3. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "3. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI."

Emin Birkan
5 yıl önce
İzleme sayısı:

3. HAFTA SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.

1 3. HAFTA SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi

2 TAYLOR TEOREMİ Eğer f C n [a,b] ve f n+1 [a,b] de mevcut ise, x [a,b]olmak üzere her x [a, b] için x ile x arasında öyle bir ξ sayısı vardır ki, f(x) = P n (x) + R n (x) dir. P n (x): Taylor Polinomu R n (x): Kalan Terim P n (x) = f(x ) + f (x ) ) + f (x )! ) +. + fn (x ) ) n R n (x) = f(n+1) [ξ(x)] (n + 1)! ) (n+1) Eğer x = alınırsa f(x), MCLAURIN serisi ile ifade edilmiş olur. ÖRNEK: f(x) = cos (x) için. ve 3. mertebeden Taylar polinomlarını bulunuz. P=? ve P3=? ve cos(,1) değerini her iki polinomla hesaplayınız. Çözüm: f C [R] olduğundan Taylor serisi ile ifade edilebilir. Yani; f(x) = P (x) + R (x) ya da f(x) = P 3 (x) + R 3 (x) olarak yazılabilir.

3 3 P n (x) = cos (x ) + cos (x ) ) + cos (x )! + cos (x ) 4! ) 4 + cos (x ) 5! ) + cos (x ) ) 3 ) cosn (x ) ) n P n (x) = cos (x ) sin(x ) ) cos (x )! + cos (x ) 4! ) 4 sin(x ) 5! ) + sin(x ) ) cosn (x ) ) 3 ) n P (x) = cos (x ) + cos (x ) ) + cos (x )! ) x = olmak üzere; P (x) = cos () + ( sin() (x ) + ( cos()) (x ) = 1 x! R (x) = sin [ξ(x)] (x ) 3 f(,1) = cos (,1) in. mertebeden Taylor polinomu değeri; cos (,1) =P (,1) + R (,1) cos (,1) = 1 (,1) + (,1)3 sin[ξ(x)] 6 cos (,1) =, sin[ξ(x)] cos (,1),99995 =6 1 6 sin[ξ(x)]

4 4 < ξ(x)<,1 dir ve biliyoruz ki sin[ξ(x)] 1 dir.fakat bu değer çok geniş bir hata aralığı verir. Hata aralığını daraltmak için sin(x) x bağıntısını kullanalım. Dolayısı ile sin[ξ(x)] < ξ(x) <,1 olduğundan; cos (,1),99995 < olarak bulunur. P 3 (x) = cos (x ) + cos (x ) ) + cos (x ) x = olmak üzere;! ) + cos (x ) ) 3 P 3 (x) = cos (x ) sin(x ) ) cos (x )! ) + sin(x ) ) 3 P 3 (x) = cos () + ( sin() (x ) + ( cos()) (x ) +! sin () (x ) 3 = 1 x 6 R 3 (x) = cos [ξ(x)] (x ) 4 4! f(,1) = cos (,1) in 3. mertebeden Taylor polinomu değeri; cos (,1) =P 3 (,1) + R 3 (,1) cos (,1) = 1 (,1) + (,1)4 cos[ξ(x)] 4 cos (,1) =, , 1 1 cos[ξ(x)] cos (,1),99995 =4, 1 1 cos[ξ(x)] ve cos[ξ(x)] 1 olduğundan cos (,1), , 1 1

5 5 Örnek: cos(x)d x integralini P3 ile hesaplayınız ve hatayı bulunuz. cos(x)d x = [1 x + x 4 4 cos[ξ(x)]] d x cos(x)d x = (x x 3 6 ) + x 4 4 cos[ξ(x)] d x cos(x)d x = x 4 4 cos[ξ(x)] d x cos(x)d x,998 3 = x 4 4 cos[ξ(x)]d x cos(x)d x,998 3 x 4 4 d x = 8, Örnek: Aşağıda verilen polinomun Taylor serisi açılımından yararlanarak x=1 değerini yaklaşık olarak hesaplayınız. Bu sonucu kullanarak mutlak hatayı seri içerisinde en az beş terime (n=5) kadar alarak hesaplayınız. f(x) = x 4.15 x 3,5 x,5x + 1,

6 6 Çözüm: Fonksiyonun gerçek değeri f(1) = ,5 1, , =. dir. P(x) = f(x ) + f (x ) ) + f (x )! ) +. + fn (x ) ) n iken f(1) =? x = 1 ise x = olsun. Taylor seri açılımından; n = için P (1) = f() = 1, ve ε =, 1, = 1. n = 1 için P 1 (1) = f() + f () (1 ) =,95 ve ε =,,95 =,75 n = için P (1) = f() + f ()(1 ) + f ()! (1 ) =,45 ve ε =,,45 =,5

7 7 Bu şekilde devam edildiğinde fonsiyon dördüncü dereceden olduğu için beşinci mertebeden türevi sıfıra eşit olur. Mutlak hata değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. n P(1) ε m 1, 1, 1,95,75,45,5 3,3 4,, ÖRNEK: Aşağıda verinen f(x) = cos (x) fonksiyonunun Taylor serisi açılımından yararlanarak x = π/3 deki değerini yaklaşık olarak hesaplayınız. Bu sonucu kullanarak yüzde olarak bağıl hata değerlerini seri içersinde en az 5 terime kadar alarak hesaplayınız. Çözüm: f(x) = f(x ) + f (x ) ) + f (x )! ) +. + fn (x ) ) n + Hata x = π 3 iken x = π 4 alalım. Gerçek değer f ( π 3 ) = cos (π 3 ) =.5 Taylor seri açılımından; n= için:

8 8 P (x) = f(x ) = cos(x ) = cos ( π 4 ) =, ε b =,5, = %41,4,5 n=1 için: P 1 (x) = f(x ) + f (x ) ) = cos ( π 4 ) sin (π 4 ) (π 3 π 4 ) =, ε b =,5, = %4,4,5 n=,3,4 için değerler aşağıdaki tabloda verilmiştir. n P(x) ε b (%), ,4 1, ,4, , , ,4 1-6 Örnek: f(x) = e x için f(x) in Maclauren seri açılımını bulup x= için mutlak hata,1 olacak şekilde f() yi bulunuz. f(x) = f(x ) + f (x ) ) + f (x )! x =, f(x ) = e = 1 f (x ) = e = 1 f (x ) = e = 1 f (x ) = e = 1 ) +. + fn (x ) ) n + Error

9 9. e x = 1 x + x! x 3 + x 4 4! x 5 5! + x 6 6! x 7 7! +.. Kaynakça Richard L. Burden, Richard L. Burden (9). Numerical Analysis Brooks/Cole Cengage Learning, Boston. Doç. Dr. İbrahim UZUN, (4), "Numarik Analiz Beta Yayıncılık.

Benzer belgeler

12. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

12. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 1. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi SONLU FARKLAR İNTERPOLASYONU İleri Yönlü Sonlu Farklar İterpolasyonu