Bölüm 9: Doğrusal momentum ve çarpışmalar

Transkript

1 Bölüm 9: Doğrusal momentum ve çarpışmalar v hızıyla hareket eden m kütleli bir parçacığın doğrusal momentumu kütle ve hızın çarpımına eşittir; p = mv Momentum vektörel bir niceliktir, yönü hız vektörü ile aynıdır ve boyutu ML/T (kg. m/s) dir. Parçaçık rastgele hareket ediyorsa, p üç bileşene (x,y ve z) bileşenlerine sahiptir. P x = mv x P y = mv y P z = mv z Newton un II. Yasasını kullanarak, bir parçacığın doğrusal momentumunu onu etki eden kuvvete bağlanabilir. Bir parçacığın doğrusal momentumunun değişme hızı (zamana göre türevi) parçacığa etki eden net kuvvete eşittir. F = dp = d(mv) = m dv = ma dt dt dt Bir parçaçık üzerine etkiyen net kuvvet sıfır olduğu zaman (yalıtılmış sistemler), momentumun zamana göre türevi de sıfır olur ve dolayısıyla doğrusal momentum sabit kalır (yani korunur).

2 İki-parçacıklı bir sistem için momentumun korunumu Yalıtılmış bir sistemde (dış etken bulunmaksızın), iki parçacık etkileştiğinde sistemin momentumu sabit kalır. Newton un III. Yasasına göre parçacıklar birbirine büyüklükçe eşit fakat zıt yönlü kuvvet uygularlar; F A = dp A = F F dt B = dp B dt F A + F B = F + F dp A dt = F + dp B dt = 0 sistem p = p A + p B d dt p A + p B = 0 sistemin toplam momentumu sabit Veya ; p 1i + p 2i = p 1f + p 2f sistem p ix = sistem p fx sistem p iy = sistem p fy sistem p iz = sistem p fz

3 Bir parçacık sistemi üzerine etkiyen net kuvvet sıfırsa ( sistem F = 0), toplam çizgisel momentum değişmez; sistem F = dp dt = 0 Herhangi bir t i anında ki çizgisel momentum = Herhangi bir t f anında ki çizgisel momentum Çizgisel momentumun korunumu önemli bir ilkedir ve çarpışma Problemlerinin çözümünde büyük kolaylık sağlar. Bir sistem üzerine etkiyen dış kuvvetler sıfırsa ( sistem F = 0), iç kuvvetler ne kadar büyük olursa olsun, çizgisel momentum her zaman korunur!!!

4 Alıştırma.. Bir nişancı 3 kg lık bir tüfeği geri tepmesine izin verecek şekilde tutuyor. Yatay doğrultuda nişan alarak 5 g lık mermiyi 300 m/s hızla ateşliyor, a) Tüfeğin geri tepme hızını, b) Merminin ve tüfeğin momentumunu, c) Merminin ve tüfeğin kinetik enerjisini bulunuz. CEVAP: a) P = mv 1 + MV 2 = 0 V 2 = mv 1 M = i 3 = 0.5 i m/s b) P mermi = mv 1 = i = 1.5 kg. m s P tüfek = MV 2 = i = 1.5 kg. m/s c) K mermi = 1 2 mv 1 2 = 1 2 (0.005)(300)2 = 226 J K tüfek = 1 2 MV 2 2 = 1 2 (3)(0.5)2 = J

5 İmpuls ve Momentum Bir parçacık üzerine zamanla değişen bir F kuvveti uygulanırsa, ortaya çıkan itme, parçacığın momentumunda ki değişime eşittir F = dp dt dp = Fdt Kuvvet belli bir zaman aralığında uygulanmış ise, momentum değişimini bulmak için bu ifadenin integrali alınır; Parçacığın momentumu; t i anında p i den t f anında p f ye değişirse; p = p f p i = ti t f Fdt Eşitliğin sağ tarafına belirli zaman aralığında uygulanan F kuvvetinin impulsu denir, ve parçacığın momentumundaki değişime eşittir. I = ti t f Fdt = p

6 Şekil a da verildiği üzere, impuls, kuvvet-zaman eğrisi altındaki alana eşit büyüklükte bir vektörel niceliktir. İmpuls, parçacığın kendi başına bir özelliği olmayıp, uygulanan dış kuvvetin, parçacığın momentumunu değiştirmesiyle ilgili bir niceliktir. Genel olarak kuvvet zamanla değişebildiğinden, ortalama F kuvveti tanımlamak gerekir, F = 1 t I = F t t i t s Fdt Ortalama kuvvet (Şekil b), Şekil a da tanımlanan gerçek kuvvet-zaman eğrisindeki gibi t zaman aralığında parçacığa aynı ivmeyi verecektir. Eğer parçacığa etkiyen kuvvetin sabit olması halinde ( F = F); I = F t

7 Alıştırma... SORU: 50 g kütleli bir golf topuna, golf sopası ile vurulmaktadır. Top üzerindeki kuvvet, sıfırdan, topun şeklinin bozulduğu andaki maksimum değere çıkar, ve daha sonra tekrar sıfıra düşmektedir. Topun 200 m gittiğini gözönüne alarak, çarpışmanın neden olduğu impuls nedir? CEVAP: Sopanın topa temas ettiği an A Sopanın topla teması kesilip, topun hareket ettiği an B Topun iniş anına C dersek; Eğik atıştan hatırlayacağını üzere; Topun gideceği maksimum menzil; R = v i 2 sin2θ i g R = x c = v B 2 sin2θ B g olur. Topun gideceği maksimum mesafe (menzil), θ B = 45 0 olduğu açıdır; 2θ B = 90 0 v B = x c g = (200 m)(9.80 m s2) = 44 m/s Top için v i = v A = 0 ve v B = v f olduğundan topa verilen impuls; I = p = mv B mv A = m s 0 = 2.2 kg. m/s

8 Alıştırma... Özel bir çarpışma deneyinde, 1500 kg kütleli bir otomobil, şekilde ki gibi duvara çarpar. Otomobilin ilk ve son hızları sırasıyla v i = 15i m/s ve v f = 2.6 i m/s. Çarpışma s sürerse, çarpışmayla ilgili impulsu ve otomobile uygulanan ortalama kuvveti bulunuz. CEVAP: Otomobilin ilk ve son momentumları; p i = mv i = 1500 kg p f = mv f = 1500 kg 15i m s 2.6i m s = 2.25 x10 4 i kg. m s = 0.39 x10 4 i kg. m/s Momentumda ki değişmeye sebep olan impuls; I = p = p f p i = x10 4 i kg. m s = 2.64 x10 4 i kg. m s Otomobile etkiyen ortalama kuvvet; F = p = 2.64 x104 i kg.m/s = 1.76 x 10 5 i N t s

9 Çarpışmalar ve kinetik enerji Enerjinin ve momentumum korunumu yasalarını kullanarak, çarpışan cisimlerin çarpışmadan önce ve sonraki hareketleri hakkında bilgi sahibi olunabilir. Kütleleri m 1 ve m 2, ilk hızları v 1i ve v 2i ve çarpışmadan sonraki hızları v 1f ve v 2f olan iki parçacığı düşünelim, Sistem izole yani cisimler üzerine etkiyen toplam net kuvvet sıfırsa ( sistem F = 0), çizgisel momentum korunur. Çarpışmalar, esnek ve esnek olmayan çarpışmalar olmak üzere iki kategoride toplamak mümkündür. Kinetik enerjide bir kayıp yoksa çarpışma esnek çarpışmadır (K i = K f ), (aynı zamanda momentum korunur) Kinetik enerjide bir kayıp varsa çarpışma esnek olmayan çarpışmadır (K i > K f ), (toplam momentum korunur) İki cisim çarpıştıktan sonra birbirine yapışıp birlikte hareket ediyorsa, cisimler tamamen esnek olmayan veya esnek olmayan tam çarpışma yapmıştır. Bu tür çarpışmalar esnek olmayan çarpışma türüdür ve kinetik enerjideki kayıp maksimumdur.

10 Bir boyutta tamamen esnek olmayan çarpışma Doğrusal bir yol boyunca v 1i ve v 2i ilk hızları ile hareket eden m 1 ve m 2 kütleli iki parçacığı ele alalım; (Bu durumda sadece momentum korunur) m 1 v 1i + m 2 v 2i = (m 1 + m 2 )v s v s = m 1v 1i +m 2 v 2i m 1 +m 2

11 Esnek çarpışmalar Bu durumda hem momentum hemde kinetik enerji birlikte korunur. p 1i + p 2i = p 1f + p 2f m 1 v 1i + m 2 v 2i = m 1 v 1f + m 2 v 2f 1 K i = K f 2 m 1v 1i m 2v 2i 2 = 1 2 m 1v 1f m 2v 2f 2 Enerjinin korunumu denklemi sadeleştirilirse; m 1 (v 2 1i v 2 1f ) = m 2 (v 2 2f v 2 2i ) m 1 (v 1i v 1f ) v 1i + v 1f = m 2 (v 2f v 2i ) v 2f + v 2i Momentumun korunumundan; m 1 v 1i v 1f = m 2 (v 2f v 2i ) Burdan; v 1i + v 1f = v 2f + v 2i Veya; v 1i v 2i = (v 1f v 2f ) (iki cismin çarpışma öncesi bağıl hızları, çarpışma sonrası bağıl hızlarının negatifine eşittir.)

12 Parçacıkların kütleleri ve ilk hızlarının bilinmesi halinde m 1 v 1i + m 2 v 2i = m 1 v 1f + m 2 v 2f v 1i + v 1f = v 2f + v 2i denklemlerinden cisimlerin ilk hızları cinsinden son hızları bulunabilir; v 1f = m 1 m 2 m 1 +m 2 v 1i + ( 2m 2 m 1 +m 2 )v 2i v 2f = 2m 1 m 1 +m 2 v 1i + ( m 2 m 1 m 1 +m 2 )v 2i

13 Özel durum olarak; eğer kütleler eşitse (m 1 = m 2 ) v 1f = v 2i v 1i = v 2f olur. Yani parçacıkların hızları değiş-tokuş olmuştur. Bilardo topu örneğinde olduğu gibi, çarpılan top çarpan topun hızı ile hareket eder. Eğer ikinci cisim başlangıçta durgun halde ise yani (v 2i = 0) v 1f = m 1 m 2 m 1 +m 2 v 1i v 2f = 2m 1 m 1 +m 2 v 1i olur. Eğer m 1 m 2 ise; v 1f v 1i v 2f 2v 1i olur. Eğer m 2 m 1 ise; v 1f v 1i v 2f 2( m 1 m 2 )v 1i olur. ( m 1 m 2 1)

14 Alıştırma... Kütleleri 0.5 kg ve 0.3 kg olan iki blok şekildeki gibi birbirine doğru 2 m/s' lik hızlarla hareket ediyorlar. Çarpışmadan sonra iki blok birleşip birlikte hareket ettiklerine göre, çarpışmadan sonra blokların ortak hızı nedir? Sistemin çarpışmadan önceki ve sonraki kinetik enerjlerini kıyaslayınız. CEVAP: m A v A1 + m B v B1 = (m A + m B )v AB2 v AB2 = m Av A1 +m B v B1 m A +m B = 0.5 2i i 0.8 = 0.5 i m s K 1 = 1 2 m Av A m Bv B 2 = 1.6 J K 2 = 1 2 (m A+m B )v AB2 2 = 0.1 J K = K 2 K 1 = = 1.5 J lük enerji kaybı vardır.

15 Alıştırma.. Kütleleri 0.5 kg ve 0.3 kg olan A ve B blokları birbirine doğru 2.0 m/s hızlarla yaklaşıp çarpışıyorlar. Çarpışmadan sonra B bloğu aynı hızla ters yönde giderken A bloğunun hızı ne olur? Çarpışmanın türü ne olur? CEVAP: m A v Ai + m B v Bi = m A v Af + m B v Bf 0.5 kg 2.0 i kg 2.0 i = 0.5 kg v Af kg 2.0 i 0.4 i m s K i = 1 2 m Av Ai m Bv Bi 2 = = 1.6 J K f = 1 2 m Av Af m Bv Bf 2 = = 0.64 J Kinetik enerji korunmuyor => Esnek olmayan çarpışma!!!!

16 Alıştırma... Kütlesi m olan bir mermi, kütlesi M olan tahta bloğa doğru ateşleniyor ve tamamen esnek olmayan çarpışma yapıyorlar. Blok+mermi sistemi maksimum y yüksekliğine çıkıyor. Merminin geliş hızını, bilinenler cinsinden ifade ediniz. Momentumun korunumundan; mv = m + M V V = Kinetik enerji; 1 mv m+m 2 m + M V2 = m + M gy V 2 = 2gy ( mv m+m )2 = 2gy v = ( m+m ) 2gy m

17 Alıştırma... Bir tüfekten ateşlenen 8 g kütleli mermi yatay, sürtünmesiz bir yüzeyde bulunan ve bir yaya bağlanmış kg kütleli bir tahta bloğa saplanıyor. Blok+mermi yayı 15.0 cm sıkıştırıyor. Yayı 0.25 cm uzatmak için gereklli kuvvet 0.75 N olduğuna göre, çarpışmadan hemen sonra blok+mermi sisteminin hızı nedir? CEVAP: Merminin çarpışmadan önceki hızı; 0.75 N F = kx k = F = = 300 N x 0.25 x 10 2 m mv = m + M V V = mv m+m (Blok + mermi son hızları) Kinetik Enerji, yayda potansiyel enerji olarak depolanacağından ; 1 2 m + M V2 = 1 2 kx2 V = N k x 300 m m+m Merminin çarpmadan önceki hızı; V(m + M) v = = m 0.15 m 2.6 m/s 2.6 ( ) = 325 m/s