OLASILIK OLASILIK. Bireysel belirsizlik ve uzun dönemdeki düzenlilik deneysel bilimlerde de sık sık ortaya çıkar
|
|
- Özgür Başak
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 OLASILIK OLASILIK İstatistiğin temel araçlarından biri olasılıktır 17. yy daşans oyunları ile başlamıştır Her bir denemenin çıktısı belirsizdir Fakat uzun dönemde çıktı kestirimlenebilir Bireysel belirsizlik ve uzun dönemdeki düzenlilik deneysel bilimlerde de sık sık ortaya çıkar 1
2 Olasılık Nedir? Herhangi bir deneyin sonucunda gözlenebilecek farklı durumlarla hangi sıklıkta karşılaşılabileceğinin incelenmesidir Örnekler Bir doğumda kız ya da erkek doğacağı bilinmez Fakat uzun dönemde olasılık yaklaşık olarak %50 dir Sigorta şirketleri Türkiye de kimlerin 50 yaşında öleceğini kestiremez Fakat kaç kişinin bu yaşta öleceği yaklaşık olarak kestirilebilir
3 Olasılığın Gelişim Aşamaları Klasik (A Priori Olasılık Frekans (A Posteriori Olasılık Aksiyom Olasılığı Bu sıralama olasılık teorisinin tarihsel gelişimini tanımlamaktadır Temel Tanımlar Tekrarlanabilir Deney; sonucu kesin olarak kestirimlenemeyen bir tek çıktı (şans değişkeni oluşturan bir eylem, gözlem ya da süreçtir Basit Olay; eğer bir deneyin çıktısı daha basit bir çıktı olarak ayrıştırılamıyorsa basit olaydır Olay; bir ya da daha fazla basit olayın bir araya gelmesi ile oluşur Örnek Uzayı; bir deneyin tüm mümkün basit olaylarının oluşturduğu kümedir. Genellikle S ile tanımlanır 3
4 Ayrık olay; Eğer A ve B gibi iki olay aynı anda gerçekleşemiyor ise bu olaylara ayrık (birbirini engelleyen olaylar denir Eşit Olasılıklı Olaylar; bir örnek uzayındaki tüm basit olayların ortaya çıkma olasılığı eşit ise eşit olasılıklı olay denir Olasılığın İki Temel Kuralı Tüm basit olayların olasılıkları 0 ile 1 arasındadır Bir örnek uzayındaki tüm basit olayların olasılıklarının toplamı 1 e eşittir DİKKAT Hiç bir olayın OLASILIĞI 1 den büyük olamaz 4
5 Klasik Olasılık Eğer bir örnek uzayı N(S adet ayrık ve eşit olasılıkla ortaya çıkan basit olaylardan oluşuyor ve örenek uzayındaki basit olaylardan N(A adedi A olayının özelliğine sahip ise A nınolasılığı: N(A/N(S kesiri ile elde edilir. Klasik Olasılık Niçin Yetersizdir? Örnek uzayının eleman sayısı sonsuz olduğunda Eşit olasılıklı olay varsayımı yapılamadığında 5
6 Ne Yapılabilir? Araştırılan anakütle üzerinde tekrarlı deneyler gerçekleştirilerek sonuçlar analiz edilmek üzere kayıt edilmelidir. Frekans Olasılığı Araştırılan anakütle üzerinde n adet deney uygulanır. Yapılan bu deneylerde ilgilenilen A olayı n(a defa gözlenmiş ise A olayının göreli frekansı (yaklaşık olasılığı: An(A/n olarak bulunur. 6
7 Örnek Bir fabrikanın üretmiş olduğu televizyonların hatalı olma olasılığı p nedir? Önce örnek uzayı oluşturulur: S{sağlam,hatalı} Klasik olasılığa göre (eşit olasılıklı olaylar p0.5 olup gerçeği yansıttığı şüphelidir. Yapılması gereken örneklem alarak p n(h/n olasılığını hesaplamaktır. Frekans Olasılığının Kararlılık Özelliği Gerçekleştirilen deney sayısı arttıkça A olasılık değerindeki değişkenlik azalacak ve giderek bir sabit değere yaklaşacaktır buna kararlılık özelliği adı verilir ve bir olayın olasılığı deneyin tekrarlama sayısı sonsuza yaklaşırken o olayın göreli frekansının alacağı limit değer olarak tanımlanır: palim n(a/n n 7
8 Frekans Olasılığı Niçin Yetersizdir? Olasılığın kararlılık değerine ulaştığı deneme sayısı kaçtır? Sonsuz adet deneme yapmak mümkün değildir Aynı deney iki defa aynı tekrar sayısı ile gerçekleştirildiğinde elde edilen olasılıklardan hangisi olayın olasılığı olarak kabul görecektir? Aksiyom Olasılığı Nedir? Olasılığın matematiksel teorisini tanımlar Bu teorinin oluşturduğu ideal modeller yaşadığımız dünyanın problemlerini çözmede kullanılır 8
9 Aksiyom 1: Aksiyomlar A örnek uzayı S deki her A olayı için A 0 olan bir gerçel sayıdır Aksiyom : S1 Aksiyom 3: Eğer S 1,S,...Olaylarının her biri S deki ayrık olaylar ise,diğer bir deyişle S i S j tüm i j için ise, S 1 S...S 1 +S +... Aksiyom Olasılığı ile İlk İki Yaklaşım Arasındaki Fark Olasılığın iki genel tipinin sahip olduğu önemli ortak nokta: Her ikisinin de, benzer koşullarda (teorik olarak aynı koşullarda uygulanan deneylere gereksinim duymasıdır. Bununla birlikte benzer koşullarda tekrarlı olarak uygulanamayan durumlarda olasılıkların hesaplanmasında AKSİYOM OLASILIĞI yardımcı olur. 9
10 Sadece Aksiyomlar Yeterli mi? HAYIR Bu aksiyomların ve onlara bağlı teoremlerin faydalı bir model geliştirilmesinde bize yardımcı olabilmesi için, S örnek uzayındaki her bir A olayı için olasılığın hesaplanmasında kullanılacak bir FONKSİYONA ya da bir KURALA gereksinim vardır Örnek Uzayı İçin Örnekler (Venn diyagramları 10
11 Olasılık Fonksiyonu Nedir? Bir olasılık fonksiyonu p[a]f(x tanım kümesi A, görüntü kümesi[0,1] ve aşağıdaki aksiyomları sağlayan bir küme fonksiyonudur: 1 p[a] 0 p[s]1 Bir olasılık fonksiyonu bir şans değişkeninin hangi değeri ne olasılıkla alabileceğini gösteren fonksiyondur Kesikli olasılık fonksiyonu için bkz.? Sürekli olasılık fonksiyonu için bkz.? Şans değişkenleri için söz konusu olan örnek uzayları üç türde olabilir, Bunlar: 1 Sayılabilir sonlu örnek uzayı (Klasik Olasılık Modeli Zarın üst yüzüne gelen sayı Sayılabilir sonsuz örnek uzayı (Kesikli Şans değişkeni Modelleri Altı gelinceye kadar yapılan deneme sayısı Bir günde doğan çocuk sayısı 3 Sayılamayan sonsuz örnek uzayı(sürekli Şans değişkeni Modelleri İki uçağın inişi arasında geçen süre 11
12 Sonlu Örnek Uzayları İçin Olasılık Modeli S 1,S,...,S n bir s kesikli örnek uzayındaki n adet örnek noktası olsun. Aşağıdaki şartlar sağlandığı durumda P fonksiyonu eşit olasılıklı olasılık fonksiyonu olarak adlandırılır: 1p(s 1 p(s...s n 1/n s i örnek noktalarının her hangi n a tanesini içeren bir A olayı için; an A /n İlk şart; n adet noktanın her birinin eşit olasılıklı ve bu nedenle her birinin olasılığının 1/n olduğunu belirtir. İkinci şart; n adet örnek noktasından n A tanesini içeren bir olayın olasılığının n A /n olduğunu belirtir. ÖRNEK: Zarın çift gelmesi olayının olasılığı. S{1,,3,4,5,6} n6 A{,4,6} n A 3 A3/6 1
13 Örnek Uzayı ve Olay Sayısını Belirleyen Sayma Yöntemleri Klasik olasılığın diğer bir ifade ile eşit olasılıklı olayların geçerli olduğu durumlarda: Örnek uzayının eleman sayısı İlgilenilen olayın eleman sayısının belirlenmesi gereklidir. Kullanılan iki temel prensip; 1 Toplama yöntemi Çarpma yöntemi Toplama Yöntemi Bir A olayı m farklı şekilde, başka bir B olayı da n farklı şekilde oluşabilen ayrık olaylar ise; A veya B olayı n+m farklı şekilde oluşabilir. ÖRNEK: A olayı iskambil destesindeki Kupa kartlarını, B olayı ise Maça kartlarını tanımlamış ise çekilen bir kartın Maça ya da Kupa olma olay sayısı:
14 Çarpma Yöntemi Bir A olayı m farklı şekilde, başka bir B olayı da n farklı şekilde oluşabilen ve aynı anda oluşmaları mümkün olaylar ise; A ve B olayı n*m farklı şekilde oluşabilir. ÖRNEK: bir desteden çekilen iki kartın birinin kupa diğerinin maça olması kaç farklı şekilde gerçekleşebilir? 13* Örnek Uzayı Ve Olay Sayısının Büyük Olduğu Durumlar Örnek uzayı ve olay sayısının büyük olduğu durumlarda kullanılan sayma yöntemleri; Permutasyon Kombinasyon 14
15 İadeli Örnekleme: Bir popülasyondan örnek alırken alınan bir birimlik örnek eğer bir sonraki seçimde tekrar populasyona dahil ediliyorsa yani örneğe girme şansı yine varsa bu tip örneklemeye iadeli örnekleme denir. İadesiz Örnekleme: Bir popülasyondan örnek alırken alınan bir birimlik örnek eğer bir sonraki seçimde tekrar populasyona dahil edilmiyorsa yani bir sonraki örnekte gözlenme şansı yoksa bu tip örneklemeye iadesiz örnekleme denir. Permütasyon Sıraya konulacak x adet nesne olsun ve her biri sadece bir kez kullanılsın kaç değişik dizilim yapılabilir? X X-1 X X nesnenin mümkün sıralamalarının sayısı: X(x-1(x-...((1x! 15
16 PERMÜTASYON TANIM: n tane nesne arasından seçilmiş x tane nesnenin permütasyon sayısı n P x, toplam n tane nesne arasından x tane nesne seçilir ve bunlar sıraya konulursa ortaya çıkabilecek sıralamaların sayısıdır ve şu şekilde hesaplanır: n P x n! ( n x! Kullanıldığı durumlar İadesiz örnekleme Örneğe çıkış sırası önemli ÖRNEK: İçinde M tane topun bulunduğu kutudan geri atılmadan değişik sırayla çekilen n hacimli örneklerin sayısı M,n tanedir. M4, n3 ise, örnek sayısı4,34 (1,,3,(1,,4,(1,3,4,(,3,4 (1,3,,(1,4,,(1,4,3,(,4,3 (,1,3,(,1,4,(3,1,4,(3,,4 (,3,1,(,4,1,(3,4,1,(3,4, (3,,1,(4,1,,(4,1,3,(4,3, (3,1,,(4,,1,(4,3,1,(4,,3 Eğer örnekleme iadeli olarak yapılsaydı seçilebilecek toplam örnek sayısı M n olacaktı
17 Kombinasyon Tanım: n nesne arasından seçilen x tanesinin kombinasyon sayısı C n x,yapılabilecek olanaklı seçimlerin sayısıdır. Bu sayı şu şekilde hesaplanır: C x n n! x!( n x! Kullanıldığı durumlar İadesiz örnekleme Örneğe çıkış sırası önemsiz ÖRNEK: M topun bulunduğu kutudan geri atılarak çekilen n hacimli örnek sayısı C(M,n M4, n3 ise, örnek sayısı C(4,34 (1,,3,(1,,4,(1,3,4,(,3,4 (1,3,,(1,4,,(1,4,3,(,4,3 (,1,3,(,1,4,(3,1,4,(3,,4 (,3,1,(,4,1,(3,4,1,(3,4, (3,,1,(4,1,,(4,1,3,(4,3, (3,1,,(4,,1,(4,3,1,(4,,3 ilgilenilmiyor 17
18 Şartlı Olasılık A ve B gibi iki olaydan B olayının gerçekleştiği bilindiğinde A olayının gerçekleşmesi olasılığına A olayının şartlı olasılığı denir. A/B ile gösterilir. A/ B B / A A B B B A A P ( A/ B. B B / A. A Örnek:Hamburgerci zincirinin müşterilerinden %75 hardal %80 i ketçap %65 i ise her ikisini birden kullanıyorsa, bir ketçap kullanıcısının hardal kullanma olasılığı nedir? A olayı: Müşteri hardal kullanıyor B olayı: Müşteri ketçap kullanıyor olsun A 0.75, B 0.80 A B0.65 Bir ketçap kullanıcısının hardal kullanma olasılığı : A B 0.65 A / B B
19 Şartlı olasılıkların Bilindiği durumlarda tek bir olayın olasılığının bulunması Birbirini engelleyen olayların bileşiminin olasılığı toplama kuralına göre A A B1 + A B +... A B5 A B ( A / B. B i i P ( A A/ B1 B1 + A / B B +... A/ B5 Bir ilaç üç fabrika tarafından üretilmektedir1. Fabrikanın üretimi. Ve 3. Fabrikanın üretiminin katıdır.ayrıca 1. Ve. Fabrikalar%, 3. Fabrika % 4 oranında bozuk ilaç üretmektedir. Üretilen tüm ilaçlar aynı depoda saklandığında bu depodan rast gele seçilen bir ilacın bozuk olma olasılığı nedir. A Seçilen ilacın bozuk olma olasılığı B 1 1. Fabrikada üretilmesi B. B 3 3. P ( A A/ B1 B1 + A / B B +... A/ B5 A(0.0(0.5+(0.0(0.5+(0.04(
20 0 B 1 B 3 B 4 B B 5 A / (... ( / ( ( / ( ( B A P B P B A P B P B A P A P + + A(0.0(0.5+(0.0(0.5+(0.04( Bayes Teoremi Sonucun bilindiği durumda sebebin hangi olasılıkla hangi olaydan meydana geldiği ile ilgilenir. Yukarıdaki birinci örnekte depodan rast gele seçilen bir ilacın bozuk çıkması halinde 1.fabrikadan gelmesinin olasılığı araştırıldığında Bayes Teoremine ihtiyaç vardır. k i i i i i i i B P B A P B P B A P A P A B P A B P 1 ( / ( ( / ( ( ( / (
21 B 1 /A A / B 1 B 1 A / B1 B + A / B B 1 + A / B 3 B 3 (0.0(0.5 ( B 1 / A (0.0(0.5 + (0.0(0.5 + (0.04(0.5 P 0.40 Bağımsız Olaylar Ele alınan olaylardan birinin gözlenip gözlenmemesi olasılığı diğer bir olayın ortaya çıkıp çıkmama olasılığını etkilemiyorsa bu olaylara bağımsız olaylar denir. P ( A B A. B/ A Olur. Ancak B olayının meydana gelme olasılığı A olayının meydana gelme olasılığına bağlı değil ve iki olay aynı anda meydana gelebiliyor ise P ( A B A. B/ A A. B olur 1
22 Bütün lisans diplomalarının %48 inin kadınlar tarafından alındığı, bütün lisans diplomalarının % 17.5 i işletme dalında ve %4.7 si işletme işletme dalında kadınlara verilmektedir. Lisans diploması alan kadındır ve Lisans diploması işletme dalındadır olayları istatistiksel olarak bağımsız mıdır inceleyiniz A0.48 B0.175 A B AB(0.48( A B Olduğundan iki olay bağımsız değildir. A/B 0.047/ A B 3 4 Yukarıdaki elektrik devresinde her anahtarın herhangi bir anda kapalı olması olasılığı p ile gösterilmiştir. Buna göre A ve B noktalarına gerilim uygulandığında akım geçme olasılığı nedir
23 A : Akım geçmesi olayı S 1 : Birinci anahtarın kapalı olması olasılığı S :İkinci S 3 :Üçüncü S 4 :Dördüncü Çözüm: A S1 S + S3 S4 S1 S S3 S4 A p +p -p 4 ŞANS DEĞİŞKENİ Şans Değişkeni, belirli bir tanım aralığında hangi değeri alacağı önceden bilinmeyen ve bu değeri belli olasılıklarla alabilen değişken olarak tanımlanır 3
24 Kesikli Şans Değişkenleri Sayılabilir sayı değerleri ile ifade edilen şans değişkenleridir.tanımlı oldukları aralıkta sadece tamsayı değerleri alabilirler. Örnek: Bir satış elemanının bir haftada yaptığı otomobil satış miktarı (Poisson Bir kutu ampuldeki defolu ampul sayısı (Binom Bir sekreterin bir sayfa yazıda yaptığı hata sayısı (Poisson Bir ailenin doğan 5. Kız çocuğunun 3. kız çocuğu olması ( Negatif Binom Kesikli Şans Değişkeninde Olasılık X, tesadüfi değişken ve x 1,x,..,x n bu tesadüfi değişkenin alabileceği değerler olsun X tesadüfi değişkeninin herhangi bir x değerini alma olasılığı Pr{Xx} şeklinde gösterilir. Bu olasılık X in dağılım ya da olasılık kanunu diye adlandırılır. Kesikli X değişkeninin hangi değerleri hangi olasılıklarla alacağını gösteren fonksiyona olasılık fonksiyonu denir. Bir fonksiyonun kesikli olasılık fonksiyonu olabilmesi için 1. x 0, tüm x değerleri için. P ( x 1 Tümx Olması gerekir 4
25 Kesikli Şans Değişkeninin Beklenen Değeri Buradaki gösterim toplama işleminin x in alabileceği bütün değerleri kapsadığı anlamına gelir. Bir şans değişkeninin beklenen değeri aynı zamanda ortalamasıdır.ayrıca,. olup. Genel olarak; E ( x x Tümx i x i E ( x xi x i Tümx n n E ( x xi xi Tümx Kesikli Şans Değişkeninin Varyansı Populasyon varyansı; x şans değişkeninin populasyon ortalaması den ortalama karesel uzaklığı olarak ifade edilir.x bir şans değişkeni olduğundan karesel uzaklık da ( x μ bir şans değişkenidir.x şans değişkeninin ortalamasında kullanılan mantıktan yola çıkarak ifadesinin beklenen değerini; x μ μ ( x μ ( ile her bir x değerine karşı gelen olasılığın x çarpımı ile bulabiliriz. [( x μ ] ( x E μ p( x Tümx Bu ifade ortalamadan karesel uzaklığın beklenen değeri olarak adlandırılır. 5
26 Var ( x E ( x [ E ( x ] Var( x x x [( x μ ] ( x μ ( x x σ E p x Tümx X şans değişkeninin standart sapması varyansının karekökü olarak ifade edilir. Bir madeni para iki kez havaya atılmasıyla gözlenen tura sayısı kesikli değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi gösterilebilir 0.5 x x 0 x 1 x Bu olasılık fonksiyonu iki farklı histogramla gösterilebilir. Beklenen değer ; E(X(1/4*0 +(/4*1+(1/41 olur C 0.5 C C1 0 1 C1 6
27 Bir zarın bir kez atılmasında gözlenen değer kesikli şans değişkeninin olasılık fonksiyonu X X 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Bu fonksiyonun beklenen değeri 3.5 tir. Beklenen değer ortalama anlamına gelir ve merkezi eğilimin bir ölçüsüdür bu nedenle x şans değişkeninin olası değerlerine eşit olmak zorunda değildir( yani tamsayı olmak zorunda değildir. Beklenen değer matematiksel bir terimdir ve verilerin ağırlık merkezini ifade eder. Bir otomobil bayii gelecek ay satacağı araba sayılarının olasılıklarının aşağıdaki gibi olacağına inanmaktadır. X x Bu dağılışa göre bayinin; a 5 ten fazla araba satması olasılığını bulunuz b Satışların beklenen değerini bulunuz c Satışların varyansını bulunuz a X6+X7+X80.15 xx b E(X (0.0(0+(0.08(1+(0.15( cvar(xe(x -[E(X].84 7
28 Sürekli Şans Değişkenleri Tanımlı olduğu aralıktaki tüm değerleri alabilen şans değişkenidir. Örnek: Televizyon tüpünün ömrü ( Üstel Elektrik ampüllerinin bozulmaya kadar geçen ki hayat süresi ( Üstel Ring hattında yolcunun durağa gelinen andan itibaren otobüsü bekleme süresi. ( Üniform Sürekli Şans Değişkenlerinin Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Sürekli değişkenlerdeki olasılık fonksiyonuna sürekli olasılık fonksiyonu, olasılık yoğunluk fonksiyonu, veya sadece yoğunluk fonksiyonu denir. Bir Sürekli değişkenin nokta olasılığı hesaplanabilir mi? Yanıt: HAYIR 8
29 Sürekli bir değişkenin değer aralığında sonsuz sayıda değer vardır. Değişkenin bunlar içinden belirli bir değeri alma olasılığı 1 0 olur. Bu yüzden, sürekli değişkenlere ait olasılık fonksiyonları, kesikli değişkenlerin aksine bu değişkenin belirli bir değeri alma olasılıklarının hesaplanmasına imkan vermez.. Bu fonksiyonlarda değişkenin belirli bir değer yerine belirli bir aralıkta değer alma olasılığının hesaplanması yoluna gidilir. Sürekli Şans Değişkenlerinin Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Olma Şartları 1- f(x her noktada tanımlı - Her x değeri için f(x 0 3- f ( x dx 1 olmalıdır f(xbu şartları sağlar ise bir olasılık yoğunluk fonksiyonudur. 9
30 Sürekli Şans Değişkeninin Beklenen Değeri ve Varyansı E(x xf ( x dx E ( x x f ( x dx Var(x E ( x E ( x [ ] x f ( x dx ( xf ( x dx Sonuç olarak bir şans değişkeninin a ve b gibi iki sabit sayı arasında kalan aralıkta bir değer alma olasılığı, bu değişkenin bu değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonun bu aralıktaki integralinin alınmasıyla oluşur. Pr ( < x < b a f ( x dx b a 30
31 f(x fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanıyor olsun 3 x,1 x f ( x 7 0, diger x' ler icin af(x olasılık yoğunluk fonksiyonu mudur? f tüm x ( x dx 1 fonksiyonudur x dx x 7 3 ise f(x olasılık yoğunluk olduğundan f(x olasılık yoğunluk fonksiyonudur b Pr{1.<x<1.6} olasılığını hesaplayınız f ( x dx x 7 1. dx 3 ( 1.6 ( 1. 7 x
32 KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Binom Dağılışı Binom Modelinin Özellikleri Deneylerin aynı koşullarda tekrarlanabilirlik özelliği vardır. Deneylerin yalnız iki mümkün sonucu vardır. Başarı olasılığı p, deneyden deneye değişmez. Başarısızlığın olasılığı q1-p olarak gösterilir Denemeler birbirinden bağımsızdır Binom Şans Değişkeni x, n denemede gözlenen başarı sayısıdır. Parametreleri n ve p dir. X x n,p : Xx olması olasılığı n p x Binom Dağılımının Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu p( x n x p x q n : deneme sayısı x : bir denemedeki başarı olasılığı : n denemedeki başarı sayısı (x 0, 1,,..., n 3
33 Binom Olasılık Fonksiyonunun Elde Edilmesi Gerçekleştirilen her bir Bernoulli deneyi birbirinden bağımsızdır ve olasılık fonksiyonu x p x.q 1 x x 0,1 idi. Bernoulli deneyi n defa tekrarlanır ise bu durumda toplam k adet başarı olmasının olasılığı k adet başarı olasılığı(p ile n-k adet başarısızlık olasılığının (q çarpımıdır. Bu durumda ; f ( x, x,..., x f(x.f(x...f(x 1 n p 1 x1 1 x1 x 1 x. q. p. q n... p. q x n 1 x n ( 1,1,0,,,,,1 p. p. q... p f x i p.q n x i x i 0,1 elde edilir. Burada x i k olup başarı sayısıdır. Böylece f k n k ( x, x... x p. q 1 n elde edilir. 33
34 Başarı ve başarısızlıkların oluşum sırası yani n sıralama önemsiz ise faklı şekilde ortaya k çıktığı için ; f n n k ( k x.p.q k olarak elde edilir. Binom Olasılık Dağılımı Örneği Olay: Bir parayı ardarda 4 kez atalım. Yazıların sayısıyla ilgilenelim. 3 yazı gelme olasılığı nedir? n! PX x np x n x p x p n x (, ( 1!(! PX ( 3 4,. 5 4!!(!. (
35 Binom Dağılımının Karakteristikleri Aritmetik Ortalama μ EX ( np Standart Sapma σ np ( 1 p X X n 5 p n 5 p X X Örnek: Bir alıcı partiler halinde batarya almaktadır. Bir parti 500 bataryadan oluşmaktadır ve her bir partiden 10 ar batarya rastgele alınarak test edilmektedir. Eğer test edilen bataryalardan en az 3 ü bozuk çıkarsa parti iade edilmektedir. a Partideki bataryaların %5 inin bozuk olması durumunda partinin kabul edilmesi olasılığı nedir? b Partideki bataryaların %5 inin bozuk olması durumunda partinin kabul edilmesi olasılığı nedir? Cevap: a kabul 0,9885 tir. b kabul 0,556 dır. 35
36 Hipergeometrik Dağılım 1 n deneme benzer koşullarda tekrarlanabilir Her denemenin mümkün sonucu vardır 3 Sonlu populasyondan iadesiz örnekleme yapılır 4Örnekleme iadesiz olduğundan başarı olasılığı deneyden deneye değişir NOT: Her dağılışın şekilsel yapısı parametrelerine göre değişir. Hipergeometrik Dağılımın Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu ( B( N - B P ( X x n - x ( N n X : X x olma olasılığı n : örnek hacmi N : anakütle hacmi B : anakütledeki başarı sayısı x : örnekteki başarı sayısı (x 0, 1,,..., n 36
37 Ortalama μ Hipergeometrik Dağılımın Karakteristikleri EX ( np p B/N için Standart Sapma σ np ( 1 p N n N 1 Örnek 10 öğrenciden oluşan bir anaokulu sınıfında 3 öğrenci grip olmuştur. Bu sınıftan rasgele seçilen 4 öğrenciden sini grip olması olasılığı nedir? ( 3( 10-3 X 4 - (
38 Örnek: Bir firma 10 luk partiler halinde elektrik motorları satın almaktadır. Firma bu ürünlerin giriş kalite kontrolu aşamasında 4 tanesini rastgele seçmekte ve fonksiyonellik testine tabi tutmaktadır. Eğer bu motorlardan 3 tanesi bozuk ise, alınan örnek içerisinde tanesinin bozuk çıkması olasılığı nedir? X ( ( (
39 Poisson Dağılımı 1.Süreç Olarak Poisson Belirli bir zaman aralığında ilgilenilen olayın ortaya çıkış sayısıyla ilgilenir. Birim başına olay: Zaman, uzunluk, alan,vb. 0 dakikada dükkana gelen müşteri sayısı Bir metrekare kumaştaki hata sayısı.binom Deneyinin Yaklaşımı Olarak n >0 ve p <0.05 olduğunda binom dağılışı poisson dağılışına yakınsar. Poisson Olasılık Dağılım Fonksiyonu PX ( x λ e -λ x! X x λ : X x olma olasılığı λ Beklenen başarı sayısı e.7188 x Birim başına başarı sayısı λ x 39
40 Poisson Dağılımının Karakteristikleri Aritmetik Ortalama μ EX ( λ N i 1 Standart Sapma σ λ X X i i X X λ λ X X Poisson Dağılımı Örneği Bir dükkana saatte 7 müşteri gelmektedir. 3 dakika içinde 4 müşteri gelme olasılığı nedir? Saatte 7 müşteri dakikada 1. müşteri 3 dakikada 3.6 müş. -λ e λ PX ( x λ x! e PX ( 436. x !
Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları
Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli ġans DeğiĢkenlerinin Olasılık Fonksiyonları X, şans değişkeni ve, 2,.., n ise bu tesadüfi değişkenin
DetaylıKesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları
Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.
DetaylıOlasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:
OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi
DetaylıDr. Mehmet AKSARAYLI
Dr. Mehmet AKSARAYLI Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir. Şans Değişkenleri KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli
DetaylıKESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı
KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı 1 Bernoulli Dağılımı Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte bernoulli
DetaylıOlasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:
OLSILIK opulasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. u hata payının ortaya çıkmasının sebebi
DetaylıOlasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:
OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi
DetaylıOlasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:
OLSILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi
DetaylıOlasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir.
OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi
DetaylıOLASILIK. Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru
OLSILIK opulasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. u hata payının ortaya çıkmasının sebebi
DetaylıRASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN
RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi
DetaylıOlasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:
ölüm 4 Olasılık 1 OLSILIK opulasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. u hata payının ortaya
DetaylıBİYOİSTATİSTİK Olasılıkta Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH
BİYOİSTTİSTİK Olasılıkta Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. slı SUNER KRKÜLH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim D. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr 1 OLSILIK Olasılık; Tablo
Detaylıİstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik
6.SUNUM İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik özellikleri (ortalama, varyans v.b. gibi) hakkında
DetaylıSÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım
SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ Üstel Dağılım Normal Dağılım 1 Üstel Dağılım Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Örnekleme Planlar ve Dağılımları Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım İncelenen olayın ait olduğu anakütlenin bütünüyle dikkate alınması zaman, para, ekipman ve bunun gibi nedenlerden dolayı
DetaylıDers 6: Sürekli Olasılık Dağılımları
Ders 6: Sürekli Olasılık Dağılımları Normal Dağılım Standart Normal Dağılım Binom Dağılımına Normal Yaklaşım Düzgün (uniform) Dağılım Üstel Dağılım Dağılımlar arası ilişkiler Bir rastgele değişkenin, normal
DetaylıEME Sistem Simülasyonu. Giriş. Olasılık Dağılımı. Rassal Degiskenler
EME 3105 1 Giriş Sistem Simülasyonu Önümüzdeki hafta simulasyon girdilerinin modellenmesinde kullanılan kesikli ve sürekli Simulasyonda İstatistiksel Modeller-I Ders 4 dağılımlar hatırlatılacaktır. Rassal
DetaylıÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ
ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ TEMEL KAVRAMLAR PARAMETRE: Populasyonun sayısal açıklayıcı bir ölçüsüdür ve anakütledeki tüm elemanlar dikkate alınarak hesaplanabilir. Ana kütledeki
DetaylıİÇİNDEKİLER. Ön Söz Saymanın Temel Kuralları Permütasyon (Sıralama) Kombinasyon (Gruplama) Binom Açılımı...
İÇİNDEKİLER Ön Söz... Saymanın Temel Kuralları... Permütasyon (Sıralama)... 8 Kombinasyon (Gruplama)... 6 Binom Açılımı... Olasılık... 9 İstatistik... 8... Dağılımlar... 5 Genel Tarama Sınavı... 6 RASTGELE
DetaylıOlasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:
ölüm 4 Olasılık 1 OLSILIK opulasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. u hata payının ortaya
DetaylıKESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM
KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM Eğer X kesikli rassal değişkeninin alabileceği değerler (,,..., ) eşit olasılığa sahip ise, kesikli düzgün dağılım söz konusudur. p(x) =, X=,,..., şeklinde gösterilir. Bir kutuda
DetaylıAnkara Üniversitesi, SBF İstatistik 2 Ders Notları Prof. Dr. Onur Özsoy 1
1 Rastgele bir denemede ortaya çıkması olası sonuçların tamamıdır Örnek: bir zar bir kez yuvarlandığında S= Yukarıdaki sonuçlardan biri elde edilecektir. Sonuçların her biri basit olaydır Örnek: Bir deste
DetaylıOlasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir.
5.SUNUM Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir. Günlük hayatta sıklıkla kullanılmakta olan olasılık bir olayın ortaya
DetaylıZ = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ
YTÜ-İktisat İstatistik II Merkezi Limit Teoremi 1 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ CENTRAL LIMIT THEOREM X 1,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun.
DetaylıTesadüfi Değişken. w ( )
1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere
Detaylıİstatistik 1. Bölüm 5 Olasılık Teorisi ve Kesikli Olasılık Dağılımları. Ankara Üniversitesi SBF, GYY
İstatistik 1 Bölüm 5 Olasılık Teorisi ve Kesikli Olasılık Dağılımları Bu Bölümde İşlenecek Konular Temel Olasılık Teorisi Örnek uzayı ve olaylar, basit olasılık, birleşik olasılık Koşullu Olasılık İstatistiksel
DetaylıDers 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları
Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Rastgele değişken kavramı Kesikli ve sürekli rastgele değişkenler İki boyutlu rastgele değişkenler Beklenen değer Varyans Örnek uzaydaki her elemanı bir sayıyla
Detaylı3/6/2013. Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları
Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı
DetaylıDers 6: Kesikli Olasılık Dağılımları
Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı
DetaylıBİYOİSTATİSTİK Bazı Olasılık Dağılışları Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH
BİYOİSTATİSTİK Bazı Olasılık Dağılışları Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr 1 Uygulamalı bilim
DetaylıDers 5: Kesikli Olasılık Dağılımları
Ders 5: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı
DetaylıDers 5: Kesikli Olasılık Dağılımları
Ders 5: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı
DetaylıSÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI
SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Sürekli verilerin göstermiş olduğu dağılışa sürekli olasılık dağılışı denir. Sürekli olasılık dağılışlarının fonksiyonlarına yoğunluk fonksiyonu denilmekte ve bu dağılışlarla
DetaylıProf.Dr.A.KARACABEY Doç.Dr.F.GÖKGÖZ RANDOM DEĞİŞKEN
SÜREKSİZ (DISCRETE) OLASILIK DAĞILIMLARI 1 RANDOM DEĞİŞKEN Nümerik olarak ifade edilebilen bir deneyin sonuçlarına rassal (random) değişken denir. Temelde iki çeşit random değişken vardır. ##süreksiz(discrete)
DetaylıALIŞTIRMALAR. Sayısal Bilginin Özetlenmesi:
İSTATİSTİK I ALIŞTIRMALAR Y.Doç.Dr. Hüseyin Taştan AÇIKLAMA: N: P. Newbold, İşletme ve İktisat için İstatistik, 4. basımdan çeviri. Çift sayılı alıştırmalar için kitabın arkasındaki çözümlere bakabilirsiniz.
DetaylıOLASILIK ve KURAMSAL DAĞILIMLAR
OLASILIK ve KURAMSAL DAĞILIMLAR Kuramsal Dağılımlar İstatistiksel çözümlemelerde; değişkenlerimizin dağılma özellikleri, çözümleme yönteminin seçimi ve sonuçlarının yorumlanmasında önemlidir. Dağılma özelliklerine
DetaylıOlasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları
KAVRAMLAR Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları Deney: belirli koşullar altında tekrarlanabilen ve her tekrarda farklı sonuçlar elde edilebilen işlemdir. Örneklem uzayı: bir denemenin tüm olası
DetaylıÖrnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2
Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S
DetaylıDr. Mehmet AKSARAYLI OLASILIK. Ders 3 / 1
Dr. Mehmet AKSARAYLI OLASILIK Ders 3 / 1 1 0 Kesin İmkansız OLASILIK; Bir olayın gerçekleşme şansının sayısal değeridir. N adet denemede s adet başarı söz konusu ise, da başarının nisbi frekansı lim (s/n)
DetaylıRastlantı Değişkenleri
Rastlantı Değişkenleri Olasılık Kütle Fonk. Example: A shipment of 8 similar microcomputers to a retail outlet contains 3 that are defective. If a school makes a random purchase of 2 of these computers,
DetaylıOLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir.
OLASILIK Olasılık belirli bir olayın olabilirliğinin sayısal ölçüsüdür. Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. 17 yy. da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya
DetaylıOlasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir.
OLSILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi
Detaylıİçindekiler. Ön Söz... xiii
İçindekiler Ön Söz.................................................... xiii Bölüm 1 İstatistiğe Giriş....................................... 1 1.1 Giriş......................................................1
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 Prof. Dr. Nihal ERGİNEL
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ENM 317 Prof. Dr. Nihal ERGİNEL 2 ÖRNEKLEME Anakütleden n birimlik örnek alınması ve anakütle parametrelerinin örnekten tahmin edilmesidir. 3 ÖRNEKLEME ALMANIN NEDENLERİ Anakütleye
DetaylıRastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler
Rastgele Değişkenlerin Dağılımları Mühendislikte İstatistik Yöntemler Ayrık Rastgele Değişkenler ve Olasılık Dağılımları Yapılan çalışmalarda elde edilen verilerin dağılışı ve dağılış fonksiyonu her seferinde
DetaylıTablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01
Ortak Varyans ve İstatistiksel Bağımsızlık Bir rassal değişken çifti istatistiksel olarak bağımsız ise aralarındaki ortak varyansın değeri 0 dır. Ancak ortak varyans değerinin 0 olması, iki rassal değişkenin
DetaylıİSTATİSTİK DERS NOTLARI
Balıkesir Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü umutokkan@balikesir.edu.tr İSTATİSTİK DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Umut OKKAN Hidrolik Anabilim Dalı Balıkesir Üniversitesi Balıkesir Üniversitesi İnşaat
Detaylı1.58 arasındaki her bir değeri alabileceği için sürekli bir
7.SUNUM Hatırlanacağı gibi, kesikli rassal değişkenler sonlu (örneğin; 0, 1, 2,...,10) veya sayılabilir sonsuzlukta (örneğin; 0, 1, 2,...) değerler alabilmektedir. Fakat birçok uygulamada, rassal değişkenin
DetaylıTEK BOYUTLU RASSAL DEĞİŞKENLER
TEK BOYUTLU RASSAL DEĞİŞKENLER Rassal değişken: S örnek uzayının her bir basit olayını yalnız bir gerçel değere dönüştüren fonksiyonuna rassal (tesadüfi) değişken denir. İki para birlikte atıldığında üste
Detaylırasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
3.6. Bazı Sürekli Dağılımlar 3.6.1 Normal Dağılım Normal dağılım hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılımdır. Normal dağılımın istatistikte önemli bir yerinin olmasının
DetaylıIE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R
IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R Geçen Ders Envanter yonetımı: Gazetecı problemı Rastsal Rakamlar Üret Talebi hesapla Geliri hesapla Toplam maliyeti hesapla Günlük ve aylık
DetaylıDENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ
DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS OLASILIK VE İSTATİSTİK FEB-222 2/ 2.YY 3+0+0 3 3 Dersin Dili Dersin Seviyesi
DetaylıTanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN
Tanımlayıcı İstatistikler Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 Tanımlayıcı İstatistikler Yer Gösteren Ölçüler Yaygınlık Ölçüleri Merkezi Eğilim Ölçüleri Konum Ölçüleri 2 3 Aritmetik Ortalama Aritmetik ortalama,
Detaylı3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI
ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 İSTATİSTİK ve SAYISAL BİLGİ 11 1.1 İstatistik ve Önemi 12 1.2 İstatistikte Temel Kavramlar 14 1.3 İstatistiğin Amacı 15 1.4 Veri Türleri 15 1.5 Veri Ölçüm Düzeyleri 16 1.6
DetaylıOlasılık Kuramı ve İstatistik. Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları
Olasılık Kuramı ve İstatistik Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları OLASILIK Olasılık teorisi, raslantı ya da kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Raslantı
DetaylıMAT 208 İSTATİSTİK ve OLASILIK II ALIŞTIRMALAR-1
MAT 208 İSTATİSTİK ve OLASILIK II ALIŞTIRMALAR-1 şeklinde tanımlanan dağılımın a) Ortalama ve varyans değerlerini bulunuz b) Moment yaratma fonksiyonunu bularak a-şıkkını tekrar çözünüz. Bir tezgahta üretilen
DetaylıMIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
DetaylıDokuz Eylül Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü
Dokuz Eylül Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü END 2303 İstatistik-I Bölüm 1: İstatistiğe Giriş: Temel kavramlar ve Olasılık Teorisi Dr. Öğr. Üyesi Kemal SUBULAN http://kisi.deu.edu.tr/kemal.subulan/
Detaylı13. Olasılık Dağılımlar
13. Olasılık Dağılımlar Mühendislik alanında karşılaşılan fiziksel yada fiziksel olmayan rasgele değişken büyüklüklerin olasılık dağılımları için model alınabilecek çok sayıda sürekli ve kesikli fonksiyon
DetaylıSÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER
SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ ÖRNEK: GEOMETRİK DAĞILIM
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ KESİKLİ DAĞILIMLAR-2 DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 GEOMETRİK DAĞILIM Bir Bernoulli deneyi ilk olumlu sonuç elde edilmesine kadar tekrarlansın. X: ilk olumlu sonucun
DetaylıSİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN
SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ Günümüz simülasyonları gerçek sistem davranışlarını, zamanın bir fonksiyonu olduğu düşüncesine dayanan Monte Carlo yöntemine dayanır. 1.
Detaylı0.04.03 Standart Hata İstatistikte hesaplanan her istatistik değerin mutlaka hatası da hesaplanmalıdır. Çünkü hesaplanan istatistikler, tahmini bir değer olduğu için mutlaka hataları da vardır. Standart
DetaylıYapılan alan araştırması sonucunda aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. ( ) ( ) ( ) ( )
İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK Rassal bir deneme yapılmakta ve farklı iki olay ile ilgilenilmektedir. A 1, A 2,,A i olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır. B 1, B 2,,B j olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır.
DetaylıOLASILIK (Probability)
OLASILIK (Probability) Olasılık, bir olayın meydana gelme, ortaya çıkma şansını ifade eder ve P ile gösterilir. E i ile gösterilen bir basit olayın olasılığı P (E i ), A bileşik olayının olasılığıysa P
DetaylıALKÜ EKONOMİ ve FİNANS BÖLÜMÜ ISL 207 İSTATİSTİK I ALIŞTIRMALAR
ALKÜ EKONOMİ ve FİNANS BÖLÜMÜ ISL 207 İSTATİSTİK I ALIŞTIRMALAR 1- İlaçla tedavi edilen 7 hastanın ortalama iyileşme süresi 22.6 gün ve standart sapması.360 gündür. Ameliyatla tedavi edilen 9 hasta için
DetaylıMatematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran
Matematik Ders Notları Doç. Dr. Murat Donduran Mart 18, 28 2 İçindekiler 1 Tanımlı Integral Uygulamaları 5 1.1 Olasılık.............................. 5 3 4 İÇINDEKILER Bölüm 1 Tanımlı Integral Uygulamaları
DetaylıDeney Dizaynı ve Veri Analizi Ders Notları
Deney Dizaynı ve Veri Analizi Ders Notları Binom dağılım fonksiyonu: Süreksiz olaylarda, sonuçların az sayıda seçenekten oluştuğu durumlarda kullanılır. Bir para atıldığında yazı veya tura gelme olasılığı
Detaylı8.Hafta. Değişkenlik Ölçüleri. Öğr.Gör.Muhsin ÇELİK. Uygun değişkenlik ölçüsünü hesaplayıp yorumlayabilecek,
İSTATİSTİK 8.Hafta Değişkenlik Ölçüleri Hedefler Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Uygun değişkenlik ölçüsünü hesaplayıp yorumlayabilecek, Serilerin birbirlerine değişkenliklerini yorumlayabileceksiniz. 2
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Ders 8: Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Tahmin (kestirim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmaktır. Bu anlamda, anakütleden çekilen
DetaylıNORMAL DAĞILIM. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına uyan rassal bir değişkense ve 'a gidiyorsa,
NORMAL DAĞILIM TEORİK 1., ortalaması, standart sapması olan bir normal dağılıma uyan rassal bir değişkense, bir sabitken nin beklem üreten fonksiyonunu bulun. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Ders 4: OLASILIK TEORİSİ Giriş Bu bölüm sonunda öğreneceğiniz konular: Rastgele Olay Örnek Uzayı Olasılık Aksiyomları Bağımsız ve Ayrık Olaylar Olasılık Kuralları Koşullu Olasılık
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ BEKLENEN DEĞER. X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = BEKLENEN DEĞER Belli bir malzeme taşınan kolilerin ağırlıkları
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ OLASILIĞA GİRİŞ DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması
DetaylıOLASILIĞA GİRİŞ P( )= =
OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması olasılığı %85 dir. Olasılık modelleri; Sıvı içindeki moleküllerin davranışlarını
DetaylıYrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü
Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 GİRİŞ Olasılık Teorisi: Matematiğin belirsizlik taşıyan
DetaylıSÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI
SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI Sayı ekseni üzerindeki tüm noktalarda değer alabilen değişkenler, sürekli değişkenler olarak tanımlanmaktadır. Bu bölümde, sürekli değişkenlere uygun olasılık dağılımları üzerinde
DetaylıSÜREKSİZ(DISCRETE) OLASILIK DAĞILIMLARI
SÜREKSİZ(DISCRETE) OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç.Dr. İrfan Yolcubal Kocaeli Üni. Jeoloji Müh. Random Değişken: Nümerik olarak ifade edilen bir deneyin sonuçları Süreksiz(Discrete) Random Değişken: Randomdeğişken
DetaylıÖrneklem Dağılımları ve Merkezi Limit Teoremi
Örneklem Dağılımları ve Merkezi Limit Teoremi Çıkarımsal İstatistik (Inferential Statistics) : Örneklemden yola çıkarak ana kütleyle (popülasyonla) ilgili çıkarımlarda bulunmak (Smidt, 2001) İstatistiksel
DetaylıBölüm 3. Tanımlayıcı İstatistikler
Bölüm 3 Tanımlayıcı İstatistikler 1 Tanımlayıcı İstatistikler Bir veri setini tanımak veya birden fazla veri setini karşılaştırmak için kullanılan ve ayrıca örnek verilerinden hareket ile frekans dağılışlarını
DetaylıÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI
ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI 1 Rassal Değişken Bir deney ya da gözlemin şansa bağlı sonucu bir değişkenin aldığı değer olarak düşünülürse, olasılık ve istatistikte böyle bir
DetaylıMIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
DetaylıFaktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir,
14. Binom ve Poisson olasılık dağılımları Faktöriyeller ve kombinasyonlar Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, n! denir ve n! = 1.2.3...(n-2).(n-l).n biçiminde gösterilir.
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Ders 5: Rastgele Değişkenlerin Dağılımları II Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Sık Kullanılan Dağılımlar Frekans tablolarına dayalı histogram ve frekans poligonları, verilerin dağılımı hakkında
DetaylıSÜREKLİ DÜZGÜN DAĞILIM
SÜREKLİ DÜZGÜN DAĞILIM X rassal değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu; şeklinde ise x e düzgün dağılmış rassal değişken, f(x) e sürekli düzgün dağılım denir. a 0 olduğuna göre, f(x) >0 olur.
DetaylıÖrnek 4.1: Tablo 2 de verilen ham verilerin aritmetik ortalamasını hesaplayınız.
.4. Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri Merkezi eğilim ölçüleri kitleye ilişkin bir değişkenin bütün farklı değerlerinin çevresinde toplandığı merkezi bir değeri gösterirler. Dağılım ölçüleri ise değişkenin
Detaylıkümeleri sırasıyla n 1, n 2,..., n k eleman içeriyorsa, önce A 1 nin bir elemanını seçmenin n 1
3. Olasılık Hesapları ve Olasılık Dağılımları 3.3. Sayma Teknikleri Olasılık hesapları ve istatistikte birçok problem, verilen küme elemanlarının sayılmasını veya sıralanmasını gerektirir. Eğer bir olayın
DetaylıUygulama 3 Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH
BİYOİSTATİSTİK Uygulama 3 Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr Olasılık Hatırlatma Olasılık teorisi,
DetaylıParametrik Olmayan İstatistik. Prof. Dr. Cenk ÖZLER
Parametrik Olmayan İstatistik Prof. Dr. Cenk ÖZLER Not: Beklenen Frekansı 5 in altında olan gruplar varsa, bu gruplar bir önceki veya bir sonraki grupla birleştirilir. Hipotezler χ 2 Dağılışa Uyum Testi
DetaylıÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları
ÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları. 9 + = 6. A dan B ye 5 farklı şekilde gidebilir. B den C ye 3 farklı şekilde gidebilir. 5.3 = 5. 4.5 = 0 7. 5.3.3.5 5 3. kişi için iki durum
DetaylıMühendislikte İstatistiksel Yöntemler
Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler BÖLÜM 7 TAHMİNLER Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU 1 Tahmin (kestirim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmaktır.
DetaylıWEIBULL DAĞILIMI WEIBULL DAĞILIMI ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ SÜREKLİ DAĞILIMLAR-2 DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 WEIBULL DAĞILIMI Weibull dağılımı, pek çok farklı sistemlerin bozulana kadar geçen süreleri ile ilgilenir. Dağılımın
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM317 Mühendislik İstatistiği İSTATİSTİKSEL TAHMİN Prof. Dr. Nihal ERGİNEL
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ENM317 Mühendislik İstatistiği İSTATİSTİKSEL TAHMİN Prof. Dr. Nihal ERGİNEL İSTATİSTİKSEL TAHMİN Örnekten anakütle parametrelerinin tahmin edilmesidir. İki tür tahminleme yöntemi vardır:
DetaylıRassal Değişken. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK
Rassal Değişken Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr S örnek uzayı içindeki her bir basit olayı yalnız bir gerçel (reel) değere dönüştüren fonksiyona rassal değişken adı verilir. O halde
DetaylıBaşarı olasılığı olan bir Bernoulli denemesinin aynı şartlar altında (bağımsız olarak) n kez tekrarlanması ile oluşan deneye binom deneyi denir.
3.5. Bazı Kesikli Dağılımlar 3.5.1. Bernoulli Dağılımı Bir deneyde başarı ve başarısızlık diye nitelendirilen iki sonuçla ilgilenildiğinde bu deneye (iki sonuçlu) Bernoulli deneyi ya da Bernoulli denemesi
DetaylıİSTATİSTİK II. Hipotez Testleri 1
İSTATİSTİK II Hipotez Testleri 1 1 Hipotez Testleri 1 1. Hipotez Testlerinin Esasları 2. Ortalama ile ilgili bir iddianın testi: Büyük örnekler 3. Ortalama ile ilgili bir iddianın testi: Küçük örnekler
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık -II Prof. Dr. İrfan KAYMAZ İki Ortalama Farkının Güven Aralığı Anakütle Varyansı Biliniyorsa İki ortalama arasındaki farkın dağılımına ilişkin Z değişkeni: Güven aralığı ifadesinde
DetaylıGAZİ ÜNİVERSİTESİ, İ.İ.B.F, İSTATİSTİK VE OLASILIĞA GİRİŞ I, UYGULAMA SORULARI. Prof. Dr. Nezir KÖSE
GAZİ ÜNİVERSİTESİ, İ.İ.B.F, İSTATİSTİK VE OLASILIĞA GİRİŞ I, UYGULAMA SORULARI Prof. Dr. Nezir KÖSE 30.12.2013 S-1) Ankara ilinde satın alınan televizyonların %40 ı A-firması tarafından üretilmektedir.
DetaylıRD lerin Fonksiyonları
RD lerin Fonksiyonları Diğer değişkenler gibi rastgele değişkenlerin de fonksiyonları olur Örneğin 0 ile 1 arasında rastgele seçilmiş bir çap uzunluğu ile oluşturulan dairenin alanı bir RD olarak çap uzunluğunun
Detaylı