Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata
|
|
- Nazar Başar
- 5 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Bölüm 5 Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata Bu bölümde önelikle verilen bir ayrık veri kümesi için standart ve ağırlıklıen küçük kareler yöntemi ile en uygun yaklaşım polinomunun nasıl belirleneeğini ineliyoruz. Ayrıa bir aralık üzerinde verilen herhangi bir integrallenebilir fonksiyona daha basit fonksiyonlarla uygun yaklaşımların nasıl geliştirilebileeğini MATLAB/Otave ın vektör ebirsel işlem yetenekleri yardımıyla ineliyoruz. Konunun skaler ebirsel analizi için [1],[4] ve [9] temel referans kaynaklarınıöneririz. 5.1 Giriş Herhangi bir araştırma sonuunde belirli bir amaa yönelik olarak elde edilmiş olan ve apsisleri birbirlerinden farklıolan A = {(x i, y i ) i =, 1,..., n} nokta çiftleri kümesinin verildiğini kabul edelim. Öneki bölümde P (x i ) = y i, i =, 1,..., n
2 2 Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata özelliğini sağlayan ve dereesi n olan interpolasyon polinomunun nasıl elde edildiğini öğrendik. Yine öneki bölümde gözlemlediğiniz üzere, verilerde hata olmasıdurumunda söz konusu hata interpolasyon polinomunun yüksek dereeli terimlerinin katsayılarınıetkiler ve böylee hatalıverilerle elde edilen interpolasyon polinomu ile gerçekleştirilen interpolasyon işlemi de güvenilirliğini kaybeder. Bu durumda yüksek dereeli polinomlarla interpolasyon yerine, verilere uygun fonksiyonlarla yaklaşım gerçekleştirilerek, bilinmeyen noktadaki değer tahmini elde edilen yaklaşım fonksiyonu ile gerçekleştirilir. 5.2 Ayrık veri kümesine elemanter fonksiyonlarla yaklaşım Hata içeren noktalardan geçen yüksek dereeli interpolasyon polinomunu bulmak yerine, hatalı veri kümesine yeterine yakın noktalardan geçen daha düşük dereeli polinomu belirleyerek interpolasyon işlemini elde edilen düşük dereeli polinomla gerçekleştirmek daha akılıbir yöntemdir. Standart En Küçük Kareler Yöntemi ile Yaklaşım Veri kümemizin (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x m, y m ) nokta çiftlerinden oluştuğunu ve bu nokta çiftlerine en yakın P 1 (x) = a + bx polinomunu belirlemek istediğimizi kabul edelim. Burada a ve b bilinmeyenlerini, veri kümesinin P 1 (x) polinomuna yakınlığının "uygun bir ölçüsünü" minimize edeek biçimde belirlemek istiyoruz. Bu durumda en uygun ölçü iki normu yardımıyla E(a, b) = (P 1 (x i ) y i ) 2 = (a + bx i y i ) 2 (5.1) ile tanımlanmaktadır. Amaımız E(a, b) yi minimum yapan a ve b değerlerini belirlemektir. Sözkonusu minimum nokta için gerek şart (yeter şart değil!) a =, b = K aradeniz Teknik M atem atik, erhan@ ktu.edu.tr
3 5.2 Ayrık veri kümesine elemanter fonksiyonlarla yaklaşım 3 eşitliklerinin sağlanmasıdır. Fakat ve b a = 2 = 2 (a + bx i y i ) = ( m ) ma + x i b = (a + bx i y i )x i = ( m ) ( m x i a + x 2 i ) y i (5.2) b = x i y i (5.3) elde ederiz. (5.2) ve (5.3) sistemi çözülerek a ve b değerleri ve dolayısıyla da istenilen P 1 (x) polinomu elde edilmiş olunur. (5.1) deki karelerin toplamını minimize etmek(en küçük yapmak) için kullanılan bu yönteme, En Küçük Kareler Yöntemi(EKKY) adıverilir. Öte yandan (5.2) ve (5.3 sistemi matris-vektör noktasyonu yardımıyla da ifade edilebilir: Önelikle vektörlerini ve 1 = [1, 1,, 1] T, x = [x 1, x 2,, x m ] T, y = [y 1, y 2,, y m ] T, u = [a, b] T A = [1 x] m 2 matrisini tanımlayalım. Bu durumda [ A T m m A = x i m x i olup, (5.2) ve (5.3) sistemi m x2 i ] [ m, A T y = y ] i m x iy i olarak ifade edilebilir. A T Au = A T y (5.4)
4 4 Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata ÖRNEK 5.1. (, ), (1, 3/2), (2, 1/2), (3, 4), (4, 3) noktalarıiçin P 1 (x) = a + bx biçimindeki birini dereeden en iyi yaklaşım polinomunu En Küçük Kareler Yöntemini kullanarak belirleyiniz. Çözüm. ile Örneğimiz için A T A = A = [ , y = 3/2 1/2 4 3 ] [ 1, A T y = 53/2 olup, bilinmeyen vektörü u = [a b] T olmak üzere, (5.4) den ] 5a + 1b = 1 1a + 3b = 53/2 denklem sistemini elde ederiz. Bu sistemi çözerek, elde ederiz. Elde edilen a = 1/1; b = 17/2 P 1 (x) = 1/1 + 17/2x doğrusunun ( ) ile belirtilen verilere uygun mesafelerden geçerek (5.1) ile verilen E(a, b) hatasınıminimize etmeye çalıştığıgörülmektedir. ÖRNEK 5.2. Verilen (x i, y i ), i = 1, 2,, m noktalarına uygun P 1 (x) = a + bx polinomunu belirleyerek, (5.1) hatasınıbelirledikten sonra t ( min 1 i m (x i), max 1 i m (x i)) için t noktasındaki değeri P 1 (x) yardımıyla tahmin [toplam_hata, tahmin] = ekky1(x, y, t)
5 5.2 Ayrık veri kümesine elemanter fonksiyonlarla yaklaşım 5 Şekil 5.1: Örnek 5.1 nokta çiftleri( ) ve P 1 (x) yaklaşım polinomu komutu ile çalışan bir En Küçük Kareler Yöntemi uygulaması geliştiriniz. Burada x ve y sırasıyla nokta çiftlerinin apsis ve ordinatlarınıiçeren vektörlerdir. Çözüm. Probleme ait yöntemimiz En Küçük Kareler Yöntemi olaağından, önelikle yönteme ait algoritmayıgeliştirelim: Algoritma Girdi(x, y) 2. m := x in eleman sayısı 3. x := x T, y := y T sütun vektörini tanımla. 4. birler isimli m bileşenli 1 rakamlarından oluşan sütun vektörünü tanımla. 5. A := [birler x] matrisini oluştur. 6. B := A T A matrisi ve := A T y vektörünü oluştur 7. Bu = sistemini çözerek u := [a b] bilinmeyenlerini belirle
6 6 Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata 8. (x, y) ikililerinin eksende yerlerini işaretle 9. p(x) = a + bx polinomunun grafiğini aynıeksende çizdir. 1. a ve b değerlerini geri gönder Yukarıdaki algoritmaya ait Program (5.1 ) aşağıda verilmektedir. funtion [a,b]=ekky1(x,y) % (x,y) nokları ile uyumlu P(x)=a+bx % polinomunu EKKY ile hesaplar % polinom ve nokta iftlerini grafigini izer % x=x ;y=y ;m=length(x); birler=ones(m,1); A=[birler x]; B=A *A; =A *y; u=b\; p=@(xx) u(1)+u(2)*xx; xx=x(1):.1:x(end); plot(x,y, *, markersize,1); hold on; yy=p(xx); plot(xx,yy); a=u(1);b=u(2); Program 5.1: EKKY uygulaması Test >> x=[ ]; >> y=[ 3/2 1/2 4 3]; >> [a,b]=ekky1(x,y) >> a = 1/1 b = 17/2 Eğer P 2 (x) = a + bx + x 2
7 5.2 Ayrık veri kümesine elemanter fonksiyonlarla yaklaşım 7 biçiminde olup, veri kümesine en iyi yaklaşan ikini dereeden polinomu belirlemek istersek yine aynı işlemleri takip ederiz, anak bu defa çözülmesi gereken lineer sistem 3 3 lük bir sistem olur. Bu durumda A matrisi 1 x 1 x x 2 x 2 2 A =... 1 x m x 2 m olarak tanımlanmalıdır. Veri kümesi üstel veya logaritmik bir dağılıma sahip olmasıdurumunda en iyi yaklaşım polinomu da veri kümesi için iyi bir yaklaşım olmaz. Bir deney sonuunda değerleri zamanla üstel olarak artan veya azalan pozitif ordinatlıbir veri kümesi için en iyi yaklaşım biçiminde olmalıdır. Bu durumda E(a, b) = y = ae bx, a > (ae bx i y i ) 2 (5.5) ifadesini minimize eden a ve b değerlerinin belirlenmesi gerekir. durumda = 2 (ae bx i y i )e bx i =, a = 2 (ae bx i y i )ax i e bx i = b Anak bu biçimde yazılabilen a ve b bilinmeyenleri için nonlineer bir sistem elde ederiz ki bu sistemin çözümü de Newton yöntemi gibi sayısal bir yöntem gerektirir. Alternatif bir yöntem takip edebiliriz: y(x i ) = ae bx i (a > ) değerlerini verilen y i > değerlerine yaklaştırmaya çalışmak ln(y(x i )) değerlerini ln(y i ) değerlerine yaklaştırmaya denktir: Gerçekten de y(x i ) y i
8 8 Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata ise, logaritma fonksiyonunun sürekliliği gereği dir. Tersine ise veya ln(y(x i )) ln(y i ) ln(y(x i )) ln(y i ) ln(y(x i )) ln(y i ) ln( y(x i) y i ) y(x i) y i 1, yani y(x i ) y i dir. O halde (5.5) ile verilen fonksiyonu minimize etme problemi Ê(a, b) = = (ln(ae bx i ) ln(y i )) 2 (5.6) (ln(a) + bx i ln(y i )) 2 (5.7) fonksiyonunu minimize etme problemine denktir. â = ln(a),ve ŷ i = ln(y i ), i = 1, 2,..., m olarak tanımlarsak, problem (5.1) a benzer olarak Ê(â, b) = (â + bx i ŷ i ) 2 (5.8) ifadesini minimize eden â ve b değerlerini belirleme problemine, diğer bir değimle ŷ = â + bx lineer ifadesini elde etme problemine dönüşür. Yukarıda gerçekleştirilen işleme EKKY için lineerleştirme işlemi adıverilmektedir. ÖRNEK 5.3. (, 1/2), (1, 2), (2, 5), (3, 8) noktalarıiçin y = ae bx biçimindeki en iyi yaklaşımıekky ile belirleyiniz.
9 5.2 Ayrık veri kümesine elemanter fonksiyonlarla yaklaşım 9 Çözüm. (5.2) ve (5.3) sisteminin katsayılarını elde etmek için aşağıdaki tabloyu oluşturalım: y i ŷ i = ln(y i ) 1/2 ln(1/2) = ln 2 2 ln(2) 5 ln(5) 8 ln(8) = 3 ln(2) Buna göre için A T A = A = [ , ŷ = ln(2) ln(2) ln(5) 3 ln(2) ] [ 3 ln(2) + ln(5), A T ŷ = 1 ln(2) + 2 ln(5) ] 4â + 6b = 3 ln(2) + ln(5) = â + 14b = 1 ln(2) + 2 ln(5) = 1.15 olarak elde ederiz. Bu sistemi çözerek elde ederiz. O halde olmak üzere, â. =.4628, b. =.9233 a = eâ =.6295 y = ae bx =.6295e.9233x elde ederiz. Verilen nokta çiftleri ve elde edilen eğrinin grafiği Şekil 5.2 de verilmektedir. Benzer biçimde (x i, y i ) nokta çiftleri için y = 1 biçiminde eğri aranıyorsa ŷ = 1 a+bx y y = 1 a+bx " ŷ = 1 biçiminde dönüşümlerle EKKY problemi lineer probleme dönüştürülür. y 2
10 1 Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata Şekil 5.2: Elde edilen üstel fonksiyon ve verilen nokta çiftleri ( ) AğırlıklıEn Küçük Kareler Yöntemi ile Yaklaşım Ağırlıklı En Küçük Kareler yöntemi ile verilen veri kümesi için uygun yaklaşım belirlenirken, verilerin güvenilirliği bilgisi de dikkate alınır. Bu amaçla w = (w 1, w 2,, w m ), w i, w i = 1 özelliğini sağlayan w i çarpanları( veya ağırlıkları) için E(a, b; w) = w i (ax i + b y i ) 2 (5.9) ile tanımlanan normu minimize eden a ve b sabitleri belirlenir. Sözkonusu minimum nokta için gerek şart (yeter şart değil!) (a, b; w) a =, (a, b; w) b = eşitliklerinin sağlanmasıdır. Fakat
11 5.2 Ayrık veri kümesine elemanter fonksiyonlarla yaklaşım 11 ve b a = 2 = 2 w i (a + bx i y i ) = ( m ) ( m ) w i a + x i w i b = w i (a + bx i y i )x i = ( m ) ( m ) x i w i a + x 2 i w i b = y i w i (5.1) x i y i w i (5.11) elde ederiz. (5.1) ve (5.11) sistemi çözülerek a ve b değerleri ve dolayısıyla da istenilen P 1 (x) polinomu elde edilmiş olunur. (5.9) daki karelerin toplamını minimize etmek(en küçük yapmak) için kullanılan bu yönteme, AğırlıklıEn Küçük Kareler Yöntemi(EKKY) adıverilir. Öte yandan (5.1) ve (5.11) sistemi matris-vektör notasyonu yardımıyla da ifade edilebilir: Önelikle vektörlerini ve 1 = [1, 1,, 1] T, x = [x 1, x 2,, x m ] T, y = [y 1, y 2,, y m ] T, u = [a, b] T A = [1 x] m 2 w 1 w W = w m matrisini tanımlayalım. Bu durumda [ m A T W A = w m i x ] [ m m iw i x m, A T W y = x ] m iy i iw i x2 i w i x iy i w i
12 12 Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata olarak elde ederiz. İstenilen u = [a, b] T vektörü ise sisteminin çözümü olarak elde edilir. A T W Au = A T W y ÖRNEK 5.4. Sırasıyla w 1 = 1/8, w 2 = 1/8 ve w 3 = 3/4 ağırlıklara sahip (, ), (1, 1/2), (2, 4) noktalar kümesini göz önüne alalım. Bu küme için en uygun P 1 (x) = a + bx polinomunu Standart EKKY ve AğırlıklıEKKY ile belirleyiniz Çözüm. A = , W = olmak üzere Standart EKKY ile, [ 3 3 A T A = 3 5 olmak üzere A T Au = A T y veya açıkça 1/8 1/8 3/4 ] [ 9/2, A T y = 17/2 3a + 3b = 9/2 3a + 5b = 17/2, y = sistemini çözerek a = 1/2, b = 2 elde ederiz. AğırlıklıEKKY ile [ ] [ A T 1 13/8 49/16 W A =, A T W y = 13/8 25/8 97/16 solmak üzere A T W Au = A T W y ], 1/2 4 sitemini çözerek, a = 18/31, b = 139/62 elde ederiz. AğırlıklıEKKY ile w 3 = 3/4 ağırlığına sahip noktaya daha yakınız! ]
13 5.3 İntegrallenebilir fonksiyona elemanter fonksiyonlarla yaklaşım standart agirlikli Şekil 5.3: (x i, y i ) noktaları(*) ile Standart ve AğırlıklıEKKY polinom grafikleri 5.3 İntegrallenebilir fonksiyona elemanter fonksiyonlarla yaklaşım Öneki bölümümde inelenen ayrık veri kümesi yerine, bazen bir [, d] aralığı üzerinde integrallenebilir bir f fonksiyonuna yüksek dereeli bir interpolasyon polinomu yerine daha basit fonksiyon veya polinomlar yardımıyla yaklaşım elde edilmek istenebilir. Verilen fonksiyona P 1 (x) = a + bx gibi en küçük kareler yaklaşım polinomunu belirlemek için bu defa (5.1) deki toplam yerine integral sembolü yardımıyla polinom ve fonksiyon arasındaki farkın bir ölçüsü olan(l 2 normunun karesi) E(a, b) = = d d (P 1 (x) f(x)) 2 dx (a + bx f(x)) 2 dx ifadesini minimum yapan a ve b değerlerini buluruz. Bu amaçla yine a =, b = K aradeniz Teknik M atem atik, erhan@ ktu.edu.tr
14 14 Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata sağlanmalıdır. Yani a b = 2 = 2 d d (a + bx f(x))dx = (a + bx f(x))xdx = veya daha açık olarak ifade edilen ( d ) ( d dx a + ( d ) ( d xdx a + ) xdx b = ) x 2 dx b = d d f(x)dx xf(x)dx (5.12) lineer denklem sistemini sağlayan a ve b değerleri verilen f fonksiyonuna P 1 (x) ile gösterilen en iyi yaklaşım polinomunu verir. ÖRNEK 5.5. f(x) = sin(x) fonksiyonuna [, π/2] aralĭgında P 1 (x) = a + bx biçimindeki en küçük kareler yaklaşım polinomunu belirleyiniz. Çözüm. E(a, b) = π/2 (a + bx sin(x)) 2 dx fonksiyonelini minimize eden a ve b değerleri (5.12) den ( ) ( π/2 ) π/2 π/2 dx a + xdx b = sin(x)dx π/2 ( ) π/2 (xdx) a + x 2 dx b = π/2 x sin(x)dx π/2 sin(x)dx = 1 ve π/2 1 2 π x sin(x)dx = ( os x) dx = 1
15 5.3 İntegrallenebilir fonksiyona elemanter fonksiyonlarla yaklaşım Şekil 5.4: sin(x) fonksiyonu ve [, 1.5] aralığındaki en küçük kareler yaklaşımı. integral değerleri yardımıyla lineer denklem sisteminden ve π 2 a + π2 8 b = π2 a π3 b = 1 a = 1 (8π 24) = π2 b = 1 (24π 96) = π3 elde ederiz. O halde aradığımız en iyi yaklaşım polinomu P 1 (x) = x dir. sin(x) fonksiyonu ve en küçük kareler anlamındaki en iyi P 1 (x) = x yaklaşım polinomunun grafiği Şekil 5.4 te verilmektedir.
16 16 Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata Alıştırmalar (, 1), (1, 3), (2, 1), (3, 6) veri kümesi için EKKY ile aşağıdaki biçimde belirtilen en iyi yaklaşım polinomlarınıbelirleyiniz. (a) P (x) = a (b) P 1 (x) = a + bx () P 2 (x) = a + bx + x 2 (d) P 3 (x) = a + bx + x 2 + dx 3 2. Soru 1 için verilen nokta kümesi ile elde ettiğiniz polinom grafiklerini aynı eksende gösteriniz. 3. Soru 1 için elde ettiğiniz her bir yaklaşım için (5.1) ile verilen hatayı hesaplayınız. Hata hangi yaklaşım için daha küçüktür? 4. Soru 1 i sırasıyla w 1 = 1/16, w 2 = 1/16, w 3 = 1/8, w 4 = 3/4 ağırlıklarıile ve AğırlıklıEKKY ile tekrar ediniz. 5. Soru 1 de verilen nokta kümesi ve soru 4 te elde ettiğiniz polinom grafiklerini aynıeksende gösteriniz. 6. Soru 2 ve soru 5 te elde ettiğiniz grafikleri ineleyerek, w i, i = 1, 2, 3, 4 ağırlıklarının, yaklaşım polinomlarıüzerindeki etkisini ineleyiniz. 7. Grafiği Soru 1 de verilen noktalardan geçen Q 3 (x) interpolasyon polinomunu belirleyiniz. Q 3 (x) ile Soru 1(d) de elde ettiğiniz P 3 (x) i karşılaştırınız. Ne gözlemliyorsunuz? 8. (, 1), (1, 2), (2, 2.5), (3, 2.8) veri kümesi için EKKY e göre en iyi f(x) = a + bx yaklaşım fonksiyonunu belirleyiniz ve oluşan E(a, b) hatasınıhesaplayınız. Fonksiyon ve veri kümesinin grafiğini aynıeksende çizdiriniz. 9. Soru 8 de verilen veri kümesi için en iyi g(x) = ln(a + bx) fonksiyonunu ve oluşan E(a, b) hatasınıhesaplayınız. Elde ettiğiniz hatayı soru 8 deki değer ile karşılaştırınız. Belirtilen veri kümesi için f ve g fonksiyonlarından hangisi daha uygundur?
17 5.3 İntegrallenebilir fonksiyona elemanter fonksiyonlarla yaklaşım (, 1/2), (2, 3), (3, 8) veri kümesi için EKKY e göre en iyi yaklaşım fonksiyonunu belirleyiniz. f(x) = ae bx 11. f(x) = os(x) fonksiyonu için [ 1, 1] aralĭgında EKKY göre aşağıdaki biçimde belirtilen en iyi yaklaşım fonksiyonlarınıve oluşan hatalarınıbelirleyiniz. (a) g(x) = a (b) g(x) = a + bx () g(x) = a + bx + x 2 E = 1 1 (f(x) g(x)) 2 dx 12. Soru 11 de elde verilen f için x = noktasında sırasıyla sıfırınıve ikini dereeden Taylor yaklaşımlarısonuunda oluşan (a) E = 1 1 (os(x) 1)2 dx, (b) E = 1 1 (os(x) (1 x2 /2)) 2 dx hatalarınıelde ediniz. (a) ve (b) de elde ettiğiniz sonuçlarısırasıyla, soru 11(a) ve soru 11() ile karşılaştırınız. Taylor mu yoksa EKKY yaklaşımımıdaha küçük hata üretmektedir? 13. Soru 11 ve 12 deki işlemleri Maxima ortamında da gerçekleştiriniz. 14. (x, y) veri kümesi için en iyi n ini dereeden polinomu hesaplayarak katsayılarınıgeri gönderen ve katsayi = ekkypol(x, y, n) yazılımıile çalışan bir MATLAB/Otave programıhazırlayınız. n sayısının veri kümesindeki nokta sayısından büyük olmamasına dikkat ediniz. Hazırladĭgınız program (x, y) nokta çiftlerinin ve elde edilen polinomun grafiğini de aynıeksende çizmelidir.
18 18 Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata 15. (x, y) veri kümesi için en iyi y = ae bx fonksiyonunu hesaplayarak a ve b değerlerini geri gönderen ve [a, b] = ekkyustel(x, y) yazılımıile çalışan bir MATLAB/Otave programıhazırlayınız. Hazırladĭgınız program (x, y) nokta çiftlerini ve elde edilen y = ae bx fonksiyonunun grafiğini aynıeksende göstermelidir.
19 Kaynaklar [1] Atkinson, K. An Introdution to Numerial Analysis, John Wiley & Sons, [2] Coşkun, E. OCTAVE ile Sayısal Hesaplama ve Kodlama(URL:aves.ktu.edu.tr/erhan/dokumanlar). [3] Coşkun, E. Maxima ile Sembolik Hesaplama ve Kodlama(URL:aves.ktu.edu.tr/erhan/dokumanlar). [4] Kinaid, D., Cheney, W., Numerial Analysis, Brooks/Cole, [5] Mathews, J., Numerial Methods for Mathematis, Siene and Engineering, Prentie-Hall, [6] MATLAB, Mathworks(URL:mathworks.om). [7] Maxima, GNU özgür yazılım(url:maxima.soureforge.net). [8] OCTAVE, GNU özgür yazılım(url:octave.soureforge.net). [9] Stoer, J., Bulirsh, R., Introdution to Numerial Analysis, Springer- Verlag, [1] S. W., Warren, Zill, D. G., Calulus: Early Transendentals, Çeviri: Matematik Cilt I, II(Çeviri editörü İsmail Nai Cangül), Nobel Akademik Yayınılık, 21.
Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata
Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata Prof. Dr. Erhan Coşkun Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi Matematik Bölümü Kasım, 2018 e 5 Kasım, 2018 1 / 48 Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata
Detaylı2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?
017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani
DetaylıLys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2
1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
DetaylıSayısal Analiz. Prof. Dr. Erhan Coşkun. Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi, Ekim, 2018
Sayısal Analiz Prof. Dr. Erhan Coşkun Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü E-posta:erhan@ktu.edu.tr Ekim, 2018 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 1 / 40 Matematiksel Analiz Analitik
DetaylıMATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI
MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin
DetaylıÇalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x
Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: a) 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: a) 4x > 9 b) x 4
DetaylıMat Matematik II / Calculus II
Mat - Matematik II / Calculus II Çalışma Soruları Çok Değişkenli Fonksiyonlar: Seviye eğri ve yüzeyler, Limit ve süreklilik wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak için: x
DetaylıLYS MATEMATİK DENEME - 1
LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte
DetaylıÇalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x
Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: 4x > 9 b) x 4 < - c)
Detaylı7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)
7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile
Detaylı1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500
984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun
DetaylıHOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
DetaylıARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav
DetaylıProf.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, BAHAR
MAT 114 LİNEER CEBİR ( İSTATİSTİK, ASTRONOMİ ve UZAY BİLİMLERİ) Hafta 8: İç Çarpım Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.İsmail GÖK 2017-2018 BAHAR İç Çarpım Tanım 23: V bir reel vektör
DetaylıİKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden
DetaylıŞekilde görülen integralin hesaplanmasında, fonksiyonun her verilen bir noktası için kümülatif alan hesabı yapılır.
NÜMERİK İNTEGRASYON Şekilde görülen integralin hesaplanmasında, onksiyonun her verilen bir noktası için kümülati alan hesabı yapılır. Nümerik integrasyonda, integralin analitik değerine, çeşitli yöntemlerle
DetaylıEŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER
EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının
DetaylıJeodezide Yaklaşım Yöntemleri: Enterpolasyon ve Kollokasyon
Jeodezide Yöntemleri: ve Lisansüstü Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Aydın ÜSTÜN Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü e-posta: austun@selcuk.edu.tr Konya, 2007 A. Üstün yöntemleri 1 / 28 Bir soruyu ya
Detaylı1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1
. ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel
DetaylıDenklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,
Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli
DetaylıLineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar
Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)
DetaylıKübik Spline lar/cubic Splines
Kübik spline lar önceki metodların aksine bütün data noktalarına tek bir fonksiyon/eğri uydurmaz. Bunun yerine her çift nokta için ayrı ayrı üçüncü dereceden polinomlar uydurur. x i noktasından geçen soldaki
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan
DetaylıMatematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3
Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =
DetaylıDers 05. Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler. 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay
48 Bölüm 5 Ders 05 Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1. Soru 1 Aşağıda verilen soru işaretlerinin yerine gelmesi gereken değerleri
DetaylıCebirsel Fonksiyonlar
Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş
Detaylı4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
4. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi BLM33 DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin
Detaylı2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır?
MATE 106 SOSYAL BİLİMLER İÇİN TEMEL ANALİZ Ad-Soyad No Uygun cevabı bulunuz. 1)A = πr2 formülü r yarıçaplı çemberin A alanını vermektedir. Bir masa örtüsü A alanına sahipse, yarıçapını A'nın bir fonksiyonu
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
Detaylı11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 İNTERPOLASYON Deney sonuçları veya benzer çalışmalar için
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması
DetaylıYrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin
Detaylı1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması
1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0
DetaylıÇEV 2006 Mühendislik Matematiği (Sayısal Analiz) DEÜ Çevre Mühendisliği Bölümü Doç.Dr. Alper ELÇĐ
Giriş ÇEV 2006 Mühendislik Matematiği (Sayısal Analiz) DEÜ Çevre Mühendisliği Bölümü Doç.Dr. Alper ELÇĐ Sayısal Analiz Nedir? Mühendislikte ve bilimde, herhangi bir süreci tanımlayan karmaşık denklemlerin
Detaylı1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
Detaylıİç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN
İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.
DetaylıSayısal Analiz(Prof. Dr. Erhan Coşkun, KTU,
Bölüm 1 Sayısal Analiz(Prof. Dr. Erhan Coşkun, KTU, erhan@ktu.edu.tr) Bu bölümde matematiksel analiz türleri olarak bilinen analitik, sayısal, kalitatif ve sembolik analiz yöntemlerini kısaca tanıtarak,
DetaylıEĞİTİM ÖĞRETİM YILI ANADOLU LİSESİ 12.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI 12.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU
08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI ANADOLU LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR
Detaylı( ) v = 3i -4j vektörünün boyu kaç birimdir? r r r r A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E ) 1. Çözüm: v = 3i -4j Vektörün boyu ω olsun.
. r r r v i j vektörünün oyu kaç irimdir? 5 B) C) D) E ) r r r v i j Vektörün oyu ω olsun. ω ( ) ω 5r. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin tersi ir fonksiyon değildir? y x B) yx C) yx D) yx E ) yx Seçenekler
DetaylıPERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR
2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve
DetaylıYrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr Doğrusal Ara Değer Hesabı Lagrance Polinom İnterpolasyonu
DetaylıMEB YÖK MESLEK YÜKSEKOKULLARI PROGRAM GELİŞTİRME PROJESİ. 1. Matematik ile ilgili temel kavramları açıklayabilme.
PROGRAMIN ADI DERSIN ADI DERSİN İŞLENECEĞİ YARIYIL HAFTALIK DERS SAATİ DERSİN SÜRESİ AMAÇLAR 1. Matematik ile ilgili temel kavramları açıklayabilme. MUHASEBE PROGRAMI MATEMATİK 1. Yıl I. Yarıyıl 3 (Teori:
DetaylıDİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için
DetaylıMAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI
.. MAK MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Polinom MATLAB p=[8 ] d=[ - ] h=[ -] c=[ - ] POLİNOMUN DEĞERİ >> polyval(p, >> fx=[ -..9 -. -.9.88]; >> polyval(fx,9) ans =. >> x=-.:.:.; >> y=polyval(fx,;
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 7- SAYISAL TÜREV Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ İntegral işlemi gibi türev işlemi de mühendislikte çok fazla kullanılan bir işlemdir. Basit olarak bir fonksiyonun bir noktadaki
DetaylıYAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK
YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki
Detaylı1. Hafta Uygulama Soruları
. Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında
DetaylıYrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr Regresyon o EnKüçük Kareler Yöntemi Doğru Uydurma
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L
T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L 1 Denklemler 1.1 Doğru deklemleri İki noktası bilinen ya da bir noktası ile eğimi bilinen doğruların denklemlerini yazabiliriz.
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu
Detaylıx e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.
TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki
Detaylı(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM
EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin
DetaylıDers 9: Bézout teoremi
Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak
Detaylı12. SINIF. Ağırlık (%) SAYILAR VE CEBİR ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Üstel Fonksiyon 1 8 4
12. SINIF No Konular Kazanım Sayısı Ders Saati Ağırlık (%) 12.1. ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR 6 36 17 12.1.1. Üstel Fonksiyon 1 8 4 12.1.2. Logaritma Fonksiyonu 3 18 8 12.1.3 Üstel, Logaritmik Denklemler
DetaylıLineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler
Lineer Cebir Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Bölüm 1 - Lineer Eşitlikler 1.1. Lineer Eşitliklerin Tanımı x 1, x 2,..., x
Detaylı1991 ÖYS. 9. Parasının 7. ünü kardeşine veren Ali nin geriye lirası kalmıştır. Buna göre, Ali nin başlangıçtaki parası kaç liradır?
99 ÖYS.,8 + (, + ), işleminin sonucu kaçtır? B) 7 D) 86 987 B) D). a, b, c birer pozitif gerçel sayı ve a=b b=c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a
DetaylıYüksek basamaktan tek adım Sonlu Fark Yöntemleri
Bölüm Yüksek basamaktan tek adım Sonlu Fark Yöntemleri Bu bölümde, birinci basamaktan başlangıç değer problemleri için Tek adım (Yamuk, Düzeltilmiş Euler(Heun), Runge-Kutta yöntemlerinin nasıl elde edildikleri,
DetaylıHalit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN
YAYIN KURULU Hazırlayanlar Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK
Detaylımatematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı
matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,
DetaylıBirinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr.
Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr. Ömer Akın) AYRILABİLİR DENKLEMLER Birinci mertebeden dy = f(x, y) (1)
DetaylıLYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal
DetaylıLineer Denklem Sistemleri
Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin
DetaylıMAT101 MATEMATİK I BÖLÜM 3 FONKSİYONLAR
MAT101 MATEMATİK I BÖLÜM 3 FONKSİYONLAR Yrd. Doç. Dr. Furkan BAŞER Ankara Üniversitesi Uygulamalı Bilimler Fakültesi GİRİŞ Fonksiyon kavramı, matematikte en önemli kavramlardan biridir. Temel düzeyin ötesinde
Detaylı2. (1 + y ) ln(x + y) = yy dif. denk. çözünüz. 3. xy dy y 2 dx = (x + y) 2 e ( y/x) dx dif. denk. çözünüz.
D DİFERANSİYEL DENKLEMLER ÇALIŞMA SORULARI Fakülte No:................................................... Adı ve Soyadı:................................................. Bölüm:...................................................................
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI
0 KULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 0 SINIFLAR SRULARI (5xy) dört basamaklı sayıdır 5 x y 6 - a 3 Yukarıdaki bölme işlemine göre y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4 m pozitif bir tamsayı olmak üzere;
DetaylıPOLİNOMLARIN TANIMI. ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: KONU: POLİNOMLAR NUMARASI: SINIFI:
ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: Dersin Adı POLİNOMLARIN TANIMI 1. Aşağıdaki fonksiyonlardan polinom belirtir? I. Dersin Konusu 1 5. P x x n 1 7 x 4 n 5 ifadesi bir polinom belirttiğine göre, bu polinomun derecesi
Detaylısayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1
TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.
DetaylıDers 07. Çok katlı İntegraller. 7.1 Alıştırmalar 07. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. 1. Soru 1
Bölüm 7 ers 7 Çok katlı İntegraller 7. Alıştırmalar 7 Prof.r.Haydar Eş Prof.r.Timur Karaçay. Soru a) 6x yd y 6x yd y 6x y +C (x) 3x y +C (x) 6x yd y 3x y 3x ( ) 3x 93 94 BÖLÜM 7. ERS 7 b) 6x ydx 6y x dx
DetaylıÖğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur.
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 8 Haziran 6 Matematik II Soruları ve Çözümleri x, x. f(x) x ise fonksiyonu için,, x olduğuna göre, a b kaçtır? lim + x f ( x) a ve lim x f ( x) b A) B) C) D) E) Çözüm x x için
DetaylıDENKLEMLER CAUCHY-EULER DENKLEMİ. a n x n dn y dx n + a n 1x n 1 dn 1 y
SABİT KATSAYILI DENKLEMLERE DÖNÜŞTÜREBİLEN DENKLEMLER Bu bölümde sabit katsayılı diferansiyel denklemlere dönüşebilen değişken katsayılı diferansiyel denklemlerden Cauchy Euler ve Legendre difarensiyel
Detaylı3. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
3. HAFTA SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi TAYLOR TEOREMİ Eğer f C n [a,b] ve f n+1 [a,b] de mevcut ise, x
DetaylıYeşilköy Anadolu Lisesi
Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi
DetaylıKaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.
Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.
DetaylıKAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının
Detaylıii) S 2LW 2WH 2LW 2WH S 2WH 2LW S 3( x 1) 5( x 2) 5 3x 3 5x x Maliye Bölümü EKON 103 Matematik I / Mart 2018 Proje 2 CEVAPLAR C.1) C.
C.1) x1 x 1 4 4( x1) x 6 4x 4 x 6 x 46 x Maliye Bölümü EKON 10 Matematik I / Mart 018 Proje CEVAPLAR C.) i) S LW WH LW WH S LW WH S W W W S L H W ii) S LW WH WH LW S WH LW S W W W S H L W C.) ( x1) 5(
DetaylıMATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR.
Ö S Y M T.C. YÜKSEKÖĞRETİM KURULU ÖĞRENCİ SEÇME VE YERLEŞTİRME MERKEZİ LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 BU SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 LYS MATEMATİK
DetaylıBÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES)
BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) Lagrange ve Neville yöntemlerinin bazı olumsuz yanları vardır: İşlem sayısı çok fazladır (bazı başka yöntemlere kıyasla) Data setinde bir nokta ilavesi veya çıkartılması
DetaylıRegresyon ve İnterpolasyon. Rıdvan YAKUT
Regresyon ve İnterpolasyon Rıdvan YAKUT Eğri Uydurma Yöntemleri Regresyon En Küçük Kareler Yöntemi Doğru Uydurma Polinom Uydurma Üstel Fonksiyonlara Eğri Uydurma İnterpolasyon Lagrange İnterpolasyonu (Polinomal
DetaylıDers 5 : MATLAB ile Grafik Uygulamaları
Ders 5 : MATLAB ile Grafik Uygulamaları Kapsam Polinomlar Enterpolasyon Grafikler 5.1. Polinomlar 5.1.1. Polinom Girişi Matlab de polinomlar katsayılarının vektörü ile tanımlanır. Örnek: P(x) = -6x 5 +4x
Detaylı1. O(0,0) merkezli, 3 birim yarıçaplı. 2. x 2 +y 2 =16 denklemi ile verilen. 3. O(0,0) merkezli ve A(3,4)
HAZİNE-1 Düzlemde sabit M(a,b) noktasından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri, M merkezli R yarıçaplı çemberdir. HAZİNE-2 O(0,0) merkezli, R yarıçaplı çemberin denklemi; x 2 +y 2 =R 2 dir.
DetaylıTÜREVİN UYGULAMALARI. Maksimum ve Minimum Değerler. Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun.
Maksimum ve Minimum Değerler Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun. TÜREVİN UYGULAMALARI D içindeki her x elemanı için f(c) f(x) ise f fonksiyonunun c noktasında mutlak maksimumumu vardır.
DetaylıÜç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi
Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.açık ders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıAnkara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu
Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve
DetaylıÖrnek...3 : P(x+4)=x 7 +6.x 6 +2x 3 polinomu için P(2) kaçtır? Örnek...4 : P(2x 1) = x 2 olduğuna göre, P(3)+P(5) kaçtır? Örnek...
POLİNOMLAR n N, a n, a n 1, a n 2,a 1,a 0 R ve a n 0 olmak üzere, a n x n +a n 1 x n 1 +a n 2 x n 2 +...+a 1 x+a 0 ifadesine x in bir polinomu denir ve genellikle bu ifade P(x),Q(x) gibi bir ifadeye eşitlenerek
Detaylı1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI
Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,
Detaylı28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31
SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.
DetaylıŞimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak
10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.
DetaylıÖrnek 1: 2 x = 3 x = log 2 3. Örnek 2: 3 2x 1 = 2 2x 1 = log 3 2. Örnek 3: 4 x 1 = 7 x 1 = log 4 7. Örnek 4: 2 x = 3 2 x 2 = 3
Soru : f(x) = log x 4 5 fonksiyonunun tanım aralığını bulunuz? a x = b eşitliğinde a ve b belli iken x i bulmaya logaritma işlemi denir. Üstel fonksiyon bire bir ve örten olduğundan ters fonksiyonu vardır.
DetaylıÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV
- 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını
DetaylıSağ Taraf Fonksiyonu İle İlgili Özel Çözüm Örnekleri(rezonans durumlar)
3.1.2.1. Sağ Taraf Fonksiyonu İle İlgili Özel Çözüm Örnekleri(rezonans durumlar) ÖRNEK: y + 4.y + 4.y = 5.sin2x diferensiyel denkleminin genel çözümünü bulalım: Homojen kısmın çözümü: y + 4.y + 4.y = 0
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk
DetaylıLĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7
YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS ÖYS LĐMĐT Tanım : Bir x0 A = [ a,b ] alalım, f: A R ye veya f: A - { x 0 } R ye bir fonksiyon olsun. Terimleri A - { x 0 } kümesine ait ve x
Detaylı