kritik üstel. Korelasyon Mesafesi: Bu niceliǧi bir fonksiyon yardmıyla tanımlıyoruz: Korelasyon fonksiyonu. G( r, r ) = m( r)m( r ) (1.3.85) G c : Herhangi bir korelasyon yokluǧundaki korelasyon fonksiyonu olsun. k B T χ = k B T χ = k B T χ = G c ( r r ) = G( r r ) m 2 (1.3.86) χ = M H = β 2 ln Z = M 2 M 2 (1.3.87) H 2 k B T M = d d rm( r) (1.3.88) d d rd d r m( r)m( r ) d d rd d r d d rd d r d d rm( r) [ m( r)m( r ) m( r) m( r ] ) [ m( r)m( r ] ) m 2 = k B T χ = V d d r m( r ) (1.3.89) (1.3.90) d d rd d r G c ( r r ) (1.3.91) d d rg c ( r) (1.3.92) Tipik olarak korelasyon fonksiyonları; G c ( r) e r/ξ (1.3.93) şeklinde deǧişir.

78 73 ξ: Korelasyon mesafesi ξ t ν (1.3.94) ν: Kritik üstel Landau-Ginzburg Teorisi Landau-Ginzburg teorisi bir noktadaki lokal manyetizasyonu, bir alan olarak kabul eder. Sisteme bakışölçeǧinin, parçacıklar arasımesafeden daha uzun olduǧu kabul edilir. İstatistiksel alan teorisini baz alan bir teoridir. Bir manyetik sistemdeki lokal düzen parametresi m( x) olsun. Uzaydaki her noktada bir lokal mıknatıslanma olduǧu için manyetizasyonun her yönde yönelebildiǧini kabul ederek vektörel bir nicelik olarak tanımlıyoruz. x : Spinlerin kaçboyutlu bir uzayda yer aldıǧını gösterir. x = {x 1, x 2, x 3,..., x d } m = {m 1, m 2, m 3,..., m d } Sisteme ait Hamiltoniyen genel olarak, βh( m) = d d xφ[ m( x)] (1.3.95) şeklinde yazılır. Lokal olarak mıknatıslanmadan enerjiye gelen katkı integre edilerek toplam Hamiltoniyen yazılmış olur. Burada sistemin düzgün ve izotropik yapıda olduǧunu kabul ediyoruz. Yani sistem deǧil de bütün lokal mıknatıslar deǧiştirilirse toplam enerjinin deǧişmemesi gerekir. Çünkü göreceli olarak bir mıknatıs diǧerini aynı şekilde görecektir.

79 74 H[R n m( x)] = H[ m( x)] (1.3.96) Φ[ m( x)] = a m( x) şeklinde yazılabilir ise ancak m = m koşulunda enerji deǧişir. Bu durumda enerji terimi m( x) e baǧlıolamaz. Bu durumu saǧlayan koşulun bir nokta çarpım formunda olması gerekir. Bu nedenle simetriden dolayıφ[ m( x)], m( x) in ve m( x) in çift terimlerini içerbilirken tek terimlerini içeremez. Ayrıca sistemin kritik nokta civarındaki davranışı ile ilgilendiǧimiz için m( x) in sıfıra yakın olduǧunu kabul ediyoruz. Bu durumda yüksek mertebeli m( x) terimlerinin yaptıǧımız hesaba katkısı ihmal edilebilir düzeyde kalacaktır. Tüm bu durumları göz önünde tutarak Φ[ m( x)] için şu eşitliǧi yazmak mümkün olacaktır; Φ[ m( x)] = t 2 m2 ( x) + um 4 ( x) + K 2 [ m( x) ] h. m( x) (1.3.97) (1.3.97) eşitliǧindeki son terim, sisteme h dış alanı uygulandıǧında simetri bozulmasından gelen katkıyı belirtir. [ ] 2 m( x) m i m i = (1.3.98) x α x α α i Böylece, Landau-Ginzburg Hamiltoniyeni için βh = { t d d x 2 m2 ( x) + um 4 ( x) + K 2 [ m( x) ] 2 h. m( x) } (1.3.99) Bu eşitliǧe bir noktada mikroskobik hamiltoniyen parametreleri girmeli. {t, u, K,...} : fenomenolojik parametreler.

80 75 Bu parametreler mikroskobik deǧişkenler ve dış deǧişkenlerin bir fonksiyonudur. Sistemin her noktasındaki m( x) deǧeri bir deǧişken olduǧu için sonsuz sayıda deǧişken söz konusudur. Bu durumda sistem için yazacaǧımız bölüşüm fonksiyonu bir çeşit fonksiyonel integral formunda olmalıdır. Z = [D m( x)e βh[ m( x)] ] ( ) Eǧer üzerinde çalıştıǧımız uzay sürekli deǧil de bir örgü şeklinde olsaydı, her bir örgü noktası için bir integral yazmak gerekirdi. Örgü üzerindeki m i mıknatısları için, D m( x)f [ ] m m(x), x,... notasyon deǧişikliǧi yapılmalıdır. N i=1 dm i F [ m i, m ] i+1 m i a ( ) a : örgüdeki atomlar arasıuzaklık. Hamiltoniyeni maksimize eden m( x) konfigürasyonunu arıyoruz. Bu nedenle bu noktada Saddle-Point metoduna başvurabiliriz. Etkileşme nedeniyle tüm spinler aynı yöne bakmaya çalıştıkları için K < 0 ve Hamiltoniyendeki gradyent terimi büyük olmalı. Mıknatıslanmanın düzgün olduǧunu kabul edelim: m( x) = m Z = d me βψ( m) ( )

81 76 Hamiltoniyen eşitliǧinde m sabit olduǧu için geri kalan kısmın integrali hacmi verir. ψ( m) = t 2 m2 + um h m ( ) ln Z = V β min {ψ( m)} m = βa ( ) Burada, ψ( m) serbest enerji fonksiyonu adını alır. olduǧu deǧer serbest enerjiyi verir. Bu fonksiyonun minimum m = m h ( ) h=0 durumu: T c civarında m küçük deǧerler almalı. t < 0 için u > 0 olmalı. Çünküψ olamaz. t = a (T T c ) + O (T T c ) 2 ( ) u = u 0 + u 1 (T T c ) +... ( ) h 0 ise ( ) eşitliǧi gereǧince

82 77 Şekil 1.24: Farklı sıcaklıklardaki Landau serbest enerjisi. t < 0 için ortaya çıkan kendiliǧinden simetri kırılması, t = 0 da ikinci dereceden bir faz geçişine yol açar. χ = 1 V tm h = 0 m = h/t m h 1 t ( ) Yani sonuç olarak ψ(m), t ve u analitik olmasına raǧmen χ süreksizlik gösterir. Mıknatıslanma: h = 0 olduǧu için, (h = 0), ψ(m) m m=m = 0 ( ) tm + 4um 3 h = 0 ( ) m ( t + 4um 2) = 0 ( ) m = 0, t > 0 t, t < 0 ( ) 4u Bu eşitlikte elde edilen ikinci köke bakarak Landau-Ginzburg teorisinin β üsteli tahmini elde edilir: m t 1/2 β = 1/2 ( )

83 Isı Sıǧası: C = T S { } T = T 2 A T 2 βa V = min ψ m(m) = C 2 t 2 ( ) βa = V h 0, t > 0 t 8u, t < 0 0, t > 0 1 4u, t < 0 78 ( ) ( ) ( ) Bu sonuçtan görüyoruz ki ısı kapasitesi sonlu bir deǧerden (0), başka bir sonlu deǧere (1/4u) sıçrama yapıyor. Burada bir süreksizlik söz konusudur ancak bu sonlu bir süreksizliktir. C t 0 α = 0 ( ) Manyetik Alınganlık: ( ) eşitliǧinde elde ettiǧimiz Saddle-Point çözümünden manyetik alınganlık hesaplanırsa, h 0 { } ψ(m) m m = tm + 4um 3 h = 0 ( ) h = tm + 4um 3 ( ) { } h χ 1 = = t + 12um 2 m h=0 ( ) ( m = t ) 1/2 4u ( )

84 t, t > 0 χ 1 = 2t, t < 0 79 ( ) Yani hem saǧdan, hem de soldan yaklaşıldıǧında χ 1/t olduǧu görülür. Bu sonucu şöyle yazmak daha uygun olur: χ ± = A ± t γ ± γ ± = 1 ( ) Ayrıca; A + A = 2 ( ) şeklinde katsayılar oranının da evrensel olduǧunu görebiliriz. Şimdi de manyetik alan ve mıknatıslık arasındaki ilişkiyi, yani manyetik sistemin durum denklemini ele alalım: { } ψ = 0 = 4um 3 h ( ) m t=0,m=m m = ( ) 1/3 h h 1/3 = h 1/δ ( ) 4u δ = 1/3 ( ) Buraya kadar faz geçişlerini veren bir ortalama alan teorisi geliştirdik ve kritik üstelleri hesapladık. Kritik üsteller için elde edilen deneysel verileri ortalama alan teorisinin sonuçlarıile kıyaslamak için şu tabloyu incelemekte yarar vardır:

85 80 Deney α β γ Ferromanyetik Süperakışkan Sıvı-gaz geçişi Süperiletken 0 1/2 1 Ortalama Alan T. 0 1/ Ölçekleme Hipotezi Landau-Ginzburg teorisinden yola çıkarak; ψ(m ) = f(t, h) t 2 /u, h = 0, t < 0 h 4/3 /u 1/3, h 0, t = 0 ( ) ψ(m ) h=0,t 0 = t 2 m 2 = t2 8u ( ) ψ(m ) h=0,t 0 = um 4 hm ( ) Kritik nokta civarında m 4 0 olduǧunu kabul etmiştik. Diǧer terim için daha önce elde edilen ( ) eşitliǧi kullanılırsa, ψ(m ) h=0,t 0 = h 4/3 /(4u) 1/3 ( ) bulunur. f(t, h) fonksiyonunu bir homojen fonksiyon olarak yazabiliriz. Homojen Fonksiyon:

86 81 şeklinde yazılabilen fonksiyonlardır. f(x 1, x 2,...) = b p f f(b p 1 x 1, b p 2 x 2,...) ( ) Örneǧin, f(x) = x 1 fonksiyonu homojen bir fonksiyondur, çünkü; f(bx) = b 1 x 1 = b 1 f(x) ( ) şeklinde yazılabilir. f(t, h) = t 2 g f ( h/ t ) ( ) Eǧer, f(t, h) fonksiyonu homojen bir fonksiyon ise, f(t, h) = b p f f (b pt t, b p h h) ( ) formunda yazılabilen bir fonksiyon olmalıdır. b = t 1/p t yazalım. (Bu seçimi tamamen keyfi olarak uyguluyoruz.) f(t, h) = t p f /p t f ( 1, t p h/p t h ) ( ) Bu analizleri kritik nokta civarında yapıyoruz. f(t, h) = t p f /p t f ( 1, h/t p h/p t ) = t 2 g f ( h/ t ) ( ) t < 0 t=0 lim g f(x) = sbt = 1 {f(t < 0, h)} ( ) x 0 u lim g f(x) = x 4/3 x t 2 = sbt ( ) t 4/3

87 82 Buradan, = 3/2 ( ) elde edilir. çalışmaktadır. Ortalama alan teorisi ile ölçekleme hipotezi uyumlu olarak Daha genel olarak ortalama alan teorisinin de ötesinde geçerli olan bir eşitlik yazabiliriz; f tekil (t, h) = t 2 α g f ( h/ t ) ( ) C tekil 2 f t 2 ( ) f : serbest enerji yoǧunluǧu. ( ) eşitliǧi ( ) de kullanılırsa, C tekil t ] [(2 α)t 1 α g f h t(2 α) t +1 g f ( ) Eşitlik düzenlenirse, C tekil [ ( ) h t t(1 α) (2 α)g f h ( )] h t t g f t ( ) [ ( ) h h u = (2 α)g t f h ( )] h t t g f t ( ) ( ) Sonuç olarak, ( ) h C t α W t ( )

88 83 Burada W ve u homojen fonksiyonlardır. Özel durum olarak, h = 0 için; C(h = 0) t α ( ) sonucuna varılabilir. Mıknatıslanma: m(t, h) df ( ) h dh t2 α g f t ( ) h = 0 m(t) t β β = 2 α ( ) g f(x ) x p olsun. Bu durumda, ( ) p=1/δ h t 2 α g f = t 2 α ( ) t m h 1/δ, (t = 0) idi. Buradan, 2 α = p β = 1 δ δ = β ( )

89 84 Manyetik Alınganlık: χ(t, h) m ( ) h h t2 α 2 g f t ( ) χ(t, h = 0) t γ=2 α 2 ( ) γ = 2 + α + 2 α + 2β + γ = α + (4 2α 2 ) 2 + α + 2 = 2 ( ) eşitliǧine Rushbrooke eşitliǧi adı verilir. α + 2β + γ = 2 ( ) δ 1 = 2 + α = 2 α 2 α = γ β ( ) δ 1 = γ β ( ) ( ) eşitliǧi ise Widom eşitliǧi olarak bilinir. Tüm bu eşitlikleri elde ederken yaptıǧımız hesaplamalarda serbest enerjinin kendi içerisinde ölçek barındırmayan homojen bir fonksiyon olduǧunu kabul ettik.

90 Ising Modeli Faz geçişlerini teorik olarak tanımlamak oldukça güç bir iştir. İstatistiksel mekanik temelinde ele alınabilecek belli başlı modellerden birisi, Lenz (1920) tarafından ileri sürülen ve daha sonra öǧrencisi Ising (1925) tarafından daha detaylı bir çalışma ile geliştirilen bir modeldir. Bu model ilk önce Curie sıcaklıǧındaki ferromagnetlerin faz geçişini açıklamaya yönelik olarak keşfedilmişse de model üzerinde küçük deǧişiklikler yapılarak ikili alaşımlardaki düzen-düzensizlik arasıgeçişler gibi diǧer pek çok faz geçişini açıklamak için de uygulanmıştır. Ising modelini kısaca şu şekilde düşünebiliriz: Bir örgüalalım ve her bir örgünoktasına bir spin deǧişkeni s i = ±1 yerleşirelim. Genellikle, böyle bir model manyetik bir sistem için tasarlansa da, aynızamanda bir gazın herhangi bir mikrodurumunun modeli de bu şekilde süreksiz bir uzayda tanımlanabilir. Kısa mesafeli etkileşimleri göz önünde bulundurarak Hamiltoniyen eşitliǧini şu şekilde yazabiliriz: H = <ij> B(S i, S j ) ( ) Bu Hamiltoniyen eşitliǧinde B, spinler arasındaki etkileşmeleri temsil eden herhangi bir fonksiyondur. < ij > ise sadece komşu spinlerin birbiriyle etkileştiǧini gösterir. B(S i, S j ) = B 0 + B 1 (S i + S j ) + B 2 (S i.s j ) + B 3 (s 2 i S j ) ( ) S 2 i = S 2 j = 1 olduǧu için üçlü terimlerin bir anlamı olmaz. Bu nedenle

91 86 Hamiltoniyen B 0, B 1 ve B 2 katsayılı terimlerden meydana gelir. B 0 terimi sabit olup Hamiltoniyene katkıvermez. Böylece Hamiltoniyen eşitliǧinin şu şekilde yazılmasında bir sakınca olmaz: H = J <ij> S i S j h i S i ( ) J terimi etkileşimin türünü belirten bir sabittir. J > 0 durumu ferromanyetik etkileşmeyi, J < 0 ise paramanyetik etkileşmeyi temsil eder.

92 87 Diǧer Modeller: x-y modeli: S i = ±1 yerine S i = (S x i, S y i ) yazılır. S x2 i + S y2 i = 1 ( ) Heisenberg Modeli: S i = ±1 yerine S i = (S x i, S y i, Sz i ) yazılır. Potts Modeli: S i = ±1 yerine S i = 1, 2,... yazılır. (Si α ) 2 = 1 ( ) α Hamiltoniyen eşitliǧi x y ve Heisenberg modellerinde, H = J <ij> S i Sj h i S i ( ) Potts modelinde ise, H = J ij δ Si S j h i δ Si,1 ( ) şeklindedir.

93 88 Ortalama Alan Teorisi Şekil 1.25: Ortalama alan yaklaşımında her bir spinin komşularıile doǧrudan deǧil, komşu spinlerin ortalama oryantasyonundan kaynaklanan bir ortalama alan ile etkileştiǧi kabul edilir. Bu teorinin ana düşüncesi, merkezdeki S i spininin diǧer dört komşusu ile J α S is α şeklinde etkileşmesi üzerine kurulmuştur. Ising modelinden farkı ise, komşu spinlerin ortalama deǧerlerinin hesaba katılmasıdır. Böyel bir sistem için bölüşüm fonksiyonu, Z = {S i } e βj <ij> S is j +βh i S i ( ) Merkezdeki spinin dört komuşusunun ortalama deǧerleri için < S i yazılırsa bölüşüm fonksiyonu >= m Z {S i } e βjmd i S i+βh i S i ( ) eşitliǧi ile verilir. d : ( ) eşitliǧindeki ilk toplamda dört tane etkileşim olduǧu için spin

94 89 başına d tane etkileşim olduǧunu kabul ediyoruz. Bölüşüm fonksiyonu üzerinde gerekli düzenlemeleri yaparak son eşitliǧi şu şekilde yazalım: Z = {S i } ( N N e β(jmd+h)s i = i=1 i=1 S i =±1 e β(jmd+h)s i ) ( ) Z = N 2 cosh β(jmd + h) ( ) i=1 Buradan, bölüşüm fonksiyonu için en son denklem; Z = 2 N [cosh β(jmd + h)] N ( ) Helmholtz serbest enerjisi; A = k B T ln Z = Nk B T {ln 2 + ln cosh[β(jmd + h)]} ( ) Spin başına mıknatıslanma: { 1 N } A = M h h=0 N = m ( ) m = k B T β tanh[β(jmd + h)] ( ) m = tanh[β(jmd + h)] ( )

95 90 Eǧer dışalan yoksa, (h=0) bu durumda eşitlik, m = tanh(βjmd) ( ) halini alır. ( ) eşitliǧi transendental bir denklemdir. Bu denklemi grafiksel olarak çözmek uygundur. Şekil 1.26: ( ) eşitliǧi için grafiksel çözüm. tanh(x) fonksiyonunun y = x doǧrusunun eǧimine göre aldıǧı deǧerler farklıdır. Yani başka bir deyişle tanh(x) fonksiyonu T sıcaklıǧına baǧlı olarak deǧişim gösterir. βj = K seçersek, T = T c kritik deǧerinde βjd = 1, ve K c = 1/d ( ) İki boyutlu Ising modeli için K c = 0.5 sonucu elde edilir.

96 91 Bir Boyutlu Ising Modeli: Kesin Çözüm Şekil 1.27: Bir boyutlu Ising zinciri. Z = {S i } e N i=1 B(S i,s i+1 ) ( ) Elimizde etkileşen bir sistem olduǧu için bölüşüm fonksiyonunu çarpım halinde ayırmak mümkün deǧildir. Bir transfer matrisi tanımlayalım: T ij =< S i T S i+1 >= eb(++) e B( +) e B(+ ) e B( ) ( ) Periyodik sınır koşullarıkullanılır. Bir boyutlu zincirde en baştaki spinin (S 1 ) sol komşusu en sondaki spin (S N ), en sondaki spinin saǧ komşusu (S N+1 ) ise en baştaki spin olarak kabul edilir. Böylece spinlerden oluşan kapalı bir halka elde edilir. S N+1 = S 1 j i + 1 yazmak, bir etkileşimi iki defa sayma probleminin önüne geçer.

97 92 Bölüşüm fonksiyonunun bir diǧer tanımı: Z = tr [ T N] ( ) şeklindedir. N termodinamik limitinde sadece en büyük özdeǧer yaşar. Z = ( λ N + + λ N ) ) = λ N + (1 + λn λ N λ N + ( ) + βj = K ( ) Hamiltoniyen; βh = K i S i S i+1 + β h (S i + S i+1 ) ( ) 2 i Transfer matrisinin özdeǧeri; T = ek+h λ e K e K e K h λ ( ) λ + = e K cosh h + e 2K cosh 2 h + 2 sinh 2K ( ) Mıknatıslanma: m(h = 0) = ( 1 Nβ ) ln Z ln Z h h=0 h ln λ + h ( ) Z = N ln λ + ( )

98 93 Gerekli türev hesplanırsa, m = 0 ( ) elde edilir. Bu eşitlikten, sonlu bir sıcaklıkta bir boyutlu Ising modelinde faz geçişi gözlenmediǧi sonucuna varılır. Hamiltoniyende kısa mesafeli etkileşimler bulunduǧu için bir boyutlu Ising modelinde faz geçişi gözlenmez. Bir boyutlu model haricinde, iki boyutlu Ising modeli Onsager tarafından analitik yöntemle tam olarak çözülmüştür. Analitik olarak üçboyutta bilinen kesin bir çözüm bulunmamaktadır. Seri Açılımları Düşük Sıcaklık Açılımı: T = 0 civarında açıyoruz. Şekilde gösterilen durum bütün spinlerin aynı yönelime sahip oldukları en olası durumdur. Bir spin uyarıldıǧında Şekil 1.28 deki durum oluşur.

99 94 Şekil 1.28: Hamiltoniyen: βh = K <ij> S i S j ( ) Bir spin uyarıldıǧı zaman eski konfigürasyon ile yeni konfigürasyon arasındaki enerji farkı: E = 2J.2d ( ) Uyarılabilecek spin sayısı: N. Bir spin daha uyarılırsa ikinci en düşük enerjili konfigürasyon Şekil 1.29 da görüldüǧü gibi meydana gelir. Şekil 1.29:

100 95 Bu durumda eski ve yeni konfigürasyonlar arasındaki enerji farkı; E = 2J(4d 2) ( ) Bu durumların sayısı N.d ile verilir. Bir diǧer durum ise uyarılmış durumdaki iki spinin yan yana olmadıǧıkonfigürasyonda karşımıza çıkar. Bu konfigürasyon ise aşaǧıdaki şekilde (Şekil 1.30) görülmektedir. Şekil 1.30: ( ) eşitliǧinden yararlanarak bölüşüm fonksiyonunu yazalım: Z = [ e βh = 2e NdK 1 + Ne 4dK + Nde 4(2d 1)K + N N 2d 1 ] e 8dK {S i } ( ) Bu eşitlikte üstel terimlerin başındaki N parçacık sayısına baǧlıkatsayılar yan yana olmayan spinlerin kaçfarklışekilde seçilebileceǧini anlatır. Z = 2e NdK b.a.k. e 2K TÇ ( ) b.a.k: bütün adacık konfigürasyonları.

101 96 T Ç: adacıkların toplam çevresi Bu notasyon ileriki hesaplamalarımız açısından çok faydalı olacaktır. β A N = ln Z N = Kd + 1 N ln [ 1 + Ne 4dK + Nde 4(2d 1)K +... ] ( ) x << 1 koşulu altında ln(1 + x) x yaklaşımını kullanarak, β A N = Kd + 2d+1 e 4dK 4(2d 1)K e + de 2 8dK +... ( ) Burada N 2 /2 yerine (2d + 1)/2 terimi kalıyor. Bütün adacık konfigürasyonlarıüzerinden alınan toplamın logaritması sadece baǧlı çizgeler üzerinden bir toplam verir. Daha önceki kısımlarda grand kanonik bölüşüm fonksiyonunu virial katsayıları cinsinden hesaplarken de benzer yöntemi uygulamıştık. Son eşitlikte N 2 ile orantılıolan her terim yok olmalı. Çünkü serbest enerji parçacık sayısına baǧlı (extensive) olmalı.(n 3, N 4,... terimleri de bu eşitlikte yer alamaz.) E N = 1 ln Z N β = J K ( ) ln Z N ( ) Bu eşitliǧi yazarken K = βj eşitliǧinden yararlandık.

102 97 Parçacık başına enerji: E N = Jd ( 1 4e 4dK 4(2d 1)e 4(2d 1)K +... ) ( ) Özgül ısı: C = 1 E Nk B Nk B T = K2 E NJ K ( ) C Nk B = 16dK 2 [ de 4dK + (2d 1) 2 e 4(2d 1)K +... ] ( ) Beklenti: Bu açılımın kritik davranış için elde edeceǧimiz açılım ile benzer olması. olmasını bekliyoruz. Peki; C (T c T ) α eşitliǧini C Nk B = a l u l ( ) u = e 4K ( C A 1 u ) α ( ) u c ( 1 f(t ) f(t c )) α şeklinde yazabilir miyiz? Bunun için bir Taylor açılımı yaparsak, (1 f(t ) c) + (T T c )f α f(t c ) ( C A 1 u ) α ( = A 1 + α u + u c u c [ (T T c ) ( f )] f(t c ) ) α(α + 1) u ! u 2 c ( ) ( ) = a l u l ( ) a l α + l 1 ( ) a l 1 lu c ( ) eşitliǧi asimptotik olarak ardışık terimler arasındaki beklenen oran olarak

103 98 tanımlanabilir. ( a l = u 1 c 1 + α 1 ) a l 1 l ( ) Düşük sıcaklık limiti için Ising modelinde bu açılımı yapabiliyoruz. x y modelinde bu yöntem işe yaramaz. Çünkü bütün spinlerin aynı yönelimli olduǧu konfigürasyon en düşük enerjili konfigürasyon olduǧu için bu konfigürasyonda spin yönelimlerinin çok yavaş deǧiştirilmesi çok uzun dalga boylu uyarımlara sebep olur. Bu etki sonucunda m = 0 olur. Bu durum Heisenberg modeli için de geçerlidir. Her iki modelde de spinler sürekli bir serbestlik derecesine sahiptirler. Yüksek Sıcaklık Açılımı: Bölüşüm fonksiyonunu β cinsinden açıyoruz. Z = {S i } e K <ij> S is j ( ) e KS is j = ek + e K 2 + ek + e K S i S j = cosh K[1 + ts i S j ] ( ) 2 t = tanh K ( ) Z = {S i } cosh K(1 + ts i S j ) ( ) <ij>

104 99 = cosh K Nb=Nd + ts i S j ) = 2 {S i } <ij>(1 N (cosh K) Nd b.p.d t Ç ( ) b.p.d: bütün kapalı patika durumları. Ç: toplam patika çevresi. Z = 2 N (cosh K) Nd [ 1 + ] d(d 1) Nt 4 + d(d 1)(2d 3)t ( ) Bir boyutlu Ising zincirinde hiç kapalı patika olmadıǧı için periyodik sınır koşullarını kullanıp kapalı bir halka elde edilmiş olur. (=bir adet kapalı patika) Böylece d = 1 için, periyodik sınır koşulu yoksa; Z = 2 N (cosh K) N 1 ( ) periyodik sınır koşulu var ise; Z = L N (cosh K) N (1 + t N ) ( ) elde edilir.

105 100 İki Boyutlu Ising Modelinde Öz-Eşlik Düşük sıcaklık açılımı: Z = e 2NK b.a.k. e 2K TÇ ( ) b.a.k: bütün adacık konfigürasyonları. T Ç: adacıkların toplam çevresi Yüksel sıcaklık açılımı: Z = 2 N cosh K 2N b.p.d tanh K Ç ( ) b.p.d: bütün kapalıpatika durumları. Ç: toplam patika çevresi. Bu iki eşitlikteki toplamlar aynı konfigürasyonlar üzerinden alınır. ln g(x) fonksiyonu olsun. e 2K, x = tanh K, T T ( ) ln Z N = 2K + g(e 2K ), ln ln cosh K + g(tanh K), T T ( ) Bölüşüm fonksiyonundaki tekillik g fonksiyonunun içersinde olmalı.

106 101 Düşük sıcaklıklarda K K olsun. e 2 K = tanh K dönüşümü yapalım. K = 1 ln tanh K ( ) 2 Böylce yüksek sıcaklıklardaki K deǧişkenini düşük sıcaklıklarda K ile ilişkilendirmiş olduk. Sistemde K artıyorsa K azalır. sinh 2K = 2 sinh K cosh K = 2 tanh K cosh 2 K ( ) = 2 tanh K 1 tanh 2 K = 2e 2 K 1 e 4 K = 2 e 2 K e 2 K = 1 sinh 2 K ( ) Burada sinh 2K sinh 2 K = 1 baǧıntısını kullandık. Sistemin bir K c, bir de K c de tekil noktası var. e 2K c = tanh K c = 1 e 2Kc 1 + e 2K c ( ) Bu eşitlik; formundadır. x = 1 x 1 + x ( ) x 2 + 2x 1 = 0 x = = 2 1 = e 2K c

107 102 Böylece, K c = 1 2 ln( 2 1) ( ) K c = 1 2 ln( 2 + 1) = ( ) sonucu elde edilir. Uygulama: Kendiliǧinden Mıknatıslanma Bu kesimde herhangi bir dış alan yokluǧunda Ising modelini kullanacaǧız. Modele göre sistem dış alan yokluǧunda kendiliǧinden mıknatıslanır. İki boyutlu bir kare örgüde keyfi bir konfigürasyon ele alalım. Sistemde; N : aşaǧı yönelimli spinlerin sayısını, N + : yukarı yönelimli spinlerin sayısını belirtmektedir. Dış alan yokluǧunda N oranının 1/2 olması beklenir. Bizim buradaki amacımız N bu oranın 1/2 den daha farklı olması gerektiǧini göstermek olacaktır. Şekil 1.31: İki boyutlu Ising modelinde adacık duvarları.

108 103 Yukarı yönlü spinleri +, aşaǧı yönlü spinleri ise işareti ile gösterelim. Örgü noktalarına rastgele yerleşen spinler kendi aralarında ayrı ayrı gruplara ayrılırlar ve birbirinden baǧımsız kapalı adacıklar yukarı ve aşaǧı yönlü spinleri birbirinden ayırır. Bir kapalı adacık, yukarı ve aşaǧı yönlü spinleri birbirinden ayıran sürekli bir çizgiden meydana gelir. Farklı adacıkların duvarları birbirleri ile kesişmemektedir. Duvarların bir kısmı kapalı bir şekil oluştururken, bir kısmı da örgünün sınırlarında başlayıp biterler. Böylece keyfi biçimli bir poligon elde etmişoluruz. b uzunluǧundaki bir duvar kapalıbir poligondur ve b tane birim uzunluklu yatay ve dikey segmentten oluşur. Şimdi bu poligonu, bir kenarının uzunluǧu b/4 birim olan bir karenin içine yerleştirelim. Bu durumda, A(poligon) < b2 16 ( ) olur. b uzunluǧundaki çizgi sayısını (ya da adacık duvarlarının sayısı) m(b) ile gösterelim ve şimdi örgünün sınırlarında bütün spinlerin yukarı yönelimli olduklarını kabul edelim. Bu bir çeşit sınır koşulu teşkil eder ve sistem üzerinde bir

109 104 dış alan etkisi göstermesine raǧmen sonsuz örgü limitinde oldukça zayıf bir etki yaratır. Bu sınır koşulu aynı zamanda, yukarı ve aşaǧı yönlü spinlerin meydana getirdiǧi simetriyi bozma özelliǧine de sahiptir. Sistemde kendiliǧinden mıknatıslanmanın varlıǧını kanıtlamak için, oldukça düşük ve sonlu sıcaklıklarda aşaǧı yönlü spinlerin ortalama sayısının 1 den daha 2 az olduǧunu göstermek gerekir. Bir kapalı çizgi setinde çizgiler b uzunluǧuna ve verilen bir uzunluk sınıfındaki duvarların i sayısına göre sınıflandırılırlar. Yani herhangi bir adacık duvarı (b, i) etiketi ile karakterize edilir. Şekil 1.32: Örgünün sınırlarındaki spinler yukarı yönlü olsun. m(b) sayısına bir sınır koymak için birim uzunluktaki b tane çubuǧu yatay veya dikey şekilde, N tane örgü noktasına sahip genişbir kare örgüde arka arkaya yerleştirerek sürekli bir çizgi inşa ettiǧimizi hayal edelim. Bu işi yapabileceǧimiz farklı yolların sayısı m(b) sayısından daha büyüktür. Ayrıca, inşa ettiǧimiz sürekli çizginin kapalı bir çizgi olması da şart deǧildir. Yerleştireceǧimiz ilk çubuk N farklı noktaya gidebilir. Geriye kalan b 1 tane çubuk şekildeki gibi üçfarklı yönde gelişebilir.

110 105 m(b) N3 b 1 ( ) Örgü sınırlarındaki spinlerin tümü + olduǧu için, bütün spinlerin etrafı en az bir adacık duvarı ile çevrilidir. Belirli bir konfigürasyon için, X(b, i) = 1: eǧer adacık duvarı(b, i) bu konfigürasyonda yer alıyorsa, X(b, i) = 0: eǧer (b, i) konfigürasyon dışında ise. Böyle bir konfigürasyonda spinlerin sayısı şu eşitliǧi saǧlamalıdır: N b ( b 2 16 ) m(b) X(b, i) ( ) i=1 Şimdi X(b, i) nin termal ortalamasını hesaplayalım: X(b, i) = {s} e βɛ{s} {s} e βɛ{s} ( ) (b, i) adacıǧını içersinde barındıran konfigürasyondaki bütün spinleri ters çevirelim (yani bütün + spinler, spinler ise + olsun). C : eski konfigürasyonu, C : yeni konfigürasyonu göstersin. Eski ve yeni konfigürasyonlar arasında sadece sınırlardaki etkileşme enerjileri farklıdır. Yani sınırlarda C = E ise C = E olur.

111 106 E = 2E : tek bir etkileşmenin enerji farkı. Çevre: b Bu durumda toplam enerji farkı: b.2e E c = E c + 2Eb ( ) ( ) eşitliǧinde tüm durumlarısaymak yerine C C durumuna geçtikten sonra elde edilebilecek olası konfigürasyonları sayalım: X(b, i) = e βe C1 + e βe C2 + e βe C e βe C1 + e βe C2 + e βe C ( ) e X(b, i) = e 2Eb βe C e βe C ( ) ( ) X(b, i) e 2Eβb e βeb ( ) m(b) = N3 b 1 ( ) N b b 2 m(b) e 2βEb = 12 i=1 b b 2 16 N3b 1 e 2Eb ( ) N b b 2 12 N3b 1 e 2Eβb ( ) N b N N 1 48 b 2 16 N3b 1 Ne Eβb ( ) b=4,6,8,... b 2 3 b e 2βEb ( ) b = 2l l = 2, 3, 4, 5,...

112 b 2 3 b e βeb = (2l) 2 9le βel l=0 b 2 3 b e βeb = l=2 N N 1 48 l=2 E l = 1 1 E 2 (βe) 2 ( ) 9e 2βE l l=2 x l = 1 1 x 1 x, x < 1 N N x 2 3(1 x) 3 ( ) 2 1 (βe) 2 1 x x 1 (1 34 x + 14 ) x2 107 ( ) ( ) ( ) ( ) x = 9e 2βE Çok büyük ve sonlu β deǧerleri için bu oran 1/2 den küçüktür. N N 1 2 ( ) Problemler 1. Bir Boyutlu Ising Modeli: Bir boyutta birinci ve ikinci komşu etkileşimleri içeren Ising modeli için Hamiltoniyen eşitliǧi; βh = K N N S i S i+1 + L S i S i+2 i=1 i=1 ile verilir. Periyodik sınır koşullarınıkullanarak

113 lük transfer matrisini oluşturun. T = λ max a karşılık gelen özvektörün 1 a a 1 formunda olduǧunu varsayarak, parçacık başına düşen serbest enerjiyi ( ) β ln Z N hesaplayınız. 2. Bir Boyutlu Potts Modeli: Bir boyutta üçdurumlu Potts modeli için, βh = K N δ Si,S i+1 (S i = 1, 2, 3) ise, (K > 0) i=1 transfer matris metodu ile serbest enerji yoǧunluǧunu ( f = k BT ln Z) hesaplayın. N (Gerekli matris özvektörleri matrisin simetrisine bakarak tahmin edilebilir.) 3. Klasik Heisenberg Modeli: Ortalama alan teorisine göre; βh = K <ij> S i. S j + h i ) S i (K > 0, Si = (Si x, S y i, Sz i ), S i 2 = 1 ve her bir spinin 2 q tane komşusu olsun. M i S i, ve, M = M. ĥ, ( ĥ = ) h olmalı. h

114 109 S i. S j S i. S j yaklaşımıile M için bir denklem yazınız. Simetri gereǧi kritik noktada H c = 0 alarak, T c yi hesaplayınız Problemler İçin İpuçları Paramanyetizma: Bir dipolün sahip olduǧu enerji: E i = µ i H = µi H cos θ i Mıknatıslanma: M = N µ cos θ Bu ortalamayı, kanonik topluluk formalizmi ile hesaplayın, tek parçacık bölüşüm fonksiyonunu elde edin. Bu bilgileri kullanarak herhangi bir sıcaklıktaki mıknatıslanma için { M = Nµ coth x 1 } x formunda bir denklem elde etmelisiniz. İki Boyutlu İdeal Gaz: Yüzeydeki parçacıkların enerjisini E s = p2 2m ɛ, V hacmindeki parçacıkların enerjisini ise H = p2 şeklinde seçerek iki durumun 2m kimyasal denge koşulunu ele alınız. Virial Katsayıları: İkinci virial katsayısınıhesaplamak için (1.3.79) eşitliǧini kullanabilirsiniz. Kimyasal Denge: Sistemin bölüşüm fonksiyonunu yazdıktan sonra Saddle- Point yöntemini kullanarak istenen sonuçelde edilebilir. İkinci bir yol olarak kimyasal potansiyel kullanılabilir. Bir Boyutlu Ising Modeli: x = e K ve y = e 2L olmak üzere transfer matrisi,

115 110 T = x 2 y x 1/x 1/y 1/x y/x 2 1/y x x 1/y y/x 2 1/x 1/y 1/x x x 2 y En büyük özdeǧer için parçacık başına serbest enerji; f k B T = 1 { ( )} 2 ln 2+ln e K cosh(k + 2L) + cosh K e 4L cosh 2 K + 1 e 2L cosh K Bir Boyutlu Potts Modeli: Transfer matrisi; T = e K e K e K Simetri koşulu: V 1 = 1 1 1, V 2 = Transfer matrisinden serbest enerjiye geçmek için Z 1 = T r(t ) eşitliǧini kullanın. Klasik Heisenberg Modeli: Hamiltoniyen eşitliǧini kullanarak bölüşüm fonksiyonu için, [ ] N Z d(cos θ)dφe (Km q+h) cos θ denklemini elde etmelisiniz. İntegrali hesaplayarak bölüşüm fonksiyonundan kolayca mıknatıslanmaya geçilir.

116 İSTATİSTİK FİZİKTE SAYISAL YÖNTEMLER Mehmet SAYAR KOÇ ÜNİVERSİTESİ Ekrem AYDINER DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ DERS NOTU ASİSTANI : Ayşegül DÜLGER (Dokuz Eylül Üniversitesi)

117 BÖLÜM İKİ İSTATİSTİK FİZİKTE SAYISAL YÖNTEMLER 2.1 Bilgisayar Simülasyonları Bilgisayar Kullanım şekillleri Teorik bir modele yaklaşık bir çözüm bulmak Denklemi olan ama çözümüolmayan modelleri çözmek Teorik modellerin test edilmesi, geliştirilmesi ve deney sonuçlarıyla karşılaştırılmasında bilgisayar simülasyonlarıkullanılabilir. 1. Karşılaştırılması sonrası model sıvıya tekrar dönülür ve sonuçlar karşlaştırılır, birbirine benzetilmeye çalışılır. Bu yöntem bir çeşit geri besleme yöntemidir. 2. Karşılaştırmadan sonra gerçek sıvıya geri besleme yapılır. Bu mekanizmanın sayesinde deneysel ve teorik sonuçlar karşılaştırılma imkanı bulunur. Teorik olarak çalışanların simülasyonlara, deneysel çalışanların hem simülasyonlara hem de teorik sonuçlara ihtiyacı vardır. 112

118 113 Teorik olarak çalışılması zor, uç noktalarda deney yapmanın imkansız olduǧu durumlarda bilgisayar simülasyonları kullanılabilir. Simülasyonlar atomik düzeyde tam detaylı sonuçlar verir. Bilgisayar simülasyonları, Moleküler dinamik Monte Carlo olmak üzere iki gruba ayrılır. İlk simülasyonlar Metropolis, Rosenbluth, Teller and Teller tarafından Los Alamos da yapılmıştır.(1953) Model Sistemler ve Etkileşim Potansiyelleri Klasik mekaniǧin geçerli olduǧu durumları, diǧer bir deǧişle, Born- Oppeheinel varsayımına göre; elektronların hızlı titreşimlerinin ortalama alındıǧını düşünelim. - Hamiltonyen denklemler (N adet molekül için) yazılırsa; Genelleştirilmiş koordinatlar ; H( q, P ) = K( P ) + U( q ) (2.1.1) q = ( q1, q 2,..., q N ) Genelleştirilmiş momentum; P = ( P1, P 2,..., P N )

119 114 - Hamiltonyen denlemleri kullanılarak sistemin kinetik enerjisi yazılırsa, K = N i=1 α P 2 i α/2m i (2.1.2) Teorik olarak bir sistemin hamiltonyeni yazılabiliyorsa,verilen denklemler çözülebilir, ancak tam olarak analitik bir çozüm elde etmek mümkün deǧildir.dolayıyısıyla başlangıç koşullarıbilinen N parça cıklı kapalı bir sistem içerisinde çalışıldıǧı varsayılarak, ve sistemin hamiltonyen denklemlerinden yola çılarak Newton hareket denklemleri elde edilebilir. Elde edilen denklemler numerik olarak entegre edilir ve böylece sistem için yaklaşık bir yörünge elde edilmiş olur. Bu sayede elde edilen büyüklükler deneysel veya teoriksel sonuçlarla karşılaştırılabilinir. Hamiltonyen denkleminin ikinci kısmında, etkileşim potansiyeli V vardır. - Atomik bir sistem için bu etkileşim potansiyeli kartezyen koordinatlarda virial açılım metoduyla ; V = V i ( r i ) + V 2 ( r i, r i + V 3 ( r i, r j, r k )... (2.1.3) i i j>1 i j>1 k>j>1 } {{ } } {{ } } {{ } şeklinde yazılır. Burada; 1. terim: Dış etkileşimleri 2. terim: Parçacık çiftlerinin etkileşimleri r ij = r i r j

120 terim: Üçparça cıktan kaynaklanan etkileşimleri ifade etmektedir.ikinci terime örnek olarak; Argon sıvısındaki parçacık çiftleri etkileşimleri parçacıklar arasındaki mesafeye baǧlı olacak şekilde deneysel olarak ölçülmeye çalışılırsa; 1. Terim: Uzun mesafeli çok küçük fakat sonlu çekici etkileşimler (Van der Walls kuvvetleri, London kuvvetleri) 2. Terim: Kısa mesafede elektron bulutlarının direkt olarak etkileşmesi sonucu çok büyük itici etkileşimler 3. Terim: Minumum etkileşim düzeyinde baǧlanma enerjisi Denklem (2.1.2) de verilen V 3 terimi üçüncü parçacıktan kaynaklanan etkileşimlerdir. Ve ideal gazlarda etkileşimin yaklaşık olarak %10 u bu teriminden kaynaklanmaktadır. Etkileşim sayısı ise N 3 ile orantılıdır.ancak hesaplama zamanını çok arttıǧından genel olarak simülasyonlarda 3. terimler hesaba katılmaz. Esas olarak bu hesaplamada yapılmak istenen ortalama etkin bir potansiyel bulabilmektir.bunun için sonsuz parçacıklı bir sistemde seçilen iki parçacıǧın konumlarısabit tutulur, diǧer bütün parçacıkların uzayda serbest olarak dolaşmasına izin

121 116 verilirse, serbest haldeki bu parçacıkların olası bütün durumları üzerinden ortalama alınarak bu iki parçacık arasndaki ortalama etkin potansiyel hesaplanmış olunur. Buna ortalama etkileşim potansiyeli denir. Lennard-Jones etkileşim potansiyeli, iki parçacık arasındaki mesafeye baǧlı olan etkileşim potansiyelidir. Bu potansiyel; V Lj (r) = 4ε(( σ r )12 ( σ r )6 ) (2.1.4) şeklinde yazılır.denklemdeki ε terimi enerjinin minumum deǧerini, ( σ r )12 terimi yakın mesafelerdeki itici kuvvetleri,( σ r )6 terimi uzak mesafelerdeki çekici kuvveti ifade etmektedir.denklemdeki σ terimi grafikte verilen r min deǧeriyle ilişkili olmalıdır. Bu ilişkiyi elde etmek için denklemin türevi alınır ve sıfıra eşitlenir böylece r min = 2 1/6σ = 1.12σ ifadesi elde edilmiş olur İndirgenmiş Birimler Lennard-Jones sıvısısimüle edilmek isteniyor olsun, bu Simülasyonu hazırlanmadan önce bir takım parametrelerin belirlenmesi gerekir. Bu sayede hesaplanmak istenenler bu parametreler cinsinden ifade edilir. Lennard-Jones etkileşim potansiyeli için belirlenmesi gereken birimler; Uzunluk birimi, σ Enerji birimi, ε Kütle birimi, m

122 dir. Burada σ,ε ve m indirgenmiş birimlerdir. Bu birimler sayesinde zaman ve sıcaklık ifade edilebilir.buna göre; Zaman birimi; t = σ m ε - Sıcaklık birimi; T = ε k B şeklindedir. Örnek: Ar T=60K ρ = 840kg/m 3 Xe T=112K ρ = 1617kg/m 3 verilen iki sisteme Lennard-Jones modeli kapsamında bakarsak; ρ = 0.5 T = 0.5 denk düşer yani bu iki sistem aynı şeyi ifade etmektedir. Böylece Ar ve Xe tek bir simülasyonda gösterilebilir. Bu, indirgenmiş birimler sayesinde olur. Polimerler Polimer, en basit tanımıyla monomer denilen küçük moleküllerin birbirlerine eklenmesiyle oluşan uzun zincirli, büyük molekül aǧırlıklı bileşiklerdir. Yunanca mer parça, poly çok anlamına gelir. Şekil 2.1: Polimer Bir polimer sistem simüle edilmek isteniyor olsun. Bunun için şekilde gösterilen polimer yapının parçaları arasındaki etkileşimler gözlenir. Bu yapıbirimleri arasındaki baǧlar kovalent baǧlardır ve bu baǧlar harmonik potansiyel ile temsil edilebilr. İki parçacık arasındaki mesafeye baǧlı olarak elde edilen etkileşim potansiyeli Şekil

123 118 Şekil 2.2: harmonikpotansiyel 2.4 te gösterilmiştir. Bu, literatürde yer alan FENE (Finitely Extensible Nonlinear Elastik Model) adı verilen en basit etkileşim tipidir.fene yalnızca itici Lennard-Jones modeliyle birlikte kullanılır. Açısal Potansiyel(Üç Parçacıǧı İlgilendiren etkileşimler) Virial daǧılım metodunda 3. ve 4. terimler hesaba katılmaz ancak polimer zinciri bu durumun bir istisnasıdır.polimer zincirindeki yapılar arası baǧların hesaplanmasıiçin zincirde bulunan herhangi birbirine baǧlı üç parçacık seçilir ve bunları ilgilendiren bir açı terimi bulmaya çalışır.buna açısal potansiyel denir. Şekil 2.3: Yapı birimi Şekilde (2.5) te gösterilen yapı birimleri arasındaki θ açısı kullanılarak yeni bir baǧıntı yazılır; L uzunluǧunda M tane zincirden N tane parçacık meydana gelir ve bu 3 lü yapının açısal potansiyeli O(L 2) olur. İstisnai bu durumun hesaplamalarda kullanılmasının iki sebebi vardır; 1. Bu terimin katkısı gözardı edilmeyecek kadar büyüktür. Bu etkileşimler sis-

124 119 temin statik ve dinamik özelliklerini çok deǧiştiren etkileşimlerdir. Bu etkileşimlerin hesaba katılmaması durumunda sistemler çok farklı davranırlar. 2. Nümerik olarak bakıldıǧında ise bu etkileşimlerin hesaba katılmasının hesaplama açısından çok da kötü olmadıǧı görülür. Dihedral Potansiyeli Dihedral potansiyeli dört parçacıǧın koordinatlarına baǧlı potansiyellerdir. Bu potansiyellerde parçacıklar aralarında φ açısı olacak şekilde iki farklıdüzlem üzerine yerleştirilir ve dörtlübu yapı için (L 3) tane dihedral potansiyeli hesaplanabilir. φ açısına baǧlı olarak deǧişen potansiyel için çizilen grafik şekilde verilmiştir. Simülasyon çalışmalarında yapılmaya çalışılan, minumum serbestlik derecesinde maksimum gerçekliǧi saǧlamaktır. Bu yüzden sistemler hakkında detaylıbir inceleme yapılmak isteniyorsa, açısal ve dihedral potansiyellerinin hesaba katılması gerekir Periyodik Sınır Koşulları Simüle edilmek istenen sistem, sonsuz büyuüklükteki bir sistem içerisinde sınır etkilerinden etkilenmeyen bir bulk sistemi olarak seçilirse, bu sistemden elde

125 120 Şekil 2.4: İki boyutlu sistem edilen simülasyon sonuçlarının gerçeǧe yakınlıkları belirlenebilir. Sistemin bir bulk gibi davranabilmesi için parçacık sayısı arttırılabilir. Ancak bu simülasyon zamanını arttırır. Bu durumu iyileştirmenin bir yolu periyodik sınır koşullarını kullanmaktır. Bunun için Şekil (2.7) deki gibi iki boyutlu bir sistem düşünülür. Bu sistemde ana kutu 5 numaralı kutudur ve iki boyutta çalışıldıǧından bu kutuya komşu 8 adet kutu vardır. 5 numaralı kutuda yer alan parça ıkların koordinatları komşu kutulara kopyalanır. Yani komşu kutularda yer alan parçacıklar birbirinden baǧımsız parçacıklar deǧil, birbirlerinin sanallarıdır. ; Periyodik sınır koşullarının kullanıldıǧı simülasyon modellerindeki varsayıma göre; ana kutudan diǧer bir komşu kutuya hareket eden parçcıǧa karşılık, sanalıda aynı hareketi yapar. Sonuç olarak kutudaki parçcık sayısı deǧişmez, bütün parçacıklar birbirleriyle etkileşir ve böylece 5 numaralı kutu için sınır koşulları ortadan kalkmış olur. Simülasyon yapımında diǧer önemli bir konu da parçacıkların ne kadar mesafede birbirleriyle etkileştiǧidir. Lennard-Jones potansiyeli göz önüne alınırsa; potansiyelin sıfıra yalaştıǧı,ancak sıfır olmadıǧı görülür ve bu durumun hesaplamalara az da olsa bir etkisi vardır. Simülasyonlarda kullanılan aritmetik, bilgisayar aritmetiǧidir. Yani, sonlu sayıda basamak mevcuttur. Dolayısıyla Lennard- Jones potansiyelinin tam sıfır olmayışının etkisinden kurtulmak için bir varsayım yapılır. Model sisteme göre yapılmış bu varsayıma göre; Lennard-Jones modeli kaydırılmalıdır. Bunun ıçin Lennard-Jones potansiyeli üzerinde modele baǧlı olarak

126 121 bir r cut parametresi seçilir. Bu noktadaki enerji E min hesaplanarak, potansiyel deǧeri üzerine eklenir. Böylece Lennard-Jones potansiyeli şekil (2.8) 2 de gösterildiǧi gibi kaydırılmış olur. Bu, parçacıklar arası mesafenin r cut dan küçük olması durumunda parçacıkların Lennard-Jones potansiyeline uygun şekilde etkileşeceǧi, büyük olması durumunda etkileşemeyeceǧi ve dolayısıyla etkileşim potansiyellerinin sıfır olacaǧı anlamına gelir. Şekil 2.5: 1.Lennard Jones potansiyeli. 2. Kaydırılmış Lennard Jones potansiyeli Simülasyonda kullanılan periyodik sınır koşullarına göre kutuların her bir boyutu L olarak alınırsa L > r cut olmalıdır. Böylece kutu ıçerisinde meydana gelen etkileşim potansiyeli yine kutu içerisinde kalır. Eǧer L < r cut olarak alınırsa parçacık kendisiyle etkileşir. Bu durum, yeni hesaplamalar getirir ki bu da simülasyonlar için uygun bir durum oluşturmaz. Dolayısıyla bu tür modeller için r cut kutunun boyutundan küçük olacak şekilde seçilmelidir. Bu sayede aynı parçacık ikinci kez göz önüne alınmamış,ve sonsuz sayıda kutu kullanılmamış olur Üç Boyutta Simülasyon Bir molekül yapısıetrafında bulk özelliklerini taşıyacak kalınlıkta bir su tabakası olsun. Periyodik sınır koşullarını kullanabilmek için bu sistemin şekil (2.10) daki gibi kübik bir kutu içerisine konulduǧu varsayılsın. Simülasyon zamanını azalt-

127 122 mak için parçacık sayısı minimize edilmelidir. Bu yüzden kutunun boyutları minumum olacak şekilde seçilmelidir. Bu amaçla, daha az sayıda parçacıkla ve daha dolu hacimli simülasyonlar yapmak için üç boyutta optimum deǧerleri veren, - Truncated octahedron - Rhombic dodecahedron şekilleri kullanılır. 2.2 Nümerik İntegrasyon Hareket Denklemleri Amaç: t anındaki sistem koşullarının bilindiǧi varsayılarak (t + t) anın daki sistemin durumunu bulmak. - Lagrange metodu kullanılarak genelleştirilmiş koordinatlar cinsinden hareket denklemleri yazılırsa; L = K V (2.2.1) d dt ( L ) ( L ) = 0 (2.2.2) q k q k

128 123 Örnek: Kartezyen koordinat sisteminde atomlardan oluşan bir sistem için m i r k = F i (2.2.3) dir. Genelleştirilmiş koordinat sisteminde parçacıǧın momentumu yazılırsa; P k = L q k (2.2.4) H( p, q) = q k L( q, q) (2.2.5) Sonuç olarak çözülmek istenen sistem; r i = P i m i (2.2.6) P i = r i V = F i (2.2.7) dir. Sistemin enerjisi korunmak isteniyorsa, hamiltonyen denkleminin zamana baǧlı olmaması gerekir. Bu sayede zamanla enerji korunur. Eǧer herhangi bir dış etki veya kuvvet yoksa enerjinin korunması için gerekli koşul; dh dt = 0 (2.2.8) dır. Eǧer sistemin toplam momentumunun sabit kalması isteniyorsa; sisteme hız verildiǧinde sistemin kütle merkezinin hızı bulunup tüm parçacıklar üzerinden toplam alınmalıdır.

129 Verlet Algoritması Amaç : t anındaki sistem koşullarından (t + t) anındaki durumu elde etmek. Taylor açılımı kullanarak parçacıǧın (t + t) koordinatları; r(t + t) = V (t) + V t + f(t) 2m t2 + t3... r + O( t 4 ) (2.3.1) 3! Aynı açılım terse doǧru yapılırsa; r(t t) = V (t) V t + f(t) 2m t2 t3... r + O( t 4 ) (2.3.2) 3! İki terim birbirleriyle toplanırsa; Şeklinde olur. r(t + t) + r(t t) = 2 r(t) + f(t) m t2 + O( t 4 ) (2.3.3) Burada t terimi simülasyonda kullanılacak zaman adımıdır. Yukarıdaki denklemler t ve (t + t)anındaki koordinatlar cinsinden yazılmıştır ve bu denklemler dördüncü dereceden bir hata terimine sahip oldukları görülür. Bu hata terimini yok etmek için t teriminin çok küçük seçilirse; r(t + t) r(t t) = 2 r(t) + f(t) m t2 + O( t 3 ) (2.3.4) Bu denklemden hız terimi seçilirse; V (t) = r(t + t) r(t t) 2 t + O( t 2 ) (2.3.5) olur. Burada t 2 terimi hata terimidir. Klasik olarak düzenlenen Verlet algoritmasında hata terimi daha büyük olabilir.algoritma hesabnn efektif ol-

130 125 ması hesaplamalar açısından büyük önem taşımaktadır. Daha hassas bir algoritma için türev derceleri arttırılabilinir. Ancak bu hesaplamada zaman kaybına neden olur. Verlet algoritmasında gösterilen noktada hassas hesaplama yapılmak isteniyorsa, t çok küçük tutulur ve daha sonra tekrar büyütülür Verlet Algoritmasının Özellikleri Hafıza açısından Verlet algoritması oldukça hesaplıdır. - Hassaslık açısından koordinatlarda O( t 4 ), hızlarda O( t 2 ) gibi bir hassaslık saǧlar. Öte yandan t yi seçerken hız açısından mümkün olduǧunca büyük deǧerler seçilmek istenir. Ancak hassaslık açısından t küçük tutmak gerekir Uzun zamanlarda enerji korunumu açısından Verlet algoritması çok başarılıdır. Moleküler dinamik simülasyonlarında simülasyon süresi, istatiksel olarak yeterli data toplanabilecek süredir. Bu süre parçacıǧın rotasının hassas bir şekilde hesaplanabileceǧi süreden çok daha uzundur. Moleküler dinamik simülasyonlarında amaç gerçek rotayı hesaplamak deǧil, istatistik tahminler yapmaktadır. Verlet algoritması faz uzayında alan korunumunu saǧlar. Verlet algoritması diǧer algoritmalara göre enerji korunumu açısından daha tutarlıdır. 2.4 Moleküler Dinamiǧin İncelikleri Hücre Sistemi Çalışılan sistem bir Lennard-Jones sistemi ve bu sisteme ait N tane parçacık

131 126 olduǧu varsayılsın. Şekil 2.6: a.lennard Jones potansiyeli,b. N parçacıklı sistem t anından t + t anına gidildiǧinde kuvvet hesaplanmak isteniyor. Bu yüzden öncelikle şekil 2.9 b de gösterilen daire içerisinde kaç parçacık olduǧuna bakılmalıdır. t = 10 adımda r cut ı belli bir sistemin gidebileceǧi maksimum uzaklık olarak hesaplansın. Bu durumda iki parçacık arasındaki mesafe r cut +10 t olur. Parçacıklar doǧrusal ise bu parçacıklar on adım sonra etkileşeklerdir. Yani on adım sonra parçacıklar arası mesafe tekrar ölçülmelidir. Bu işlemde yapılmak istenen, en kötü durumda parçacıkların birbirlerini nezaman ilk olarak göreceǧini hesaplayabilmektir. Şekilde verilen kutunun boyutu r cut +10 t olsun. Bu kutu içerisindeki parçacıkların 10 t zamanında kaç parçacıkla etkileştiǧine bakılmak isteniyor; kırmızı kutudaki parçacıklar ancak komşu kutulardaki parçacıklarla etkileşebilirler. Böylece bütün parçacıkların kontrol edilmesine gerek kalmaz. Çünkü bu parçacıkların arasındaki mesafe r cut + 10 t den büyüktür. Bu sayede hesaba katılacak olan parçacık sayısı sırlandırılmış olur. Yani kullanılan hücre sistemi hesaplamalarda kullanılan zaman açısından kullanışlı bir sistemdir. Öte yandan şekildeki sistem için kullanamyız. Bu sisteme ait bir r cut olamamasının yanı sıra sistem uzak mesafeli bir sistemdir. Dolayısıyla bu sistem için hücre sistemi yöntemi uygun deǧildir. Eloktrostatik bir sistem göz önüne alınsın. Ve bu sistemdeki Coulomb etk-

132 127 ileşimleri uzak ve yakın mesafeler olarak ikiye ayrılsın. Grafikte gösterilen potansiyellerin etkileşmemesi için her yükün altına gaussiyen bir yük konur ve bu yük daǧılımının toplamı şekilde gösterildiǧi gibi üstündeki (+1)yükünü verir.böylece en uzaktaki yük toplam yükü sıfır olarak görür. Bu elektrostatik sistemde bulunan yükler arasında çok uzak mesafeler olsa da bu yükler etkileşir. Bu durumu engellemek için sistem sanal uzay, gerçek uzay olarak ikiye ayrılır. Bu yönteme Ewald Summation denir. Yukarıda verilen sistemde yakın mesafelerde çalısılacaǧından r cut ı kullanabiliriz. Ve verilen algoritmaya göre toplam enerji, gerçek uzaydaki parçacıkların enerjisi ile sanal uzaydaki parçacıkların enerjisinin toplanmasıyla elde edilir. Bu yöntemde dikkat edilmesi gereken yüklerin gerçek uzay ve sanal uzay arasında ne oranda daǧıtıldıdǧıdır.

133 Sabit Basınç Algoritması Öncelikle şekildeki sistemin kapaǧının sabit olduǧu farzedilir. Parçacıklardan Şekil 2.7: Pistonlu kap dolayı kapak üzerine bir basınç uygulanır ve bu basınç ; F i r i dır.burada yapılmak istenen basınçı sabit tutmaktır. Ancak m kütleli piston hareketsiz olduǧunda içeride bulunan parçacıklar ççarpışarak kapaǧa basınç uygularlar. Bu durumun etkisini kaldırabilmek için sabit basınçta sanki dışarıdan da bir kuvvet uygulanıyormuş gibi bir durum oluşturulur. Diǧer bir durum incelenecek olursa; Şekil 2.8: Yalıtık bir kutu Şekilde gösterilen dışarıdan yalıtık kutu içerisinde bulunan parçacıklar rezervuarla etkileşim içerisindedir. Sistem rezervuarla etkileştıǧinden ortalama ve sabit bir sıcaklık elde edilir.

134 Kaos Doǧa tamamen dinamik sistemlerden oluşmuştur. Dinamik sistemlerin davranışlarıkontrol edildiǧinde zaman içinde gerçekleşen evrim gözlenebilir. Doǧadaki dinamik sistemler farkı salınımlar yaparlar. Salınım hareketinin periyoduna ve frekansına bakılarak sistemin kaotik mi periyodik mi olduǧuna karar verilir. Sistemin kaotik olmasıiçin öncelikle sistemin lineer olmaması gerekir. Çünkü lineer sistemler kaos oluşturmazlar. Ayrıca sistemin kaotik olması için diǧer gerekli şart; sistemin sönümlü olmasıdır. Sistemin kimliǧini analiz etmek için yukarıda verilen temel ayrımlar yapılır. Bu sistemlerin davranışları ; periyodik, random, aperiyodik, kaotik şeklindedir Kaosun Özellikleri Kaotik sistemler başlangıç koşullarına hassas şekilde baǧlıdır. Sistemin başlangıçkoşulları alt üst olabilir. az da olsa deǧiştirilirse, sistemin trajectorysi Sistemin zaman içindeki evrimi kestirilemez. Örneǧin sistem belli bir µ la evrime başlamış olsun. t 1 anında yapılan gözlemle olasılıklar dahilinde sistemin t 2 anında nerde olduǧu kesin olarak bilinemez, Ancak küçük bir kısmı tahmin edilebilir Kaos Sistemlerinin Analizi Sistemin, faz uzayındaki analizi yapılarak kaotik olup olmadıǧı anlsşılabilir. Ancak, bir diferansiyel denklemi çözerek elde edilen grafik üzerindeki deǧerler diferansiyel denklemin çözüm kümesini oluşturur. Diferansiyel bir denklem lineer ise bu denklemi analitik olarak çözmek mümkündür. Diferansiyel denklem lineer

135 130 deǧilse bu denklem anlatik olarak deǧil nümerik olarak çözülebilir. Diferansiyel denklem kökleri sabit noktalar(fix pointler) civarında evrim yapar. Eǧer diferansiyel denklemiin çözümleri sabit noktaya yakınsa sistem bu noktada evrim greçirir ve lineerdir. Buna sistemib çekici bölgesi denir. Sistem u bölge etrafında evrim geçirir. Sistemin faz uzayındaki akışına bakarak sabit noktalara yaın noktalarda evrim geçirip geçirmediǧine bakılabilir. Bir sistem zaman içinde evrim geçirirken sistemin periyodik salımını bozulabilir ve bunun ardından tamamen kaotik olabilir. Yani sistem aynıanda iki farkı periyotta çalışmaya başlayabilir. Buna periyodik katlanma(çatallanma)(bifurcation)denir. Kaos sistemlerinin analizlerini yapmak için; - Faz uzayı analizleri - Köklerin bulunması - Periyodik katlanması - Lyapunov üstelinin hesabı işlemleri yapılmalıdır. Aşaǧıda ökaos analizi yapılan çeşitli örnekler ve açıklamalar verilmıstir Lojistik Map Lojistik map ve biyolojik populasyon modeli Biyolojik populasyon modeli kaos teorisinin gelişmesinde önemli bir kilometre taşıdır. Mayıs 1976 da biyolog R.M. May bu ve benzeri modellerin şaşırtıcı davranışlarını inceleyen bir makale yayınladı (May,1976). Şubat 1978 de Mitchell Feigenbaum bu makalede bazı nümerik olarak hesaplanabilir evrensel nicelikler olduǧunu gördü.

136 131 Kendi ismi verilen bu nicelikler kaos calışmalarının temel taşlarından oldu (Feigenbaum,1978). Daha sonra bu evrensel nicelikler hakkında kabaca bilgi verilecektir. Şimdilik biyolojik evrim modelini ifade eden standart lojistik maple ilgilenilecektir. Map fonksiyonu x n+1 = 1 ax n (2.6.1) şeklindedir. Denklemdeki fonksiyonda x in tanım uzayı parametresi 0 < a < 2; şeklinde tanımlıdır. x n ; n = 0, 1, 2...a Sabit Noktalar ve Kaos İterasyondan elde edilen x deǧerlerinin tanım uzayında oluşturduǧu şekle yörünge denir. Bu yörüngeler üzerinde bazı noktalar diǧerlerinden farklıdır. Bu noktalara sabit noktalar denir ve x = f(x ) (2.6.2) şeklinde ifade edilir. Sabit noktalar a parametresine baǧlı olarak deǧişirler. Sabit nokta geometrik bir yöntem kullanılarak basitce bulununabilir. f (x) in x e karşılık grafiǧi çizilir. Bu eǧriye ek olarak bir x = y doǧrusu cizilir ve şekilde görüldüǧü gibi herhangi bir x o noktasından başlanarak eǧriye bir dik cizilir. Böylece f(x 0 ) bulunur. Bu noktadan x = y doǧrusuna bir dik çizilerek f(x 0 ) deǧeri bir sonraki x yani x 1 olarak alınır. Eǧriye tekrar dik cizilip f(x 1 ) deǧeri bulunur ve yine y = x doǧrusuna bir dik çizilerek bir sonraki x deǧeri bulunur. İşlem pek çok kez tekrarlanarak x deǧerine istenilen duyarlılıkta yaklaşılır. Şekil 2.9 da a = 0.5 ve z = 2 icin sabit noktanın deǧeri x= dir. Lojistik map p için a = 0.75 deǧerine kadar her a icin tek bir deǧere yakınsar daha sonra bu tek deǧer kararsız hale gelir ve yörünge ikiye yarılır, periyod-ciftlenmesi meydana gelir. a = 0.75 deǧerinde x 1 = ve x 2 = noktaları arasında salınım başlar. Bu iki nokta ikili cevrimin cekici sabit noktalarıdır. Bu matematiksel olarak;

137 132 Şekil 2.9: a = 0.5 için geometrik olarak sabit nokta tayini x 2 = f(x 1 ) x 1 = f(x 2 ) (2.6.3) şeklinde gösterilebilir. Daha iyi anlaşılması için, f 2 (x) = f(f(x)) (2.6.4) şeklindeki f nin ikinci iterasyonuna bakalılsın. Bir x deǧerine karşılık gelen f(x) deǧerini tekrar aynı fonksiyona x deeri olarak koyarak f 2 (x) bulunur. Şekil 2.9da gösterildiǧi gibi a < 0.75 ise f 2 (x) grafiǧinde tek bir sabit nokta bulunur. a deǧeri 0.75 in hemen üzerindeyken iki tane sabit nokta arasında salınım yaptıǧı şekil 2.10 dan görülebilir. Şekil 2.10: a = 0.3 için f 2 (x) grafiǧi

138 133 Bu iki cevrim noktas. x 1 ve x 2 ikinci iterasyonun sabit noktalarıdır. x 1 = f 2 (x 1) x 2 = f 2 (x 2) (2.6.5) Denklemden de görüleceǧi gibi ikinci iterasyonun bu iki sabit noktası kararlı sabit noktalardır. Her iki çevrimde bir kendilerini tekrar ederler. a parametresi büyüdükçe belirli bir deǧere kadar bu noktaların deǧeri deǧişir fakat davranış aynı kalır. Tıpkı a = 0.75 durumunda tek bir sabit noktaya yaklaşıp bu deǧerin üzerinde yarılma olduǧu gibi a nın belirli bir deǧerinden sonra bu iki noktada kararsız hale gelir ve yarılırlar. a arttıkça sabit noktaların türevleri -1 olur ve yarılmalar sonsuza dek devam eder. a nın kritik deǧer denilen bir deǧrinden sonra periyodik tekrarlar ortadan kalkar ve sistem kaosa gider. Bunu şekil 2.11 deki dallanma grafiǧinden görebiliriz. Lyapunov ve dallanma grafiklerine dikkatli bakılırsa yarılmaların ve kaos gecişinin Lyapunov üstelinin sıfır deǧerinde olduǧu görülebilir (Hilborn, 1994). Şekil 2.11: a = 0.9 için f 2 (x) grafiǧi Kaos ve Lyapunov Üsteli Kaosun temel görünümlerinden biri yakın iki yörüngenin zamanla birbirinden ayrılmasıdır. x 0 gibi bir nokta alınır ve ε kadar yanında da x 0 + εnoktasınıalıp

139 map içinde n defa itere edelirse, bu iki nokta arasındaki fark şöyle yazılabilir; 134 d n = f n (x 0 + ε) f n (x 0 ) (2.6.6) Eǧer davranış kaotikse fark üstel olarak büyüyecektir; d n = f n (x 0 + ε) f n (x 0 ) ε = e λn (2.6.7) Burada λ yalnız bırakılırsa; λ = 1 n ln f n (x 0 + ε) f n (x 0 ) ε (2.6.8) Şekil 2.12: z = 2 için dallanma ve Lyapunov üsteli grafikleri bulunur. ε a durumunda türevin tanımından yararlanarak ve f( n ) için zincir kuralınıda kullanarak λ yı aşaǧıdaki gibi yazılabilir; λ = 1 n ln( f (x 0) f (x 1 )... f (x n ) ) (2.6.9)

140 135 Çarpımlar toplam halinde yazılırsa; λ = 1 n (ln f (x 0) + (ln f (x 1 )) (ln f (x n ) ) (2.6.10) sonucu elde edilir. Görüldüǧü gibi Lyopunov üstelinin pozitif çıkmas türevin birden büyük olması demektir ve birbirine yakın iki noktanın birbirinden uzaklaştıǧı anlamına gelir (Hilborn, 1994) Lorenz Çekicisi 1960ların başında Edward Lorenz MIT de atmosfer hareketlerini modellemeye çalışırken kazara ilk koşullarla hassas baǧlılǧı kefetti. dy dt dx dt = σ(y x) (2.6.11) = xz + rx y (2.6.12) dz dt = xy bz (2.6.13) Lorenz yukarıda verilen üç sade denklemle bir hava hareketi tanımlamladı. Model, dönen uzun bir silindirin alt ucunda havanın ısındıǧı ve üst ucunda soǧuduǧu fikrine dayanıyordu. x-y düzlemindeki şekli kelebeǧe benzediǧi için kelebek çekicisi de denen bu çekicinin kaos veren parametre deǧerleri olarak verilir. Denklemlerde x dönüşün hızını,y aşaǧıya ve yukarıya doǧru hareket eden akışkanlar arasındaki ısı farkını, z ise dikey sıcaklık doǧrusallǧından sapmayı gösterir. Sırası ile Rayleigh, Prandtl sayıları ve silindirin yüzleri arasındaki orandır. Şekil de x=1,y=2,z=3 ilk koşullarından başlanarak ve üstteki parametre deǧerleri kullanılarak elde edilmiş Lorenz çekicisinin deǧişik grafikleri verilmiştir. Zamana baǧlı grafiklere bakılarak sis-

141 136 temin bu deǧerler için kaotik olduǧu rahatlıkla söylenebilir. Şekil 2.13: Lorenz Çekicisi Duffing Osilatörü Duffing salınıcısının denklemi altta verildiǧi gibidir. Salınıcı k 1, k 2 deǧerlerine göre (pozitif ve negatif olmalarına göre) dört farklı potansiyel ve dört farklı tipte kuvvet etkisi altında kalır.k 1 = 0k 2 = 1 ve ϕ = 1 halinde Udea çekicisine döner. Şekilde konum hız ve zaman grafikleri kombinasyonu verilmiştir. Sistemin kaotik davrandıǧı bu grafiklere bakılarak kolayca söylenebilir. Şekil 2.14: Duffing salınıcısı için deǧişik grafikler

142 137 d 2 x dt 2 + bdx dt + k 1x + k 2 x 3 = Asinϕt (2.6.14) Sönümlü Sürülmüş Harmonik Salınıcı Fizikte basitmiş gibi görülen fakat kaotik davranış sergileyebilen bir başka sistemde harmonik salınıcıdır. Bir sürücü kuvvetin etki ettiǧi sönümlü bir salınıcı alttaki gibi ifade edilebilir. Sistem sönüm katsayısı ve sürücü kuvvet katsayısının deǧişik deǧerleri için deǧişik durumlar ortaya koyabilir. Şekilde sistemin a) hzkonum, b) zaman-konum grafikleri verilmiştir. d 2 x dt 2 + bdx dt + w2 x = a sin ϕt (2.6.15) Şekil 2.15:

143 İki Boyutlu Kare Örgüde İsing Modeli İlk olarak Lenz (1920) tarafından ortaya atılan model daha sonra analitik olarak Ising (1925) tarafından çözülmüştür. Ferromanyetik malzemelerin kritik sıcaklıktaki faz geçislerini açıklar. Bu model günümüzde, spin camlarıgibi çok parçacıklı modern fizik problemlerine uygulanmaktadır. Ising modelinde yukarı (+1) ve aşaǧı (- 1)olmak üzere bir spin sadece iki duruma sahiptir. Spin deǧış keni Si sembolü ile gösterilir. Spinin örgüsündeki konumu i indisi ile ifade edilir. İki boyutlu bir kare örgü alınır. Örgüdeki seçilen herhangi bir Si spininin sadece en yakın komşuları ile etkileşti ǧi kabul edilir. Eǧer sisteme dış bir manyetik alan uygulanırsa sistemin hamiltonyen denklemi; H = J S i S j h S i (2.6.16) Eşitlikteki ilk toplam herhangi bir spinin en yakın komşuları üzerinden alınır. Bu terim, sistemin koordinasyon sayısına (en yakın komşu sayısına) baǧlıdır. İkinci toplam ise spinlerin iç manyetik momentlerinin dış manyetik alanla etkileşimini temsil eder. h dış manyetik alan şiddeti, J ise spin-spin etkileşme şiddetinin Şekil 2.16: Kare örgüdeki en yakın komşu etkileşimleri bir ölçüsüdür. J 0 ise sistem ferromanyetik düzende, J 0 ise anti-ferromanyetik

144 139 düzendedir. Ferromanyetik konfigürasyonda tüm spınleri yukarı yönelimlidir. Buna soǧuk konfigürasyon denir. Spinlerin rasgele yerleşimi söz konusu ise buna sıcak konfigürasyon denir. Monte Carlo Simülasyon Yöntemi Monte Carlo yöntemi kullanılarak Ising modelinin simülasyonu şu adımlarla yapılır: 1. Bilgisayarda rasgele sayı üreteci kullanılarak rasgele bir spin yerleşimi kurulur. 2. Sistemdeki bir spin ters çevrilir. Ya rasgele bir spin seçilir ve bu spinin işaret deǧıştirmesi saǧlanır yada örgüdeki tüm spinler sırayla ters çevrilir. Bir spin ters çevrildiǧinde oluşan yeni yerleşimin enerjisi ile spin ters çevrilmeden önceki yerleşimin enerjisi arasındaki enerji farkı E hesaplanır. 3. E < 0 ise spinin ters dönmesi kabul edilir ve yeni şekillenim elde edilir. Bu durumda sistem daha düşük enerjili bir duruma geçmiş olur. 4. E > 0 ise w = exp( β) E olasılıǧı hesaplanır. [0,1] aralıǧında bir rasgele r sayısı üretilir. Eǧer w > r ise spinin ters dönmesi kabul edilir. w < r ise spinin ters dönmesi reddedilir ve sistemin yerleşimi deǧişmemiş olur. 5. Seçilen spinin ters dönüşü kabul edilse de edilmese de manyetizasyon, enerji, ısı kapasitesi ve manyetik alınganlık gibi nicelikler hesaplanır. 6. Bu işlemler her bir spin için ortalama 1000 defa tekrarlanır ve tüm örgü bu işlemlerden geçirilir. Örnek simülasyon uygulamaları yapılırsa; iki boyutlu ising modeli manyetizasyonzaman şekillenimlerini şekil 2.17 deki gibi olur;

145 140 Şekil 2.17: 10x10 luk kare örgü için çeşitli sıcaklıklarda manyetizsayon-zaman şekillenimleri Simülasyon Sonuçları Bu dört grafikte, normalize manyetizasyon çizilmiştir. Yani M = 1 tüm spinlerin yukarı yönelimli olduǧu durumdaki spin başına manyetizasyondur. Düşük sıcaklılarda manyetizasyon, tüm spinlerin paralel olduǧu saturasyon deǧerine çok yakındır. Manyetizasyondaki dalgalanmalar oldukça küçktür. Sıcaklık T = 2.0 a yükseltildiǧinde manyetizasyonun ortalama deǧeri başlangıç deǧerinin (tüm spinlerin yukarı yönelimli olduǧu deǧerin) yüzde doksanına kadar düşer. Burada Boltzmann faktörü sistemin enerjisini yükseltir. Ama sistem yine de ferromanyetik düzendedir. Fakat başlangıca göre daha düzensiz bir durumdadır. Ayrıca dalgalanma şiddeti belirgin bir şekilde artmaktadır. Bu dalgalanmalar, bir kritik nokta olarak da bilinen ikinci dereceden bir faz geçişine yaklaşıldıǧının sinyalini verir. Kritik noktada bulunan bir sistem küçük pertürbasyonlara karşı aşırı hassas davranır ve termodinamik özellikleri sıcaklık ya da manyetik alan deǧışimi ile birlikte ani ve hızlı bir deǧişime uǧrar. Sistemi T = 2.25 e kadar ısıttıǧımızda dalgalanmalar daha büyük olur. Kare örgüdeki Ising modeli için analitik hesapla-

146 141 malar kritik sıcaklık için T c = 2 ln(1+ 2) sonucunu verir. Şekil 2.18: a.10x10 kare örgüde manyetizasyon-sıcaklık deǧişimi. b.10x10 kare örgüde sıcaklıǧa karşılık ortalama termal enerji grafıǧi. Bunedenle T =2.25, kritik sıcaklıǧa çok yakındır. Sıcaklıǧı arttırmaya devam ettiǧimizde görüyoruzki, T = 4.0 te dalgalanmaların şiddeti azalır ve M 0 civarında merkezlenir. Artık kritik sıcaklıǧın oldukça üzerinde olan sistem paramanyetik faza geçmiştir. En büyük dalgalanmalar kritik sıcaklık T c civarında görülür. Farklı sıcaklıklarda simülasyonlar yapıp, manyetizasyonun zaman üzerinden alınan ortalamalarınıhesaplayarak manyetizasyonu sıcaklıǧın fonksiyonu olarak elde edebiliriz. Sonuçlar şekil 2.19 da görülmektedir. Manyetizasyon, kritik sıcaklıǧın analitik olarak bilinen deǧeri ile uyumlu bir şekilde doǧrudan sıfıra düşer. Simülasyonlarda Monte Carlo adım sayısı (Monte Carlo döngü uzunluǧu) ne kadar uzun tutulursa, hesaplamalarda yapılan istatistiksel hatalar 1 mcs oranında indirgenmiş olur. Burada mcs, simülasyonda kullanılan Monte Carlo zaman adımlarının sayısıdır. Şu ana kadar sadece manyetizasyon üzerinde durduk. Enerjinin sıcaklıkla deǧişimi şekil-19-b de görülmektedir. Düşük sıcaklıklarda tüm spinler aynı yönde iken, bütün spinler her bir dört en yakın komşusu ile -J etkileşme enerjisine sahiptir. Bu nedenle T = 0 da toplam enerji 4N J/2 olmalıdır. Burada N, hesaba katılan toplam spin sayısıd ır. Her bir etkileşmeyi sadece bir defa saymak için bu enerjiyi 2 ile bölmek gerekir. Böylece N spin için sistemin ortalama başlangıç enerjisi J = 1 için -2 olur. Diǧer taraftan oldukça yüksek sıcaklıklarda spinler

147 rasgele yönelimlere sahip olurlar. 142 Burada her bir spinin iki komşusu paralel, iki komşusu antiparalel olduǧu için toplam enerjinin ortalaması sıfır olur. Enerjisıcaklık grafiǧinden görüldüǧü gibi < E >, T c civarında çok geniş bir eǧime sahiptir. Aslında sonsuz geniş bir sistem için d < E > /dt türevi T = T c de belirsizdir. Bu nedenle, ısı kapasitesi T = T c de sonsuza yaklaşır.isı kapasitesinin davranışının incelenmesinde bir yol d < E > /dt türevini hesaplamaktır. Diǧer bir yol ise enerjideki dalgalanmalara bakmaktır. Isı kapasitesinin davranışı şekil2.20 a da görülmektedir. Cv, T = T c de sivri bir pik oluşturmaktadır. C v = ( E)2 k b T 2 (2.6.17) ( E) 2 =< E 2 > < E > 2 (2.6.18) Dalgalanma-sönümleme baǧıntısı kullanılarak manyetik alınganlık χ hesaplanabilir. Alınganlık, bir manyetik alan uygulandǧında indüklenen manyetizasyonun bir ölçüsüdür. Dalgalanma-sönümlenme teoremine göre, χ = ( M)2 k b T (2.6.19) ( M) 2 =< M 2 > < M > 2 (2.6.20) ile verilir. Burada ( M) 2,M nin varyansıdır. Bu varyans, manyetizasyonzaman grafiklerindeki verilerden elde edilebilir. Kritik nokta civarında χ de de sivri bir pik gözlenmektedir. Yaptıǧımız simülasyonlarda enerji ve manyetizasyon ortalamalarının ne kadar sıklıkta hesaplanacaǧı önemlidir. Örneǧin sistemde sadece bir spinin ters dönmesi sonucu manyetizasyonda fazla bir deǧisiklik olmayacaktır. Hesapladıgımız ortalama deǧerlere ait konfigürasyonların istatistiksel olarak birbirinden baǧımsız olmaları gerekir. Bunun için ortalamasını hesaplamak istediǧimiz herhangi bir A

148 143 Şekil 2.19: a.dalgalanma-sönümlenme baıǧıntısı kullanılarak 10x10 kare örgü için hesaplanan ısı kapasitesi. Burada spin başına ısı kapasitesi Cv/N, J = 1 için çizdirilmiştir. b.dalgalanma-sönümlenme baǧıntısı kullanılarak 10x10 kare örgü için hesaplanan manyetik alınganlık niceliǧinin otokorelasyon fonksiyonunu hesaplayabiliriz. C A (t) = < A(t + t 0)A(t 0 ) > < A > 2 < A 2 > < A > 2 (2.6.21) Bu hesabı yapabilmek için enerji ya da manyetizasyonun zaman serisi kullanılır. Zaman serisinde sistemin dengeye gelmesi için geçen zaman göz ardı edilerek denge durumu saǧlandıktan sonra her bir zaman adımındaki nicelik deǧeri sırayla başlangıç seçilerek tüm olası durumlar üzerinden ortalama alınır. t = 0 anında C A (0) = 1 dir. t limitinde ise < A(t + t 0 )A(t 0 ) >=< A > 2 olur ve C A (t ) 0 olur. Yani genel olarak C A (t),τ A korelasyon zamanı ile üstel olarak azalır. İlgili grafikler aşaǧıda görülmektedir. Son olarak kritik üsteller üzerinde duracaǧız. Kritik üsteller, manyetizasyon, ısı kapasitesi, manyetik alınganlık gibi termodinamik özelliklerin T c kritik sıcaklık civarındaki davranıslarını anlamamızı saǧlar. Kritik üstelleri hesaplamak için kare örgüde sırasıyla L = 2, 4, 8, 16 seçilir ve C v,m ve χ nin lineer boyut L ile deǧi

149 144 Şekil 2.20: Enerji ve manyetizasyon için otokorelasyon fonksiyonları şimi elde edilir. Logaritmik grafiklerin eǧimi aranan üsteli verir. Kritik üstelleri hesaplamak için, m(t ) (T c T ) β L β/ν (2.6.22) C(T ) (T T c ) α L α/ν (2.6.23) χ(t ) (T T c ) γ L γ/ν (2.6.24) eşitlikleri kullanılır. Manyetizasyon, ısı kapasitesi ve manyetik duygunluk için elde edilen grafikler aşaǧıda görülmektedir. Burada ν = 1 olduǧu varsayılmıştır. Şekil 2.21: Manyetizasyon ve manyetik alınganlık için kritik üsteller

150 Kritik üsteller için analitik sonuçlar; β = 1/8, γ = 7/4 Simülasyon beticesinde γ = 1.77 ve β = 0.17 sonuçları teorik hesaplamalar ile uyum içerisindedir. 145

151 KAOS GEÇİŞ EŞİǦİNDEKİ DİNAMİK SİSTEMLER Uǧur TIRNAKLI EGE ÜNİVERSİTESİ TÜRKİYE DERS ASİSTANLARI : Barış BAǦCI (Texas Woman s University) DERS NOTU ASİSTANI : Bahadır Ozan AKTAŞ (Dokuz Eylül Üniversitesi) 146

152 BÖLÜM ÜÇ KAOS GEÇİŞ EŞİǦİNDEKİ DİNAMİK SİSTEMLER 3.1 Kaotik Sistemler (?)(?)(?) Giriş Kaos, basit sistemlerin görünüşte karmaşık davranışını betimlemede kullanılan bir terimdir. Kaotik davranış ilk bakışta, dış etkenlerden ya da rastgele gürültüden kuvvetlice etkilenen bir sistem ya da birçok serbestlik derecesine sahip bir sistemin karmaşık davranışı gibi, hatasal ve hemen hemen rastgele görünür. Oysa kaotik olarak isimlendirilen davranış son derece basit sistemlerde de gözlenmektedir. Bu tip sistemler aslen deterministik sistemlerdir. Yani belli bir anda sistemin içinde bulunduǧu koşullar tümüyle biliniyorsa, en azından prensip olarak, sistemin gelecekteki davranışı tam olarak kestirilebilir. Kaosu anlamadaki sorunsal, görünüşte birbiri ile çelişen rastgelelik ve determinizm gibi iki nosyonu baǧdaştırmaktır. Bu anlayış için temel olgu doǧrusal olmama nosyonudur. Doǧrusal olmama fikrinin anlaşılması bakımından şöyle bir örnek verilebilir. Bir sisteme herhangi bir etki uygulanır ve sistemin bu etkiye yanıtı gözlenirse, etki iki katına çıkarıldıǧında ne olacaǧı sorulabilir. Eǧer sistemin yanıtı da iki katına çıkar ise sistemin doǧrusal 3 olduǧu 4 söylenir. Eǧer yanıt iki katına çıkmadıysa sistemin davranışı doǧrusal deǧildir. 5 dinamik olarak isimlendirilir. Doǧrusal olmayan davranışın incelendiǧi saha doǧrusal olmayan 3 Linear. 4 Ya da en azından uygulanan etki bölgesi için. 5 Nonlinear. 147

153 148 Bilim insanları neden kaos ile ilgilenmekteler? Kaosun çalışılması, karmaşık davranışın sınıflandırılmasını ve anlaşılmasını saǧlayan yeni kavramsal ve kuramsal araçlar saǧlamıştır. Kaotik davranış evrensel gibi görünmektedir. Örneǧin kaos, mekanik salınıcılardan elektrik devrelerine, kimyasal tepkimelerden sinir hücrelerine ve daha birçok farklı sisteme kadar sayısız sistemde ortaya çıkar. Daha önemlisi bu kaotik davranış, nitelik ve nicelik bakımından evrensel bir görüngüdür. 6 Bu evrenselliǧin anlamı, basit bir sistemin incelenerek kaotik davranış hakkında edinilen bilginin daha karmaşık sistemlerin kaotik davranışının anlaşılmasında kullanılabileceǧidir. Bu aşamada bir sistem ve bu sistemin eitli davranşları ele alınarak kaos çalışmalarının bazıtemel kavramları tanıtılacaktır. Ele alınan çeşitli davranşların oldukça karmaşık olduǧu ancak bu karmaşıklıǧın hem nitelik hem de nicelik olarak benzer olduǧu görülecektir. Aslen bu son tümce, kaos hakkında edinilecek temel bilginin iki temasının kısa özetidir: Doǧrusal olmayan dinamik kuramı, bu tip sistemlerin karmaşık davranışının tanımlanmasına ve sınıflandırılmasına olanak tanır. Kaos kuramı, bu karmaşıklıkların altında yatan düzen ve evrenselliǧin görülmesini saǧlar. 6 Phenomena.

154 Doǧrusal ve Doǧrusal Olmayan Sistemler Kaos sözcüǧü, sistemin davranışındaki özel bir karmaşıklık tipini ifade etmekte kullanılan bir deyiştir. Gerçekte de kaos, bu şekildeki sistemlerde sergilenen davranışların sadece bir tipidir. Bu tip sistemlerin çalışıldıǧı alana 7 daha genel olarak doǧrusal olmayan dinamik denir. Bu durumda doǧrusal olmayan sistem nedir? Zaman evrimi denklemleri doǧrusal olmayan bir sistem doǧrusal deǧildir. Yani sistemin özelliklerini tanımlayan dinamik deǧişkenler 8 denklemlerde doǧrusal olmayan bir şekilde ortaya çıkarlar. Bu tanım mekanikten iki örnek ile betimlensin. Bir boyutta Newton un ikinci yasası, ve bunun yanısıra Hooke yasası, F x (x, t) = ma x = m d2 x dt 2 (3.1.1) F x (x, t) = kx (3.1.2) şeklindedir. Bu durumda da denklem (3.1.1) ve denklem (3.1.2) nin denkliklerinden basitçe parçacıǧın konumu için zaman evrimi denklemi, d 2 x dt 2 = k m x (3.1.3) olacaktır. Burada denklem x cinsinden doǧrusaldır. O halde sistem de doǧrusaldır. 7 Yani doǧrusal olmayan bir sistemin zaman içindeki dinamik davranışının çalışılmasına. 8 Konum, hız, ivme, basınç vb...

155 150 Eǧer kuvvet daha karmaşık bir x baǧımlılıǧına sahip ise, örneǧin F x (x) = bx 2 (3.1.4) ise, bu baǧlamda denklem (3.1.4), denklem (3.1.2) gibi kullanılarak, d 2 x dt 2 = b m x2 (3.1.5) bulunur. Bu durumda denklem x cinsinden doǧrusal deǧildir ve dolayısıyla sistemin kendisi doǧrusal deǧildir Doǧrusal Olmamanın Önemi Doǧrusal olmamanın önemi şuradadır: Doǧrusal bir sistemi tanımlayan bir parametre deǧiştirilirse, 9 salınımların frekans ve genliǧi deǧişecektir, ancak davranışın 10 doǧası aynı kalacaktır. Yani, konum ve zaman eksenleri uygun biçimde yeniden ölçeklendirilerek herhangi bir k deǧeri için bulunan davranış başka bir k deǧeri için gerçekleşen davranışa tamamen benzer kılınabilir. Oysa doǧrusal olmayan sistemlerde, parametredeki küçük bir deǧişiklik sistemin hem niteliksel hem de niceliksel davranışında dramatik deǧişimlere yol açabilir. Bir parametre deǧeri için davranış periyodik iken, bir öncekinden çok az farklıbir parametre deǧeri için sistemin davranışı tamamen aperiyodik olabilir. Ayrıca belirtilmesi gereken önemli bir konu da, hemen hemen bütün gerçek sistemlerin doǧrusal olmadıǧıdır. Yani doǧrusal davranış, doǧrusal olmayan davranıştan çok daha yaygın ve geneldir. 9 Örneǧin k yay sabiti. 10 Bu örnekte basit harmonik hareket.

156 Doǧrusal Olmama ve Kaos Doǧrusal olmayan sistemlerdeki bazıani ve dramatik deǧişimler kaos ismi verilen karmaşık davranışa yol açabilir. Kaos ismi ve kaotik sıfatı, sistemin davranışı aperiyodik 11 ve görünüşte rastgele ya da gürültü olduǧunda sistemin zaman içindeki davranışını tasvir etmekte kullanılır. Buradaki anahtar sözcük görünüşte sözcüǧüdür. Bu görünüşteki kaotik rastgeleliǧin altında yatan, sistemi tanımlayan denklemler tarafından belirlenen bir düzendir. Aslında, çalışılacak sistemlerin çoǧu deterministiktir. Genel olarak, sistemin davranışını belirlemek için üç şeye gereksinim duyulur: Zaman evrimi denklemleri Sistemi tanımlayan parametrelerin deǧerleri İlk koşullar Eǧer zaman evrimi denklemlerinin, sistemi tanımlayan parametrelerin ve ilk koşulların bilinmesi prensip olarak sistemin ilerki davranışını tam olarak belirlerse, böyle bir sistem deterministiktir. Sorunsal, determinizm ile görünüşte açık olan rastgeleliǧin nasıl baǧdaşacaǧıdır. Bu sorunsal kaos öncesi bir bilim insanıgibi ele alınabilir. Bu durumda, karmaşık rastgele tipli bir davranış gösteren bir sistem görüldüǧünde bu, ya gürültü ya da karmaşıklık kavramına dayanan argümanlarla açıklamaya çalışılacaktır. Gürültü argümanına göre, karmaşık davranış, mekanikte titreşimler ya da sıcaklık dalgalanmaları gibi kontrol edilemeyen dış etkiler nedeniyle or- 11 Yani hiçbir zaman tam olarak tekrar etmeyen.

157 152 taya çıkmaktadır. Bu dış etkiler kontrolsüz olarak deǧiştiǧinden sistemin davranışı rastgele görünür. Karmaşıklık argümanına göre, biyoloji, fizik ve kimyadaki birçok gerçek sistemin milyarlarca atom ve/veya molekülden oluştuǧu bilinmektedir. Bunların bütününün davranışı tam olarak kontrol edilemeyeceǧinden, 12 bu kontrol eksikliǧinin sistemin bütün davranışında dalgalanmalara ve rastgeleliǧe yol açması sürpriz olmayacaktır. Kaosun en büyük önemi, bu görünen rastgelelik için alternatif bir açıklama saǧlamasıdır. Bu açıklama ne gürültüye ne de karmaşıklıǧa dayanır. Kaotik davranış, tamamen gürültüsüz ve görece basit sistemlerde de ortaya çıkar Önemli Sorular Kaotik sistemlerin tamamı doǧrusal deǧildir. Fakat bunun tersi de geçerli deǧildir. Yani doǧrusal olmayan bütün sistemler de aynızamanda kaotiktir denilemez. Bir kısmı kaotik olmayabilir. Bu baǧlamda akla şu şekilde bir soru gelir: Hangi tür doǧrusal olmayan sistemler kaotik davranış sergiler? Eǧer sistemi betimleyen parametreler deǧişirse doǧrusal olmayan bir sistemin davranışı nasıl deǧişir? Bir sistemin gerçekten kaotik olduǧuna nasıl karar verilir ve kaos nicelik bakımından nasıl tanımlanır? Birçok doǧrusal olmayan sistemde görülen evrensel özellikler nelerdir? Bu özellikler tam olarak evrensel midir yoksa kaosun farklı türleri mi vardır? Sözkonusu evrensellik nasıl saptanır? 12 Hatta betimlenemeyeceǧinden.

158 153 Bilimsel ve teknik olarak kaos çalışmalarının başarıları nelerdir? Kaosun filozofik ve metedolojik belirtileri nelerdir? Biyolojik Popülasyon Büyümesi Modeli Bu modelin matematiksel yanı kaos kuramının gelişmesinde tarihsel öneme sahiptir lerin ortasında R. May, bu ve diǧer basit modeller tarafından sergilenen karmaşık davranışların bir kısmını tanımlayan bir makale yayımladı.(?) Hemen ardından, M. Feigenbaum bu modele dayanan sayısal hesaplamalarla bazı evrensel nicelikleri keşfetti. Bu evrensel nicelikler çaǧdaş kaos çalışmalarının çıkış noktası olmuştur. Model basit olarak şu şekildedir: Bireyleri aynı sezonda doǧup ölen sinek gibi bir canlı ele alınsın. Bir yıl içindeki sinek sayısı N 1 in orijinal sinek sayısı N 0 ile nasıl ilintili olduǧu saptanmak istenir ise, en basit halde, N 1 = AN 0 (3.1.6) olacaǧı tahmin edilebilir. Burada A çevre koşullarına 13 baǧlı bir ekolojik sabittir. Eǧer A > 1 ise, sineklerin sayısı artacaktır. Eǧer A < 1 ise, sinek sayısı azalacaktır. İlerleyen nesillerde A aynı kalır ise, A > 1 durumunda Malthusyan popülasyon patlamasına götürecek şekilde artış devam edecek, A < 1 durumunda ise popülasyon yok olmaya doǧru gidecektir. Oysa eǧer popülasyon çok fazla büyürse, biyolojik popülasyonu destekleyecek yeterli besin kaynaǧı olmayacaǧı ya da belki ilgili avcıların sinekleri tüketmesinin kolaylaşacaǧı ve bu nedenle popülasyon artışının sınırlı olacaǧı bilinmektedir. Bu sınırlama özelliǧi modele bir başka terim eklenerek saǧlanabilir. Bu terim, N nin küçük deǧerleri için önemsiz 13 Besin kaynakları, su, hava koşullarıvb...

159 154 ancak N arttıǧında daha başat hale gelecek şekilde olmalıdır. Örneǧin: N 1 = AN 0 BN 2 0 (3.1.7) Eǧer B A ise, ikinci terim N yeterince büyük olana kadar önem kazanmayacaktır. Bu terimin negatif olması popülasyonun azaltması anlamına gelir. Bu denklem tekrar tekrar kullanılarak her yıl N nin nasıl deǧiştiǧi bulunur: N 1 = AN 0 BN0 2 N 2 = AN 1 BN1 2 N 3 = AN 2 BN şeklinde iteratif olacaktır. Şimdi denklem (3.1.7) biraz deǧiştirilsin. Bu denkleme göre maksimum bir olası popülasyon sayısı vardır: N max = A B Buradan model için popülasyonu, maksimum olasıpopülasyon kesri olarak verecek yeni bir deǧişken tanımlanabilir: X n = N n N max Modelin tanımı gereǧi, x deǧişkeni [0, 1] aralıǧında olmalıdır. Bu tanım kullanılarak denklem (3.1.7), X n+1 = AX n (1 X n ) f A (X n ) (3.1.8) olur. Burada X n, n. yıldaki popülasyondur. f A fonksiyonu, iterasyon fonksiyonu olarak anılır. Farklı A deǧerleri için bu fonksiyon şekil de verilmiştir.

160 155 Şekil 3.1: Farklı A deǧerleri için iterasyon fonksiyonu. Bu modelin, popülasyon kesri X in uzun dönem 14 deǧeri hakkında ne ifade ettiǧi ve bu uzun dönem deǧerinin A ya nasıl baǧlı olduǧu saptanacak olursa doǧrusal algıya yatkın olan sezgiler, çevre koşulları 15 sabit kaldıǧından X in belirli bir deǧere gitmesi gerektiǧi yönünde olacaktır. Ayrıca, eǧer A yavaş yavaş deǧiştirilirse, bu deǧerin de yavaşça deǧişeceǧi beklenebilir. Hesap şu şekilde yapılır: Herhangi bir X 0 deǧeri ile başlanır, X 1 hesaplanır, 14 Birçok sezon sonra. 15 Burada A parametresi ile temsil edilirler.

161 156 sonra X 1 kullanılarak X 2 hesaplanır ve bu şekilde devam edilir yani, X 1 = f A (X 0 ) X 2 = f A (X 1 ) X 3 = f A (X 2 ) Buna bir iterasyon dizisi denir. f A (x) itere edilmişharita fonksiyonu olarak isimlendirilir. Çünkü f A (x), 0 X 1 aralıǧındaki bir X deǧerini 16 aynı aralıktaki başka bir deǧerine götürür. 17 Bu iterasyon işlemi ile elde edilen X deǧerleri dizisi yörünge olarak isimlendirilir. Açıkça, yörüngenin ilk birkaç noktası X in başlangıç deǧerine baǧlıdır. Çok açık olmayabilecek şey, yörüngenin sonuç davranışının belli bir A için 0 ile 1 arasındaki neredeyse bütün başlangıç noktaları için aynı olmasıdır. Öte yandan, bazı başlangıç noktaları diǧerlerinden farklıdır. Örneǧin, X 0 = 0 seçilir ise, f A (X = 0) = 0 olur ve yörünge bütün ilerleyen iterasyonlarda X = 0 da kalır. Bir X deǧeri, 18 X A = f A (X ) (3.1.9) veriyorsa, itere edilmiş haritanın sabit noktası olarak isimlendirilir. A indisi X deǧerinin A ya baǧlı olduǧunu gösterir. Bu harita için genel olarak iki sabit nokta vardır. Bunlardan ilki basitçe görüleceǧi üzere, 16 X 0 olsun. 17 Tabi eǧer A parametresi 0 A 4 şeklinde ise. 18 X olsun. X A = 0 (3.1.10)

162 157 ve diǧeri ise, f A (X ) = XA = AXA AXA 2 şeklinde bulunacaǧı üzere, 1 = A AX A AX A = A 1 X A = A 1 A X A = 1 1 A (3.1.11) olacaktır. A < 1 için X A = 0 yegane sabit noktadır.19 A > 1 için iki sabit nokta da tanımlı bölge içerisindedir. Bu durum şekil de görülmektedir Sabit Noktaların Önemi Şekil kullanılarak, eǧer A < 1 ise, 0 dan farklı bir X deǧerinden başlayan bir yörüngenin nasıl 0 a yaklaştıǧı görülebilir. İzlek 20 şöyledir: X ekseni üzerindeki X 0 başlangıç deǧerinden f A eǧrisine doǧru dikey bir çizgi çizilir. Bu kesim noktası X 1 deǧerini verir. Sonra kesim noktasından X deǧerine paralel olarak Y = X doǧrusuna bir çizgi çizilir. Y = X doǧrusunu kesen noktadan f A eǧrisine ikinci bir dikey çizgi çizilir. f A eǧrisiyle kesişme noktası X 2 yi belirler. Bu şekilde devam edilerek grafiksel olarak iterasyon işlemi gerçekleştirilmiş olur. [0, 1] aralıǧındaki başlangıç noktaları için A < 1 olduǧunda bütün yörüngeler X = 0 son deǧerine gittiklerinden X = 0 noktası bu yörüngeler için çekici 21 olarak isimlendirilir. 0 X 1 aralıǧı da bu çekici için çekim havzası 22 olarak isimlendirilir. Çekim havzası olarak isimlendirilmesinin nedeni bu aralıǧın içinde 19 Tanımlı 0 X 1 bölgesinde. 20 Procedure. 21 Çeker. 22 Çekim havuzu, çekim tabanı.

163 Şekil 3.2: A = 0.6 deǧeri için X 0 = 0.7 den başlayan iterasyonun grafik gösterimi. 158

164 159 yer alan her yörüngenin, iterasyon sayısı arttıǧında, X = 0 a gitmesidir. Biyolojik model düşünüldüǧünde, eǧer A < 1 ise, sezon sayısı arttıǧında popülasyonun yok olduǧu sonucuna varılır. Daha genel olarak; çekici, iterasyon sayısı sonsuza giderken yörüngelerin yaklaştıǧı noktalar kümesidir. Daha karmaşık sistemler için görüleceǧi gibi, verilen bir parametre deǧeri için sistem birden fazla çekiciye sahip olabilir. Bir çekici için çekim havzası, iterasyon sayısı sonsuza gittiǧinde, her biri çekiciye yaklaşan bir yörüngeye götüren {X 0 } ilk noktalar kümesinden oluşur Daha Karmaşık Davranış Şekil 3.3: A = 1.5 deǧeri için X e karşılık f(x). A > 1 durumunda ne olur? Şekil te A = 1.5 ile f a (X) eǧrisi ve Y = X doǧrusu verilmiştir. Geometrik yörünge belirleme yöntemi ile, X = 0.10 dan

165 160 Tablo 3.1: A = 3.1 ve X 0 = deǧerleri için lojistik haritada yörüngeler. n X n X n X n başlayan bir yörüngenin sabit noktasının X A = 1 1/A = 1/3 olduǧu bulunur. Aslında, 0 < X < 1 aralıǧında başlayan her yörünge aynı çekiciye gider. Bu noktada biyolojik modelin ne ifade ettiǧi anlaşılabilir: 0 ile 1 arasında bulunan her X 0 ilk deǧeri için, eǧer A > 1 ise, popülasyon kesri sonuçta çeken sabit noktaya yani XA = 1 1/A ya gider. A > 1 için X = 0 iten sabit noktaya dönüşür. Çünkü X = 0 civarında evrimine başlayan yörüngeler bu deǧerden uzaklaşırlar. Ancak bu basit modelde sürprizler de mevcuttur. İlk sürpriz, A parametresi 3 ten büyük olduǧunda ortaya çıkar. Tablo (3.1), A = 3.1 ile X 0 = 0.25 deǧerinden başlayan yörünge için deǧerleri listeler. Görüldüǧü gibi yörünge tek bir çekici deǧerine gitmez. Bu durum için yörünge deǧerleri X = ve X = gibi iki deǧer arasında ileri geri salınır. Biyolojik model için bu durum popülasyon kesrinin bir yıl yüksek, ertesi yıl düşük, sonra yeniden yüksek vb... olması demektir. Popülasyon kesri her iki yılda bir aynı deǧere geri döndüǧünden bu davranışa periyot-2 davranışı denir. Periyot- 1 davranışından periyot-2 davranışına deǧişim periyot çiftlenim yarılması olarak isimlendirilir.

166 161 Şekil 3.4: İki nokta çekicisine götüren bir yörüngenin grafiksel elde edilişi.

167 162 Yarılma iki parçaya ayrılmayı ifade eder. Yarılma terimi, doǧrusal olmayan dinamik çalışmalarında, bir parametre deǧiştiǧinde sistemin davranışındaki herhangi bir ani deǧişimi tanımlamakta kullanılır. Yani yarılma, sistemin davranışının iki bölgeye ayrılmasına karşılık gelir. Bu bölgelerden biri deǧişimin ortaya çıktıǧı özel parametre deǧerinin üstünde diǧeri altındadır. A = 3 parametre deǧerinde bir periyot çiftlenim yarılması olduǧu söylenir. A < 3 için çekici tek bir noktadan yani X = 1 1/A deǧerinden ibarettir. A parametresi 3 ten biraz büyük olduǧunda çekici artık iki noktadan oluşur ve bu iki deǧer A deǧiştikçe deǧişir. Şekil iki nokta çekicisine götüren bir yörüngenin grafiksel elde edilişini gösterir. A = deǧerinde başka bir periyot çiftlenim yarılması ortaya çıkar. Bu deǧerin biraz üstünde çekici dört noktadan meydana gelir. Örneǧin A = 3.45 için, yörüngede ortaya çıktıkları sıra ile, çekici deǧerleri 0.852, 0.433, 0847 ve şeklindedir. Bu deǧerlerin önemli bir özelliǧi vurgulanmalıdır. Deǧerler şu sırayla ortaya çıkmaktadır: En büyük, en küçük, sonraki en büyük ve sonraki en küçük vb... Eǧer A parametresi daha fazla arttırılırsa, A nın giderek küçülen arttırımlarında ortaya çıkan periyot-8, periyot-16 vb... yarılmaları görülür. A nın dan biraz büyük deǧerleri için yörünge deǧerleri hiçbir zaman tekrar etmez gibi görünür. Davranış kaotiktir. Modelin davranışı bir yarılma diyagramı çizilerek özetlenebilir. Yani, belli bir A deǧeri için, bir başlangıç noktasından itibaren yörünge hesaplanır ve sonra A parametresinin fonksiyonu olarak bu yörünge için çekici noktalar çizilir. Pratikte, yörünge sonuç çekiciye iterasyon sonra yeterince yakın olur. Şekil 3.1.8, bir A deǧeri ve 0 ile 1 arasında bir başlangıç deǧeri olarak sonra yörüngenin çekici deǧerlerine yaklaşması için harita fonksiyonu 100 kere itere edilip, ardından X in sonraki 100 deǧeri çizdirilerek elde edilmiştir. Görüldüǧü gibi periyot çiftlenimleri kaosa götürmektedir ve genişkaotik bölgeler pencerelere bölünmüştür. Bu harita için görülen kaotik davranış gerçek kaos mudur yoksa iterasyon

168 Şekil 3.5: 0 < A < 4 aralıǧında 100 iterasyon için X. 163

169 164 Tablo 3.2: A = 3.99 deǧeri için lojistik haritada yörüngeler. n X n X n X n n X n X n X n izleǧinden kaynaklanan sayısal bir etki midir? Kaosun varlıǧını sınamanın yollarından biri, birbirine yakın yörüngelerin ıraksamasını kontrol etmektir. Örneǧin tablo (3.2), A = 3.99 için üç farklı yörünge deǧerlerini listeler. Yörüngeler sırasıyla X = 0.400, X = ve X = ten başlar. Sadece 10 iterasyondan sonra ilk iki yörünge birbirinden 0.6 kadar uzaklaşmıştır. Yani A = 3.99 için haritanın yakın yörüngelerinin ıraksama gösterdiǧi sonucuna varılır. Eǧer yörüngeler arasındaki ilk fark den e düşürülürse ne olur? İki yörüngenin aynı miktarda birbirinden uzaklaşması öncekine göre iki kat zaman mı alır? Tablo (3.2) den görüldüǧü gibi yanıt hayır! Şu ana kadar, doǧrusal olmayan davranışın görülen başlıca özellikleri şunlardır: Parametreler yavaşça deǧiştirildiǧinde sistemin nitel davranışında ani deǧişiklikler gözlenir. Örneǧin, periyot-1 birdenbire periyot-2 ye dönüşür. Düzenli, periyodik davranıştan aperiyodik davranışa iyi tanımlıve tekrar üretilebilir deǧişimler mevcuttur. Kaos, birbirine yakın yörüngelerin ıraksamasına bakılarak gürültülü davranıştan ayırdedilebilir.

170 165 Tablo 3.3: Özdeǧer ve Lyapunov üsteli arasndaki farklılıklar. Özdeǧer Yerel bir büyüklük Sabit deǧer Karmaşık sayı Genellikle ortogonal deǧil Lyapunov üsteli Global bir büyüklük Ortalama deǧer Gerçel sayı Genellikle ortogonal Lyapunov Üstelleri Kaos hakkında tam bir evrensel kanının olmaması ile birlikte, bilindiǧi üzere birçok kişi tarafından kaos, aperiyodik, uzun bir zaman aralıǧına yayılmış, sınırlandırılmış ve en önemlisi başlangıç koşullarına hassas baǧlı bir görüngü olarak betimlenmektedir. Buna karşın, rastgele deǧişkenlerden oluşmamış eşitliklerin betimlediǧi, aperiyodik, sınırlandırılmış ve kestirilebilir bir sistem görece daha anlaşılırdır ve birim zaman aralıklarınca nümerik olarak çözülebilir. Başlangıç koşullarına hassas baǧlı bir sistemi saptamak çok daha zordur. Bundan dolayıdır ki, sözkonusu hassas baǧlılıǧın niceliǧi belirlenmelidir. Bu baǧlamda A. M. Lyapunov tarafından, başlangıçta birbirine yakın yörüngelerin, ilgili parametrece evrimleri sırasında birbirinden uzaklaşma hızının saptanması amacı ile bir üstel tanımı ortaya atılmıştır. Lyapunov üstelleri ismi, aynı zamanda ilk kuzeni olan eşi otuziki yaşında tüberkülozdan ölmeden üç gün önce kendisini vuran ve ardında eşiyle birlikte yakılmasına dair bir not bırakan büyük Rus matematikçisi A. M. Lyapunov a atfen 1968 yılında Oseledec tarafından verilmiştir. Pozitif Lyapunov üsteline sahip sınırlandırılmış bir sistem kaotiktir ve bu üstel sistemdeki kesitirimin kaybını tanımlar. Lyapunov üstelleri özdeǧer konusu ile yakından ilintilidir. özdeǧerlerin hesaplanmasında izlenen yöntemlere benzer yöntemler kullanılarak hesaplanırlar. Buna karşın aralarında önemli farklarda mevcuttur ve bunlar tablo (3.3) te gösterilmiştir.

171 166 Özdeǧer genellikle durum uzayında bir noktada hesaplanır ve buda sıklıkla denge noktasıolur. Oysa, Lyapunov üstelleri ise geometrik olarak yörünge boyunca ortalama alınarak hesaplanır. Lyapunov üstelleri daima gerçel sayıdır 23 ve ilgili doǧrultuları karşılıklı olarak ortogonal olduǧu halde, doǧrultular yörüngenin uzaydaki hareketine göre deǧişim gösterebilmektedir. Her iki nicelik te Jacobian matris ile hesaplanır. D boyutlu bir sistem D tane Lyapunov üsteline ve aynızamanda her noktada D tane de özdeǧere sahiptir. Şekil 3.6: Seçilen birbirine yakın iki ilk koşul ve evrimleri. Bir boyutlu haritalar için Lyapunov üsteline bakılacak olursa basit olarak lojistik haritanın incelenmesi isabetli olacaktır. Sırasıyla birbirine çok yakın X 0 ve X 0 + X 0 gibi iki başlangıç koşulu seçilsin. Bir iterasyon sonra bu noktalar temsili olarak şekil da gösterildiǧi biçimde şu şekilde ayrışır, 23 Real number. X 1 = f(x 0 + X 0 ) f(x 0 ) = X 0 f (X 0 ) (3.1.12)

172 Burada f = df/dx türevidir. Bundan sonra X 0 da λ gibi ayrışmayı betimleyen bir Lyapunov üsteli tanımlansın, e λ = X 1 / X 0 şeklinde ya da, 167 λ = ln X 1 / X 0 = ln f (X 0 ) (3.1.13) gibi bir ifade olacaktır. X 1 / X 0 büyüklüǧü yerel Lyapunov üsteli olarak isimlendirilir ve bu büyüklük X X 0 daki gerilmedir. Mutlak deǧer bu Lyapunov üstelinin pozitif olmasınıtemin eder ve böylece logaritma gerçel kılınır. Eǧer X 1 / X 0 negatif ise, bu demek olur ki, iterasyonda karşılıklı olarak mertebesini deǧiş tokuş eden iki tane yakın nokta vardır. Lyapunov üstelini hesaplamak özdeǧerleri hesaplamakla birçok benzerlik gösterir. Aslında, bir harita için, yerel Lyapunov sayıları özdeǧerlerin mutlak deǧeridir. 24 Yerel Lyapunov üstelinin 25 uzayı nasıl şekillendirdiǧini bilmek, küçük başlangıç koşullarındaki zayıf kestirimler ile çekici bölgesinin tanımlanmasına olanak saǧlar. Nicolis ve ark. (1983) tarafından yerel Lyapunov üstellerinin daǧılımından sapma olarak betimlenen bir doǧrusallıkdışı faktörü 26 tanımlanmıştır.(?) Global Lyapunov üstelinin eldesi için denklem (3.1.13) ün birçok iterasyon sonraki ortalamasına bakılır: λ = lim N 1 N N 1 n=0 ln f (X n ) (3.1.14) Yörüngemsiler periyodik ise, yörüngenin çekici noktada bir periyot boyunca dönüsünün ortalaması yeterli olacaktır. Ortalama gerilme faktörü e λ global Lyapunov üstelidir. Özdeǧer yerel Lyapunov üsteli global Lyapunov üsteli için aynı simge 27 kullanılmaktadır. Literatürde de bu iki üstel birlikte anılır. Tümüyle farklı özelliklere 24 Moduli. 25 Ya da sayısının. 26 Nonuniformity factor-nuf. 27 λ.

173 168 sahiptirler ve bunlar sıklıkla karıştırılır. Global Lyapunov üsteli birbirine çok yakın iki başlangıç koşulunun ortalama üstel oranlarını ya da başka bir deyişle uzaydaki ortalama gerilmeyi saptar. Pozitif bir Lyapunov üsteli kaosun varlıǧına işarettir. Eǧer Lyapunov üsteli negatif ise sistemde kararlı noktaların ya da limit çevrimlerin varlıǧından söz edilebilir. Global Lyapunov üsteli X = 0.5 için bir lojistik haritada negatif ve dallanma ya da sonsuz olabilir. Ayrıca yörünge bazen uzun bir süre için sabit bir bölgede, olduǧu gibi kalabilir, periyodik bir durumla çakışık hale gelebilir, sabit nokta olabilir ya da sonsuza kaçabilir. Bu durum geçici kaostur. 28 Her durumda uzun hesaplamalar doǧru olmayan sonuçlardan kaçınılmayıgerektirir. Gerçi ne kadar uzun süre hesap yapıldıǧı önemli deǧil, çünkü nümerik hesaplardan emin olunamaz Determinizm, Kestirilemezlik ve Yörüngelerin Iraksaması Yakın yörüngelerin ıraksamasının önemi nedir? Bu özelliǧin kaotik olarak isimlendirmek umulan davranış çeşidinin bir göstergesi olduǧunu ve kaostan kaynaklanan aperiyodik davranış ile dış gürültüden kaynaklanan aperiyodik davranış arasında ayrım yapilabilmesini saǧladıǧı öne sürülmüştü. Yakın yörüngelerin ıraksamasının önemi şudur: Eǧer bir sistem parametre deǧerlerinin bir bölgesinde yakın yörüngelerin ıraksamasıdavranışı sergiliyorsa, bu durumda o sistemin davranışı temel olarak kestirilemez hale gelir. Oysa sistem halen deterministiktir. Burada deterministik şu anlamdadır: Eǧer bir yörüngenin ilk koşu lları tam olarak bilinseydi, bu durumda sistemin zaman evrimi denklemleri integre edilerek o yörüngenin gelecekteki davranışı kestirilebilirdi. Oysa bu ilk koşullarda en küçük bir deǧişim bile yapılsa, yörünge çabucak tamamen 28 Transient chaos.

174 169 farklı bir yol izler. Herhangi bir gerçek deney ya da gerçek sayısal hesapta ilk koşulları belirlemekte her zaman bir miktar duyarsızlık olduǧundan, kaotik bir sistem için gelecekteki davranışın aslında kestirilemez olduǧu görülür. Bu noktanın daha iyi belirtilmesi için kaotik bir sistemin geleceǧinin, sistem deterministik dahi olsa, belirlenemez olduǧu söylenebilir. Bu kestirilemezlik, sistemi tanımlamakta kullanılan doǧrusal olmayan denklemler için kapalı formda bir çözümün yazılamayacaǧı gerçeǧi ile ilgilidir. Kapalı formda bir çözüm, X(t) = X 0 tanh π(at 2 ) gibi bir baǧıntı, ya da belki X(t) = a 1 (t)+a 2 (t)+... şeklinde sonsuz terimli bir seri çözümüdür. Böyle kapalı formda bir çözüm bulunabilse, sistemin gelecekteki davranışı, gelecekteki bir ana karşılık gelen bir t deǧeri için baǧıntıdan kestirilebilir. İlk koşulların çok az farklı bir kümesi için sadece baǧıntı bu yeni ilk koşullar için tekrar hesaplanır. Baǧıntı tahminen parametrelere ve ilk koşullara baǧlılıǧında sürekli olduǧundan bu parametre ve ilk koşullardaki küçük deǧişimler X(t) de de küçük deǧişimlere yol açacaktır. O halde, ilk koşullarda küçük deǧişimler yapıldıǧında kaotik bir sistem için ortaya çıkan X(t) deki büyük deǧişimler kapalı formda bir çözüm ile temsil edilemez. Kaotik bir sistemde, gelecekteki bir davranışın saptanması için denklemler adım adım itere edilmeli. Yani aslen, ne olacaǧının bulunması için deneyin gerçekleşmesinin saǧlanması gerekmektedir. Yakın yörüngelerin ıraksaması, ilk koşulların belirlenmesindeki herhangi bir küçük hatanın, denklemlerin integre edilir iken büyümesi demektir ve bu olgu kelebek etkisi 29 olarak anılır. Böylece, ilk koşullardaki küçük bir deǧişim, sistemin büyük ölçüde farklı bir uzun dönem davranışına götürür ve uygulamada bu uzun dönem davranışı ayrıntılı olarak kestirilemez. Determinizm ve karşıtı özgür irade 30 sorunsalı, felsefede uzun zamandır süregelen bir sorunsaldır. Newtonyan mekanik insanoǧluna deterministik, saat gibi işleyen bir evren portresi sunar görünümdedir. Bu evrenin içinde bütün gelecek, onu oluşturan nesnelerin kuvvet yasaları ve ilk koşullarından belirlenir. Bu bakış açısına 29 Butterfly effect. 30 Free will.

175 göre, bütün aksiyomlar tamamen belirlenmiştir ve serbest irade yoktur. Bu deterministik bakışı 1812 de P. S. Laplace çok iyi resmetmiştir: 170 Belli bir anda doǧada etkiyen bütün kuvvetleri ve evreni oluşturan bütün nesnelerin konumlarını bilen bir Zeka. 31 Bu Zeka için hiçbir şey belirsiz deǧildir. Geçmiş ve gelecek onun için aşikardır. Laplace ın görüşüne göre, yalıtılmış bir sistemin ilk durumu, sistemin sonraki davranışının doǧduǧu sonuçtur. Örneǧin, diferansiyel denklemlerle ifade edilen fiziksel yasalar, sebep ve onun etkileri arasındaki ilintiyi saǧlar. Fiziksel yasaların varlıǧı, geçmişve gelecek arasındaki deterministik bir ilinti saǧlar. Şans ve özgür iradeye yer yoktur! Oysa görüldüǧü gibi, doǧrusal olmayan sistemler ve özel olarak kaotik sistemler Laplace ın Zeka sının hesaplamasını olanaksız kılar. Bu Zeka ya sunulan ilk koşulların belirlenmesindeki en küçük duyarsızlık bile kaotik bir sistemin gelecekteki davranışı için kestirimleri olanaksız hale getirir. Yani, Tanrı dahi gelecekte ne olacaǧını görmek için bu kaotik sistemlerin evrimini beklemelidir. 3.2 Kaosun Evrenselliǧi (?)(?)(?) Giriş Şu aşamada doǧrusal olmayan sistemlerin hem kaosa yaklaşma yolunda hem de kaotik davranışlarında birçok evrensel niceliksel özellik gösterdikleri ve buna 31 Intelligence.

176 171 ek olarak birçok doǧrusal olmayan sistemde ortak olan bazı niteliksel özelliklerin varlıǧı bilinmektedir. Şimdi bu bilgiler dahilinde niceliksel evrensel özelliklerin bazılarına kısa bir giriş verilecektir. Söz konusu evrensel özellikler çok önemlidir. Her doǧrusal olmayan sistem, kendi yoluna göre kendi davranışını gösterseydi, o zaman doǧrusal olmayan sistemlerin işlemesi uygulamalı fen olarak kalarak, uygulamalar için önem arz ederdi, fakat yeni genel ilkeler vermezdi. Sonuç olarak, temel bilimlerde gelişmelere yol açan bu genel ilkelerdir. Herkesi şaşırtan şey, doǧrusal olmayan sistemlerin davranışında keşfedilen çok sayıdaki ortak özelliktir. Bu özellikler, periyodik davranışı kaotik davranışa baǧlayan yarılmalar dizisini de içerir. Bu yarılmaların tamamen beklenmeyen özellikleri incelenen sistemin fiziksel, kimyasal ya da biyolojik ayrıntılarından büyük ölçüde baǧımsız görünür. Bu evrensellik, doǧrusal olmayan dinamiǧi gerçek bir disiplinlerarası çalışma alanı kılmıştır Feigenbaum Sayıları Şekil 3.7: Lojistik harita için yarılma diyagramının bir kısmı. Popülasyon modelinin belli koşullar altında kaosa doǧru periyot çiftlenim yolu

177 172 Şekil 3.8: X n+1 = B sin(πx n ) şeklinde bir haritanın yarılma diyagramı. izlediǧi bilinmektedir. Elbette, sistemin periyodikten kaotik davranışa geçmesi için periyot çiftlenimi yolunun yanısıra başka yollar da mevcuttur. Ancak bu evrensel niceliksel özelliklerin ilki, M. Feigenbaum tarafından lojistik haritada periyot çiftlenimi çalışmalarında keşfedilmiştir.(?) (?) (?) Kaosun altında yatan birtakım evrenselliklerin olabileceǧi hakkında ilk ipucu, itere edilmiş harita olarak kullanıldıǧında birçok farklı fonksiyonun yarılma diyagramında aynı yakınsamaya götürdüǧü gözlemidir. 32 Feigenbaum un keşfinin anlaşılması için şekil ve şekil e bakılmalıdır. İlk şekilde, X n+1 = AX n (1 X n ) (3.2.1) lojistik harita için yarılma diyagramının bir kısmı, ikincisinde ise, X n+1 = B sin(πx n ) (3.2.2) şeklindeki sinüs fonksiyonunu kullanan bir haritanın yarılma diyagramı verilmiştir. 32 Yani bir dizi periyot çiftlenimi ile periyodik davranıştan kaotik davranışa gidişin.

178 173 İki durumda da kaosa doǧru periyot çiftlenimi yolu görülür. İki dizinin ıraksama hızının iki farklı harita için aynı olduǧunu ilk kez M. Feigenbaum keşfetmiştir. Böyle bir durumda ilk yapılacak şey, geometrik bir yakınsama oranı aramaktır. Eǧer yakınsama geometrik ise, ardışık periyot çiftlenimlerinin ortaya çıktıǧı parametre deǧerlerinin farklarının oranı bütün yarılmalar için aynı olmalıdır. Hesap şu şekilde yapılır: A 1, periyot-1 den periyot-2 ye geçiş noktası; A 2, periyot- 2 den periyot-4 e geçiş noktası vb... olsun. Genel olarak, periyot-2 n periyodunun doǧduǧu noktanın parametre deǧeri A n ile gösterilir. Böylece, oranıincelenir. δ n = A n A n 1 A n+1 A n (3.2.3) M. Feigenbaum, bu oranın bütün n deǧerleri için yaklaşık olarak aynı olduǧunu ayrıca daha önemli ve şaşırtıcı olarak, büyük n deǧerleri için bu oranın her iki harita fonksiyonu için aynısayıya yaklaştıǧını bulmuştur. Bu sayıgünümüzde onu keşfeden kişiye atfen Feigenbaum δ sayısıolarak anılır: δ = lim n δ n = (3.2.4) Bu sayıfizikteki evrensel sabitlerden biri olarak yerini almıştır. Elbette, hemen hemen özdeş iki oranı görmek bu sayıların evrenselliǧinin ispatı deǧildir. Daha sonra M. Feigenbaum, maksimum deǧeri civarında parabolik bir şekle sahip her itere edilmişharita fonksiyonunun aynı yakınsama oranına sahip olacaǧını göstermeyi başardı. δ nın evrenselliǧini açıklamakta M. Feigenbaum un geliştirdiǧi kuram, aslında oranların hesabında kullanılan parametre deǧerlerinin biraz farklıbir tanımdan yola çıkılarak oluşturulan bir algoritmadır. Bir yarılmanın meydana geldiǧi parametre deǧeri yerine, harita fonksiyonun maksimum noktasının yatay eksendeki izdüşüm deǧerinin belli bir periyodiklik için yörüngenin bir parçası olduǧu parametre

179 174 Tablo 3.4: Lojistik harita ve sinüs harita için yarılma ve süperçevrim deǧerleri. n A n A S n Bn S deǧerleri seçilmiştir. Bu yörüngeler süperçevrim 33 olarak isimlendirilir. O halde, A s n deǧeri X max ın periyot-2 yörüngesinin bir parçası olduǧu A deǧeridir. Her iki tanımında yüksek dereceli yarılmalar limitinde aynı deǧeri vermesi geometrik olarak makuldur. Sayısal hesaplamalar için süperçevrim tanımı daha kolaydır. Bazı süperçevrim deǧerleri tablo (3.4) te verilmiştir Kestirimde δ nın Kullanımı Deneylerden bulunan ile M. Feigenbaum tarafından matematiksel bir modelden elde edilen δ deǧerleri arasındaki sayısal uyum, altta yatan bir birliǧi işaret eder. Daha gerçekçi olarak, δ gibi evrensel bir sayının varlıǧı, sistemi tanımlayan denklemler çözülmese bile, doǧrusal olmayan bir sistemin davranışı hakkında nicel kestirimler yapılabilmesine olanak tanır. Daha önemlisi, bu durum sistemin temel denklemlerinin ne olduǧu bilinmese bile doǧrudur. Örneǧin, belli bir sistemin bir A 1 parametre deǧerinde periyot-1 den periyot-2 ye ve bir A 2 deǧerinde periyot-2 den periyot-4 e periyot çiftlenim yarılmasına uǧradıǧı gözleniyorsa, δ kullanılarak A 3 deǧeri tahmin edilebilir: A 3 = A 2 A 1 δ + A 2 (3.2.5) 33 Supercycle.

180 175 δ ayrıca periyot çiftlenim dizisinin yakınsadıǧı ve kaosun başladıǧı parametre deǧerinin tahmin edilmesinde kullanılabilir. Bunun için önce A 4 için yukarıdakine benzer bir ifade yazılmalı: A 4 = A 3 A 2 δ + A 3 (3.2.6) Denklem (3.2.5), denklem (3.2.6) de yerine konularak, ( 1 A 4 = (A 2 A 1 ) δ + 1 ) + A δ 2 2 (3.2.7) elde edilir. A 5, A 6... deǧerlerini hesaplamak için bu işleme devam edilerek. 1/δ nın kuvvetlerini içeren daha fazla terim elde edilir. Bu geometrik bir seridir ve bu seri toplanarak, elde edilir. 1 A = (A 2 A 1 ) δ 1 + A 2 (3.2.8) Yani, bir sistemdeki ilk iki periyot çiftlenimi gözlendikten sonra, kaosun ortaya çıkması gereken parametre deǧeri kestirilebilir. kestirimin kesin olması beklenemez çünkü: Öte yandan, bu Bu kestirim deneysel olarak belirlenmiş A1 ve A 2 ye dayanıyor. Bütün yarılma oranlarının aynı δ sayısı ile belirlendiǧi varsayıldı. Yine de bu kestirim, kaosun başladıǧı bölgeye makul ölçülerde yakın bir sonuç verir. Tablo (3.4) teki deǧerler kullanılarak lojistik harita için kaos geçiş eşiǧi A = gibi yarılma deǧerlerinden ya da A = süperçev rim deǧerlerinden bulunur. Esas deǧer A = dur. Tam bir uyum olmadıǧı görülmektedir. Fakat yine de, sistemin dinamiǧiyle ilgili hiçbir ayrıntılı hesabın yapılmadıǧı düşünülürse uyum şaşırtıcı biçimde iyidir.

181 176 Şekil 3.9: Feigenbaum büyüklük oranını veren şekil Feigenbaum Büyüklük Ölçeklenmesi Lojistik harita gibi basit harita fonksiyonlarının sayısal araştırmasının bir parçası olarak M. Feigenbaum, her ardışık periyot çiftlenim yarılmasının, daha fazla yarılma dallarıyla, önceki yarılmanın daha küçük bir kopyası 34 olduǧunu farketmiştir ve bu gözlem, periyot çiftlenim dizisinde evrensel bir büyüklük ölçeklenmesi olabileceǧini göstermiştir. Şekil büyüklük oranının tanımınıverir. Buna Feigenbaum α denir: d n α = lim = (3.2.9) n d n+1 Burada d n periyot-2 n+1 e girmeden önce periyot-2 n in yarılma deseninin büyüklüǧüdür. Oran, yarılma deseninin karşılık gelen parçaları için d deǧerlerini içerir. Örneǧin, periyot-4 parçalarının en büyüǧünün büyüklüǧü, en büyük periyot-8 parçasının 34 Replica.

182 177 büyüklüǧü ile kıyaslanır. Esasen M. Feigenbaum, α nın belirlenmesinde d n nin biraz farklı bir tanımını kullanmıştır. δ nın tanımında olduǧu gibi, d deǧerleri, X max noktası yörüngenin bir parçası olduǧunda, yarılma diyagramındaki mesafelere karşılık gelir. Şekil 3.10: Feigenbaum α nın hesaplanmasında kullanılan ilgili uzaklıklar. α sabitinin hesaplanması için, şekil (3.10) da kullanılan ilgili uzaklıklardan yola çıkılarak ˆX 0 = X max ile 2 k süperçevrimi { ˆX 0, ˆX 1, ˆX 2,..., ˆX 2 k 1} ve özel olarak ˆX m ve onun ikizi ˆXm+2 k 1 noktaları arasındaki d k,m uzaklıkları ele alınsın: d k,m = ˆX m+2 k 1 ˆX m d k,m = f (m+2k 1 ) A k (X max ) f (m) A k (X max ) α k = d k,0 d k+1,0

183 178 şeklinde bulunacaǧı üzere, α = lim n α k (3.2.10) olacaktır Kendine Benzerlik Şekil 3.11: Yarılma diyagramının bir bölümü. İki Feigenbaum sayısı, periyot çiftlenim dizisi hakkında çok önemli birşey anlatır: Yarılma diyagramının farklı parçaları, diǧer parçaların daha küçük kopyalarıdır. Uygun büyültmeler altında bu kopya eden davranışa sahip geometrik bir yapının kendine benzer 35 olduǧu söylenir. Her altparça, uygun biçimde büyütüldüǧünde, daha büyük bir parçaya benzerdir. Bu kendine benzerlik δ ve α nın evrenselliǧi kuramında anahtar rol oynar. 35 Self similar.

184 179 Şekil 3.12: Bir önceki şekilde belirtilen bölgenin büyültülmüş olarak yarılma diyagramının daha küçük ölçekteki bir bölümü. Kendine benzerlik neden çok önemlidir? Temel fikir şudur: Eǧer geometrik bir yapı kendine benzerlik gösteriyorsa, bu yapı doǧal 36 büyüklük ölçeǧine sahip deǧildir. Yani bu yapının bir büyültme seviyesinde, bir altbölümüne bakılacak olursa, başka bir büyültme seviyesindeki herhangibir başka altbölüme benzediǧi görülür. Bir altbölüme bakılarak hangi uzunluk ölçeǧinin görüldüǧünün saptanma olanaǧı yoktur. Bu kayda deǧer özellik, geometrik yapının birçok özelliklerinin modelin ayrıntılarından baǧımsız olması gerektiǧi anlamına gelir. Kendine benzerlik olgusu şekil ve şekil de görülmektedir. 36 Inherent.

185 Diǧer Evrensel Özellikler Feigenbaum sayıları hiçbir şekilde doǧrusal olmayan sistemlerde keşfedilmiş evrensellik sahasını etraflıca ortaya koymaz. Bundan başka diǧer evrensellik kestirimleri de mevcuttur. Öte yandan, tedbirli bir araştırmacı sormalıdır: Bu niceliksel özellikler bütün doǧrusal olmayan sistemler için geçerli midir? Yanıt şüphesiz hayır olacaktır. Ancak, Feigenbaum sayılarının ve onların çeşitli genelleştirmeleri, iyi niceliksel tanımlamalar saǧladıǧı doǧrusal olmayan sistemlerin sınıfları olduǧu anlaşılır. 3.3 Düşük Boyutlu Dinamik Sistemler z-lojistik Harita Ailesi Daha önce bahsedilen lojistik haritanın genelleştirilmiş biçimi kapalı formda, X n+1 = f(x n ) (3.3.1) ve bu eşitlik z gibi bir parametre ile açık olarak, X n+1 = 1 A X n z (3.3.2) şeklinde olacaktır. Burada 1 X 1 ve 0 < A 2 aralıklarında ve z > 1 olacaktır. Daha önceleri görüldüǧü gibi bu harita fonksiyonuna ait grafik z nin çeşitli deǧerlerine göre konkavlıǧı deǧişen bilindik bir formda olacaktır ve şekil te görülmektedir. Yalnızca harita fonksiyonun formu biraz farklıdır. Şöyle ki; önceki formda z parametreleri bir aile tanımlanamamaktadır. z nin deǧişimiyle haritanın

186 181 Şekil 3.13: Farklı birkaç z deǧeri için z-lojistik haritalar. metrik özellikleri ve dolayısıyla Feigenbaum sayıları deǧişmektedir. Bunun sonucunda farklı z deǧerlerine göre haritalar farklı evrensellik sınıflarına denk düşer. Ancak topolojileri aynıdır ve hepsinin yarılma diyagramları aynı yapıdadır. Çeşitli kaynaklarda karşılaşılan farklı formdaki bütün lojistik haritalar izomorfiktir. Aslına bakılırsa z = 2 özel durumu beylik lojistik harita olmaktadır. Bu özel durumda 1 X 1 ve 0 < A 2 aralıklarında olacaktır. Yarılma diyagramı ve Lyapunov üsteline bakılır ise, lojistik harita için, f(x) = AX(1 X) ve f (X) = A(1 2X) şeklindedir. Bu hesap denklem (3.1.12) kullanılarak nümerik olarak yapılmalıdır. Bu durumda, λ = lim N 1 N n=0 ln A(1 2X n ) (3.3.3)

187 182 olur. X = 0.5 te, 37 logaritma olur. Bu noktadaki tekillikler ortadan kaldırılmaya çalışılırken çifte hassasiyet 38 kullanılmalıdır. X = 0.5 civarındaki deǧerler sonucu çarpıtacaktır. Yerel Lyapunov üsteli X = 0 ve X = 1 de en fazla gerilmeye uǧrayacaktır. ln A ve yerel Lyapunov üsteli iken X = 0.5 te sıkıştırılmış olacaktır. Bunun yanısıra denklem (3.3.3) ortalama, her A deǧeri için yakınsaktır. Şekil 3.14: A = 4 için N artarken Lyapunov üstelinin yakınsaması. Şekil te A = 4 için N artarken Lyapunov üstelinin yakınsaması açıkça görülmektedir. N = 10 8 iterasyon deǧerinden sonra, artık yedi basamak anlamlı dijit sayısıolarak karşımıza çıkar. Şekil 3.3.1, A nın her deǧeri için bir milyon iterasyondaki deǧişimi göstermektedir. Üstelin pozitif olduǧu durumda, şekil daki yarılma diyagramı kaosu belirtir. Fakat sonlu miktarda şekildeki periyodik pencereler olabilir. Bu kaosun açık bir ölçütü deǧildir. Bu ölçüt için özenli bir ispat M. V. Jakobson (1981) tarafından yapılmıştır.(?) 37 Parabolün piki. 38 Double presicion.

188 183 Şekil 3.15: A nın her deǧeri için bir milyon iterasyondaki deǧişimi. Tablo 3.5: Periyot-6 ya kadar olan süperkararlı yörüngemsiler. Periyot Yaklaşık A deǧeri (kesin deǧer) = , , , , , , ,

189 Şekil 3.16: Periyodik pencereler. 184

190 185 Çözüm karasızlıǧın eşiǧinde iken, üstel, her yarılma noktasıiçin 0 olacaktır. Her 0 arasında Lyapunov üstelinin olduǧu A deǧerleri vardır. f = 0 iken X = 0.5 te, bu süperkararlı 39 süperçevrimler periyodik yörüngemsilere dönüşürler ve çözüm yaklaştıkça başlangıç koşullarıda hızlıca çekim havzasına doǧru çekilirler. Dinamiklerin herşeyden önce kaotik olduǧu durumda, 3.57 < A < 4 aralıǧında bu noktaların sayısı çokludur. Bu süperkararlıyörüngemsiler periyot-6 ya kadar tablo (3.5) te görülmektedir. Bu yörüngemsiler Feigenbaum sayısının hesabında kullanılır.(?) Her bir kararlı çevrimin f = 1 iken doǧum ve f = 1 iken ölümleri arasında yarıyolda uzanırlar. A = 4 için, Lyapunov üsteli lojistik harita için analitik olarak olasılık daǧılım fonksiyonundan hesaplanabilir: 1 1 λ = P (X) ln f (X) dx = 1 π 0 0 ln 4(1 2X) dx (3.3.4) 1/2 [X(1 X)] Bu demek deǧildir ki, yörünge boyunca ortalama ile uzaya doǧru aǧırlıklı ortalama aynı sonucu verir. Fakat ispat topolojik geçişlilik ile mümkündür. X = sin 2 (πy/2) dönüşümü yapılır ise; λ = 1 ln 4 cos(πy ) dy = ln 2 (3.3.5) 0 olur. Bu sonuçikili kayma harita ve A = 2 için çadır harita ile aynısonucu verir. Şekil ye bakılır ise yarılma diyagramı ile Lyapunov üsteli ölçekli biçimde alt alta koyulmuştur. Lyapunov üstelinin pozitif ya da negatif deǧerler aldıǧı durumlarda yarılma diyagramında kaotik ve periyodik durumlara karşılık geldiǧi görülmektedir. Ancak, açık olarak kaotik duruma ilk geçildiǧi sırada Lyapunov üsteli de ilk kez pozitif deǧer almaktadır. Daha sonra kısa süreli periyodik du- 39 Superstable.

191 Şekil 3.17: Yarılma diyagramı ve Lyapunov üstelinin ölçekli grafiǧinde kaos geçiş eşiǧi. 186

192 187 rumlara geçişler gözlenir. İşte bu açıkça kaotik duruma ilk kez geçildiǧi kritik A deǧeri A c olarak gösterilir ve bu nokta kaos geçiş eşiǧi olarak bilinir. Deǧeri, A c = şeklindedir Diǧer Çevrimler Şekil 3.18: Yarılma diyagramında kendine benzerlik olgusu. Kendine benzerlik olgusu görsel olarak yarılma diyagramında kolayca saptanabilir. Şöyle ki, şekil e bakılacak olursa lojistik harita için bayaǧı bir yarılma diyagramı görülmektedir. Ancak verilerden elde edilecek olan yarılma diyagramı yüksek çözünürlükte kaydedilip herhangibir periyodik pencere uygun biçimde büyültülür ise sözkonusu periyodik pencerelerin içinde de küçük yarılmalar göze çarpar. Hatta bu küçük yarılamaların beraberinde kaosa geçilen bir kritik nokta yani bir başka bir kaos geçiş eşiǧi bulunur. Şekilde görülen ilgili periyodik pencere için bu kritik A deǧeri A c = dir.

193 188 Daha önceleri şu argümanlar belirtilmişti: Yarılma diyagramının farklı parçaları, diǧer parçaların daha küçük kopyalarıdır. Uygun büyültmeler altında bu kopya eden davranışa sahip geometrik bir yapının kendine benzer olduǧu söylenir. Her altparça, uygun biçimde büyütüldüǧünde, daha büyük bir parçaya benzer olduǧu görülecektir.dolayısıyla burada, lojistik harita için kendine benzerlik açıkça görülmektedir İlk Koşullara Kuvvetli Baǧlılık Önceleri sözkonusu ilk koşullara baǧlılıǧın önemi ve kendisi üzerinde durulmuştu. Şu aşamada bu olgunun daha nicel olarak incelenmesi için anlaşılırlık açısından yine lojistik harita ele alınacaktır. A = 2 deǧeri için X 0 başlangıç koşulundaki çok çok küçük bir deǧişimin ilerleyen iterasyonlarda fonksiyonun evriminde ne denli etkili olduǧuna bakılmak istenmektedir. Bu irdeleme için şekil a bakılmalıdır. X n nin n ye karşı deǧişimi X 0 = 0.4 ve X 0 = gibi kadar birbirinden farklı iki başlangıç koşulu için çakışık biçimde görülmektedir. Görüldüǧü üzere ilk beşn deǧeri için fonksiyon gözle görülemeyecek kadar birbirine yakın veriler basmıştır. Daha sonra takip edilecek olursa altıncıveriden başlayan gözle görülür küçük sapmalar mevcuttur. Ancak ilerleyen iterasyonlarda artık bu iki davranışın birbiriyle hiçbir benzer yanı kalmamıştır ve kesitirelemez niteliktedirler. Bu gözlemin ardından akla şu soru gelmektedir: İlk koşullara baǧlılık niceliksel olarak saptanabilir mi? Bu soruya yanıt olarak duyarlılık fonksiyonu tanımıortaya atılmıştır ve bu saptamaya olanak tanır. Duyarlılık fonksiyonu şu şekildedir: ξ(t) = lim X(0) 0 X(t) X(0) (3.3.6) Aslında bu limit durumda zaten şu şekilde, ξ(t) = exp λt (3.3.7)

194 189 Şekil 3.19: İlk koşullardaki lik deǧişimin etkisi.

195 190 daha önceleri incelenen Lyapunov üstelini içinde barındırır ve doǧrudan onunla ilintilidir. Haritalar için Lyapunov üstelinin pozitif olduǧu bölge kaotik, negatif olduǧu bölge de periyodik idi. Şekil 3.20: A c kritik deǧerinin hemen altında ve üstünde duyarlılık. Peki bu duyarlılık, periyodik bölgede yani kaos geçiş eşiǧi altında, kaos geçiş eşiǧinin kendisinde ve kaotik bölgede yani kaos geçiş eşiǧi üstünde nasıldır? Bir başka deyişle bu esas iki bölgede ve A c deǧerinde ilk koşullara duyarlılık mevcut mudur? Bu irdeleme için kritik A deǧerinin hemen altında A = A c 10 3, ve hemen üstünde A = A c duyarlılık fonksiyonun iterasyona göre deǧişimine bakılmalıdır. Zira bu bölgeler bu başlık altında incelemeye dahildir. Tam olarak kaos geçişeşiǧinin kendisindeki duyarlılık daha sonra incelenecektir. Şekil ye bakılacak olursa, logaritmik olarak ln(n) e karşıln(ξ) görülmektedir. Açıkça, λ < 0 şeklinde periyodik bölgede kuvvetli duyarsızlık, λ > 0 şeklinde ise kaotik bölgede kuvvetli duyarlılık hüküm sürmektedir. Yani nitel olarak grafiklerde başlangıçta gözlenen iki nokta sırasıyla periyodik ve kaotik bölgede, üstel olarak birbire doǧru yaklaşmakta

196 191 ya da üstel olarak birbirinden uzaklaşmaktadır. Buradan, nicel olarak hassasiyetle deǧişen ilk koşullara göre verilerdeki sapmanın kaotik bölgede ne denli etkili olduǧu görülmektedir. Bu da zaten, önceleri bahsi geçen kelebek etkisinin nicel görüngüsü olarak karşımıza çıkar Entropi Artış Hızı Kaotik bir sistemde entropiden bahsedilebilmesi için, sistemin zamana göre evrilmesi gerekir. Dolayısıyla iterasyonun n gibi temsili bir adım parametresi yerine kesikli zaman aralıkları şeklinde t olarak alınması daha isabetli olacaktır. Şekil 3.21: Entropi artış hızı için ilgili algoritma. Lojistik harita için bir boyutlu [ 1, 1] aralıǧında bir faz uzayı mevcuttur. Bu faz uzayı ω tane küçük kutuya bölünsün. Daha sonra bu kutulardan birinin

197 192 içinde N tane ilk koşuldan oluşan bir küme ele alınsın. t = 0 anında bu koşullar altında herşey biliniyor ve entropi sıfırdan başlıyor. Daha sonra harita fonksiyonu işletilsin ve t = 1 anında N bu faz uzayında rastgele biçimde daǧılsın. Bu işlem birçok iterasyon için yapılsın. Daha sonra t nin fonksiyonu olarak her bir kutuda bulunan ilk koşullar sayılsın. Bu durumda basit olasılık hesabına göre, p i = N i (t)/n; (i = 1, 2,..., ω) (3.3.8) biçiminde bir olasılık kümesi elde edilir. Dolayısıyla bu şekilde bir olasılık kümesi mevcut ise arzu edildiǧi biçimde istenen her tür entropi hesaplanabilir. Yani özetle sistemin entropisi başlangıçta sıfır olacak ve zamanla artmaya başlayacaktır. Şekil 3.22: Farklı bölme sayısı deǧerleri için entropi artışları. Şekil de böyle bir sistemde entropi artış hızıgörülmektedir.a = 2 ve z = 2 durumu için yani bayaǧı lojistik harita üç tane entropi karlılaştırmalı olarak zamana karşılık çizilmiştir. Grafikteki saturasyon bölgesi işlemler nümerik olarak

198 193 yapıldıǧı için vardır. ω bölmeleri sıfıra doǧru küçültür iken, bir başka deyişle sonsuz tane bölme alınır ise saturasyon sonsuzda olacaktır yani ortadan kalkacaktır. Elbette bu saturasyon nümerik hesap yapılıyorsa herzaman olacaktır ve ölçülürse ln(ω) çıkacaktır. Sonuçolarak bu sistemden kaynaklanan bir olgu deǧildir ve bu saturasyon ile ilgilenilmemektedir. Burada ilginç olan bir entropinin sıfıra gitmesi, birinin ıraksaması 40 ve bir tanesininde yakınsamasıdır. 41 Bu baǧlamda bunların hangi entropiler oldukları bilinmektedir. Burada ideal durum iterasyon t, bölüm sayısı ω ve alınan ilk koşul N nin sonsuza gittiǧi durumdur. Bu duruma uyan entropi Kolmogorov entropisidir ve şu şekildedir: entropi K = lim lim lim t ω N t (3.3.9) Dolayısıyla işlemlerde bu ideal duruma yaklaşılmaya çalışılır. Nümerik hesapta t iterasyonu uygun biçimde çok uzun alınabilir. Diǧer iki deǧer genellikle, ω = 10 6 ve ilk koşullar genellikle bölme sayısının on katıkadar N = 10 7 alınır. K entropisinin bir {t, ω, N} kümesinde ıraksadıǧı, bir diǧerinde yakınsadıǧı ve bir diǧerinde de sıfıra gittini tekrar belirtmekte fayda vardır. Şekil te görüldüǧü gibi, ideal olarak ω = 10 5 alınan entropinin eǧimi, K = λ = 0.69 dur ve A = 2 için ln(2) = 0.69 olduǧu da bilinmektedir. Dolayısıyla Lyapunov üsteli bu hesap için Kolmogorov entropisi ile eşit çıkmaktadır. Daha önceleri bahsedilen Pesin özdeşliǧi, K = λ; λ > 0 K = 0; λ 0 (3.3.10) şeklindedir. Bu özdeşlik Kolmogorov entropisi ile Lyapunov üstelinin bir şekilde ilintili olduǧunu ifade eder. Başka şekilde de ifade edilebilir ancak incelenen sistem 40 Sonsuza gitmesi. 41 Sonlu bir deǧere gitmesi.

199 194 Şekil 3.23: İdeal bölme sayısına karşılık entropi artışı.

200 tek boyutta olduǧu için, Kolmogorov entropisi, Lyapunov üsteli sıfırdan büyük ise bu üstelin kendisine eşittir, diǧer durumlarda sıfırdır. 195 Şekil 3.24: Kaotik bölgede olmayan bir sistem için entropiye iterasyon ile her bölmeden eşit oranda katkı gelmeme durumu. Eǧer sistem kaotik bölgede deǧilse entropiye iterasyon ile her bölmeden eşit oranda katkı gelmemektedir. Kimi ilk koşullar birçok iterasyon sonunda bile halen aynı bölmede kalabilmektedirler. Çünkü yörüngelerin birbirinden uzaklaşması A = 2 de yani kaotik bölgede olduǧu gibi üstel deǧil ve bu durumda ilk koşullar faz uzayında yeterince hızlı daǧılmamaktadırlar.(?) Bu olgu şekil te görülmektedir. Burada yatay eksende ω sıfır ile altmış bin arasındadır ancak burada son yarısımevcuttur. Düşey eksende de dolu bölmelerin sayısı verilmiştir. Görüldüǧü gibi bu dolu bölmelerin sayısı bazıω deǧerlerinde çok fazla bazılarında da 10 2 nin de altındadır. Örneǧin ω yaklaşık kırkbeş bin civarında alınırsa entropiye hiç katkısı olmayacaktır. Dolayısıyla rastgele elli tane iterasyon yaptıǧında bu uygunsuz bölmelerde ise entropi artışı iyi görülmeyecektir. Bu yüzden doluluǧu

201 uygun bölmelerin seçilmesinde fayda vardır ki entropideki artış saǧlıklı biçimde gözlenebilsin. 196 Bütün bunlardan çıkan sonuç doǧru entropi fonksiyoneli, faz uzayının tipi ya da işgalinin geometrisi tarafından belirlenir. Doǧru entropi kaotik bölgede q = 1 durumundaki entropidir. Faz uzayının işgalinin geometrik yapısısistemin iki özelliǧine baǧlıdır: Sistemin uyduǧu mikroskobik dinamik Sistemin yerleştirildiǧi ilk koşullar Mikroskopik dinamik sistemin yaşamasına izin verilen yeri, ilk koşullar ise sistemin yaşamaya eǧilimli olduǧu yeri belirler. Kullanılacak entropi fonksiyonelini belirlemenin bir yolu yoktur. Kaotik bölgedeki bu tip sistemler için doǧru entropi fonksiyoneli Boltzmann-Gibbs entropisidir: ω S BG = k β p i ln p i (3.3.11) Eşolasılık durumu için (p i = 1/ω, i), Boltzmann-Gibbs entropisi: i=1 S BG = k β ln ω (3.3.12) Bu, J. C. Maxwell (1860), L. Boltzmann (1872) ve D. Gibbs in (1902) önceleri inceledikleri ergodik sistemler için doǧru entropi formudur ve aynı zamanda Boltzmann prensibi olarak bilinir. Ergodik sistemler, eşit olasılık ile izinli olan bütün mikroskopik durumları mikroskopik olarak ziyaret ederler. Başka bir deyişle, izinli olduǧu bölgenin her yerinde yaşamayı eşit oranda seven sistemlerdir. Aslen bu, Boltzmann ın moleküler kaos hipotezidir.

202 Durulma Dinamiǧi Şekil 3.25: Entropi artış hızı için ilgili algoritma. Lojistik harita için bir boyutlu [ 1, 1] aralıǧında mevcut olan faz uzayında yapılan işlemler bu kez küçük bir fark ile yapılacaktır. Şöyle ki: Yine bu faz uzayıω tane küçük kutuya bölünsün. Daha sonra bu kutulara daha önceki yapılandan farklı olarak rastgele biçimde N tane ilk koşul daǧıtılsın. t = 0 anında bu koşullar rastgele biçimde daǧılmıştır ancak [ 1, 1] aralıǧındaki bütün kutuları ideal olarak dolduracak sayıda başlangıç koşulu bulunmaktadır. Yani bu aralık t = 0 anında tümüyle doludur. Daha sonra harita fonksiyonu işletilsin ve t = 1 anında N bu faz uzayında tekrar rastgele biçimde daǧılsın. Bu işlem birçok iterasyon için yapılsın. Dolayısıyla ilk koşullar tarafından doldurulan hacmin zaman içerisinde nasıl deǧiştiǧine bakılmalıdır. Burada basitçe kaotik bölge için uygun entropi

203 198 artış hızı ve bu baǧlamda Kolmogorov entropisi: K = 1 t lim ω [S BG(t) S BG (0)] (3.3.13) Eşolasılık tanımı ile, topluluk tarafından doldurulan hacmin zaman evrimi: ω(t) = ω(0)e Kt (3.3.14) Uygun durulma dinamiǧine bakılacak parametre aslında bir tür hacim elemanıdır ve Ω ile temsil edilir. Bu, t anındaki doldurulmuş hacmin t = 0 anındaki doldurulmuş hacme oranı olarak tanımlanır ve bu oran üstel olarak gidecektir. Ω = ω(t) ω(0) = e t/τ (3.3.15) Kaotik bölgede bu hacimde herhangi bir büzülme olmayacaǧı için K = 0 ve, ω(t) ω(0) sabit şeklinde olacaktır. Çünkü kaotik bölgede bölmelerden giden ilk koşulların yerine her iterasyonda bir başka ilk koşul gelmektedir. Herhangi bir çekiciye doǧru yörüngeler çekilmemektedir. Bu hacimdeki sabit kalış şekil da görülmektedir Merkezsel Limit Kuramı Merkezsel Limit Kuramı olasılık kuramında çok önemli bir kavramdır ve aslen istatistik fiziǧin temelinde önemli rol oynar. Merkezsel Limit Kuramı ya da kısaca MLK temelde, baǧımsız ve özdeş olarak daǧılmış rastgele deǧişkenlerin, uygun bir çarpanla ölçeklendiǧinde, N limitinde Gaussyan bir daǧılım sergilediǧini söyler. Yani: Y = 1 N f(x i ) (3.3.16) N i=1

204 Şekil 3.26: Koşullar ile dolu bölmelerin zamanla deǧişimi. 199

205 200 Bu ifade N iken, ρ(y ) = ( 1 exp Y ) 2 2πσ 2 2σ 2 (3.3.17) şeklinde olacaktır. Burada X i rastgele deǧişken, f(x i ) uygun bir düzgün fonksiyon ve σ 2 varyanstır. Şekil 3.27: Rastgele karıştırma koşulu altında Y ye karşı ρ Y (Y ). Örnek olarak lojistik harita ele alınsın. A = 2 deǧeri için harita, f(x) = X n+1 = 1 2X 2 n olacaktır. Bu durumda, Y = 1 N (X i X ) (3.3.18) N i=1

206 Şekil 3.28: Farklı A deǧerleri için Gaussyan form. 201

207 202 olur ve halen kapalı olarak N iken, ρ(y ) = ( 1 exp Y ) 2 2πσ 2 2σ 2 (3.3.19) şeklindedir. A = 2 durumu için, baǧımsız ve özdeş olarak daǧıtılmış rastgele deǧişken koşulu yeter derecede kuvvetlice karıştırma 42 koşulu ile deǧiştirilirse, ve X = 0, σ 2 = 1/2 durumunda, ρ(y ) = 1 π exp ( Y 2) (3.3.20) şeklinde olacaktır. Denklem (3.3.20) ün Y ye karşı deǧişimi şekil de görülmektedir. Burada N = ve n i = dır. Benzer olarak denklem (3.3.17) in Y ye karşı deǧişimi ise yine aynı N, n i, farklı A ve farklı σ deǧerleri için şekil de görülmektedir.(?) İlk Koşullara Zayıf Baǧlılık İlk koşullara kuvvetli baǧlılık konusunda ele alınan lojistik harita üzerinden yola çıkılacaktır. Daha önceleri kaos geçiş eşiǧinin hemen altında ve hemen üstünde ilk koşullara baǧlılık olgusu irdelenmiştir. Burada ise kaos geçiş eşiǧinde A c deǧerinde bu irdeleme yapılacaktır. Bunun için denklem (3.3.6) ve denklem (3.3.7) de görülen duyarlılık fonksiyonuna bakılacak olursa, q üstel formda duyarlılık fonksiyonu şu şekildedir: ξ(t) = exp q λ q t (3.3.21) Buradan açıkça şu saptanabilir ki, sistemde λ = 0 ve λ q > 0 ise ilk koşullara zayıf duyarlılık, λ = 0 ve λ q < 0 ise ilk koşullara zayıf duyarsızlık mevcuttur. Şekil da da görüldüǧü üzere, bu olgu Lyapunov üstelinin sıfıra temas ettiǧi 42 Mixing.

208 203 eksende q indisli Lyapunov üsteli ile belirlenmektedir. Şekil 3.29: Lyapunov üstelinin 0 olduǧu noktalarda zayıf baǧlılık. İlk koşullara zayıf baǧlılık olgusu Tsallis ve ark. (1997), Costa ve ark. (1997) ve Baldovin ve ark. (2002) tarafından etraflıca irdelenmiştir.(?) (?) (?) Bu baǧlamda duyarlılık fonksiyonunun davranışına bakılacak olursa, ξ(t) = exp q λ q t = [1 + (1 q)λ q t] 1/(1 q) (3.3.22) fonksiyonuna ait şekil incelenmelidir. Burada A c = deǧeri için ξ, t ye karşı çizdirilmiştir. Burada eǧim 1/1 q şeklindedir ve dolayısıyla, q sen = (3.3.23) deǧerindedir. Sonuçta tipik olarak kaos geçiş eşiǧinde duyarlılık ölçütü, ξ = exp qsen (λ qsen t); (q sen 1) (3.3.24)

209 Şekil 3.30: Lyapunov üstelinin 0 olduǧu durumda duyarlılık fonksiyonu. 204

210 205 olacaktır. 3.4 Kaos Geçiş Eşiǧindeki Düşük Boyutlu Dinamik Sistemler Entropi Artış Hızı Daha önceleri yapılan simülasyon Lyapunov üstelinin sıfır olduǧu durum için yani kaos geçiş eşiǧinde tekrar işletilsin. İterasyon yine kesikli zaman aralıklarıdır ve lojistik harita bu durumda t alt indisli olacaktır. A = , N = ω = ve iterasyon sayısı t = alınarak çizilen üçentropi şekil deki gibidir. Şekil 3.31: Kaos geçiş eşiǧinde farklı q deǧerleri için entropi artışları. Bu aşamada ergodik olmayan sistemleri tanımlamakta fayda var. Ergodik olmayan sistemler, izinli olan bütün mikroskopik durumları dinamik olarak ziyaret etmez. Başka bir deyişle, izinli olduǧu bölgenin her yerinde yaşamayı eşit olarak

211 206 sevmeyen sistemlerdir. Dolayısıyla Boltzmann ın moleküler kaos hipotezi bu sistemlerde doǧrulanmaz. Kaos geçiş eşiǧi gibi standart Lyapunov üstelinin sıfır olduǧu kritik noktalarda doǧru entropi fonksiyoneli için önerilen form:(?)(?)(?) S q = k β 1 ω i=1 q 1 p q i ; (qɛr) (3.4.1) Bu ifade, Boltzmann-Gibbs entropisini q 1 için özel bir durumu kılar. Daha kapsamlıdır ve ekstensif olmayan entropi ya da Tsallis entropisi olarak anılır. Bu entropi ifadesi eşolasılık durumunda, S q = k β ω (1 q) 1 1 q = k β ln q ω (3.4.2) şeklinde verilir. Bu entropi genel olarak şu özelliǧinden ötürü ekstensif olmayan entropi olarak bilinir: S q (A + B) = S q (A) + S q (B) + (1 q)s q (A)S q (B) (3.4.3) Burada A ve B baǧımsızdır. Ancak q = 1 [1/γ] olmak üzere: if S q (A)ω = 2 N S BG = Nk β ln 2 S BG N if ω N γ S BG ln N S BG N if ω N γ S q = ln q ω N γ(1 q) S q N (3.4.4) Daha önce gösterilen entropi artış grafiǧi üçentropi için çizilmiştir. Bunlar q = 0.1, q = ve q = 0.5 deǧeri için çizilen S q entropileridir. Bunlar için Kolmogorov entropisi sırasıyla ıraksamakta, kaybolmakta ve sonlu bir deǧer almaktadırlar ve, q sen = (3.4.5)

212 Şekil 3.32: Continental Havayolları ABD seferleri. 207

213 208 deǧerini alır Durulma Dinamiǧi Şekil 3.33: Entropi artış hızı için ilgili algoritma. Daha önce yapılan simülasyon tekrar yapılacaktır. Yani, Lojistik harita için bir boyutlu [ 1, 1] aralıǧında faz uzayı ω tane küçük kutuya bölünür. Daha sonra bu kutulara N tane ilk koşul rastgele daǧıtılır. Ancak önceleri belirtildiǧi gibi bu ilk koşullar hiçbir boşkutu kalmayacak şekilde yeterince fazla sayıdadır. t = 0 anında bu koşullar altında herşey biliniyor ve entropi yine sıfırdan başlıyor. Devamında harita fonksiyonu işletilir ve t = 1 anında N bu faz uzayında rastgele biçimde daǧıtılır. Bu işlem birçok iterasyon için yapılır. Sonuç olarak kaos geçiş eşiǧi için uygun entropi artış hızı, K = 1 t lim ω [S q(t) S q (0)] (3.4.6) olacaktır. Burada Boltzmann-Gibbs entropisi yerine genelleştirilmiş entropi ve bunun içinde de ln ω yerine ln q ω kullanılmıştır. Eşolasılık tanımı ile, topluluk

214 209 tarafından doldurulan hacmin zaman evrimi, ω(t) = [ ω(0) 1 q + (1 q)k q t ] 1/(1 q) (3.4.7) şeklinde asimptotik olarak kuvvet yasasına uyan bir ifade elde edilir. Bunun için şekil e bakılacak olursa, t ye karşılık bölme başına ω(t) çizilmiştir ve açıkça bu kuvvet yasasına uyan büzülme görülmektedir.(?) Şekil 3.34: Koşullar ile dolu bölmelerin zamanla büzülmesi. Eǧer ilk koşullar yeterince fazla deǧilse bir süre sonra ω ya baǧlıolarak sature eder. Ancak ideal durumda; ki burada ideal durumdan kastedilen bölme sayısının sonsuz olmasıdır; bu sonsuza kadar gidecektir. Haliyle ilk koşullar arttırılırsa bu saturasyon azami ölçüde indirgenecektir. İlk koşullar yeterince fazla olmalıdır ki, başlangıçta faz uzayınıbir kapsama ve sonrasında büzülme gözlenebilsin. Buradaki her bir periyodik salınımın karşılık geldiǧi nokta şekil

215 3.4.2 te gösterilmiştir.(?) Buradan anlaşıldıǧı üzere, bu noktalar periyodik pencerelerin açıldıǧı noktaya karşılık gelmektedir. 210 Şekil 3.35: Periyodik salınımın karşılık geldiǧi periyodik pencereler. Büzülmeyi gösteren eǧrinin eǧimi, 1/(1 q rel ) = 0.73 tür ve buradan, durulma için q, q rel = 2.41 (3.4.8) bulunacaktır. Buradan da bu ilk koşulların q üstel olarak çekiciye doǧru gideceǧi görülür Merkezsel Limit Kuramı Daha önce bahsedilen MLK kapsamında lojistik harita kaos geçiş eşiǧinde incelenecek olursa, bilindiǧi gibi A c = noktasında inceleme yapılmalıdır.

216 211 ρ(y ) fonksiyonu β = 13 olmak üzere, ρ(y ) = [ 1 + β(q 1)Y 2] 1/(q 1) (3.4.9) olacaktır. Şekil 3.36: ρ(y/σ) deǧişimindeki açık Gaussyan daǧılım. Şekil de N = 2 15 ve n i = deǧerleri için yapılan deneye ait Y/σ ya karşılık ρ(y/σ) fonksiyonu görülmektedir. Burada da açıkça q = 1.75 deǧeri için q Gaussyan daǧılım görülmektedir.(?) Özet olarak y(0) = 1 başlangıç koşulu ile şu şekilde paradigmatik bir diferansiyel denklem gözönüne alınır ise, dy dx = ayq