STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN

Transkript

1 Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri DAĞHAN MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK

2 MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ - Skalerler ve Vektörler - Newton Kanunları. KUVVET SİSTEMLERİ - İki Boutlu Kuvvet Sistemleri - Üç Boutlu Kuvvet Sistemleri. DENGE - Düzlemde Denge - Üç Boutta Denge 4. YAPILAR - Düzlem Kafes Sistemler - Çerçeveler ve Makinalar 5. SÜRTÜNME 6. KÜTLE MERKEZLERİ ve GEOMETRİK MERKEZLER

3 STATİK 6 KÜTLE MERKEZLERİ ve GEOMETRİK MERKEZLER

4 Statik Kütle Merkezi 6. Kütle Merkezleri ve Geometrik Merkezler 1 Bir cismin ağırlığı aslında bir tek kuvvet değildir. Ağırlık kuvveti cismin hacmi üzerinde aılmış olan aılı bir kuvvettir. Ama problem çözerken kolalık olsun die bu aılı kuvvetin erine geçen bir bileşke kuvvet göz önüne alınır. G W Statik dersinde kuvvet vektörünün bir tesir çizgisi vardır. Bileşke ağırlık kuvvetinin de bir tesir çizigisi vardır ve nereden geçtiği bilinmelidir. Bir cisim herhangi bir noktasından tavana bir iple asılarak ağırlık kuvvetinin tesir çizgisi bulunabilir. Çünkü ağırlık kuvvetinin tesir çizgisi daima ip ile çakışıktır. Farklı noktalardan asarak elde edilen farklı tesir çizgilerinin hepsinin anı bir noktada kesiştiği görülür. İşte bu noktaa kütle merkezi vea ağırlık merkezi denir. Kütle merkezini G ile göstereceğiz. G (,, z )

5 Statik 6. Kütle Merkezleri ve Geometrik Merkezler A B A B G G A W W W Kütle merkezinin erini hesap aparak bulmak için Varignon teoreminden fadalanılır. W = dw Diferansiel eleman z O el el dw W G (,, z ) z el el el z el Diferansiel elemanın kütle merkezinin koordinatları -eksenine göre moment alarak: W = el dw el dw = W Benzer şekilde: el dw = W z el dw z = W W = g m dw = g dm el dm = m el dm = m z el dm z = m

6 Statik dm = ρ dv el ρ dv el ρ dv z el ρ dv = = z = ρ dv ρ dv ρ dv 6. Kütle Merkezleri ve Geometrik Merkezler ρ : Yoğunluk, birim hacmin kütlesi ise (Homojen cisim) el dv el dv z el dv = = z = V V V Simetri düzlemi Simetri düzlemi G Simetri düzlemi Homojen bir cismin kütle merkezi, varsa, simetri düzlemi üzerindedir. Eğer birbirini kesen iki tane simetri düzlemi varsa kütle merkezi simetri düzlemlerinin kesişme doğrusu üzerindedir. Bu doğruu da kesen bir simetri düzlemi daha varsa o zaman doğrunun düzlemi kestiği nokta cismin kütle merkezidir.

7 Statik 6. Kütle Merkezleri ve Geometrik Merkezler 4 Geometrik Merkez Homojen bir cismin kütle merkezi bulunurken cismin sadece geometrisi ile ilgilenmek eterli olur. ismin sedece geometrisi ile ilgilenilerek bulunan merkeze geometrik merkez denir. Homojen bir cismin kütle merkezi geometrik merkez ile çakışıktır. Dolaısı ile herhangi bir cismin, cisim homojen kabul edilerek, kütle merkezi bulunursa geometrik merkezi bulunmuş olur. Geometrik merkezi harfi ile göstereceğiz. (,, z ) el dv el dv z el dv = = z = V V V el el z el Diferansiel elemanın geometrik merkezinin koordinatları t = sb. ise (Kalınlık sabit) A = sb. ise (Kesit alanı sabit) dv = t da dv = A dl el da el da z el da = = z = A A A el dl el dl z el dl = = z = L L L

8 Statik 6. Kütle Merkezleri ve Geometrik Merkezler 5 6/1 Herhangi bir çember parçasının geometrik merkezinin erini bulunuz. A = sb. Çözüm Bir cismi homojen kabul ederek kütle merkezi bulunursa o cismin geometrik merkezi bulunmuş olur. Homojen bir cismin kütle merkezi, varsa, simetri ekseni üzerindedir. Bir çember parçası, kesit alanı sabit olan bir cisim olarak göz önüne alınabilir. Kesit alanı sabit olan bir cismin geometrik merkezini bulurken sadece bou ile ilgilenmek eterli olur. Ya parçasının simetri ekseni, -ekseni ile çakıştırılırsa: O = O r Tam çemberin geometrik merkezi Ya parçasının geometrik merkezi θ = dθ θ dl = r dθ O θ = L = el dl L = r el = r cosθ dl = r dθ (r) = (r cosθ) (r dθ) (r) = r (sinθ r sin = Bu nın birimi daima radandır. O =? Geometrik merkez, cismin dışında da olabilir. r sin O =! Bu değer, seçilen eksen takımından bağımsızdır.

9 Statik 6. Kütle Merkezleri ve Geometrik Merkezler 6 6/1 Herhangi bir çember parçasının geometrik merkezinin erini bulunuz. A = sb. r sin O = Bu değer, seçilen eksen takımından bağımsızdır. Yarım çember Çerek çember O r π O = π/ r sin O = r O = π = π/4 r sin O = r O = π O =? = 0, r = π! r = = π Bu koordinatlar, eksenler ukarıdaki gibi seçilirse geçerlidir.

10 Statik 6. Kütle Merkezleri ve Geometrik Merkezler 7 6/ Herhangi bir üçgenin geometrik merkezinin herhangi bir tabanına uzaklığını bulunuz. t = sb. Çözüm Bir üçgen, kalınlığı sabit olan bir cisim olarak göz önüne alınabilir. Kalınlığı sabit olan bir cismin geometrik merkezini bulurken sadece üze alanı ile ilgilenmek eterli olur. Üçgenin tabanı, -ekseni ile çakıştırılırsa: a h =?! Diferansiel elemanı seçerken olabildiğince tek aşamada sonuca gidebilecek şekilde seçmee dikkat edilmelidir. Yukarıdaki gibi bir seçim apılırsa sınırlar değişik olduğu için problemi iki bölümde çözmek gerekecektir. d s a A = el da a h A = el = da = s d s h = a h h a h a = (h ) d 0 h a h a h = (h h 0 h = Herhangi bir üçgenin geometrik merkezinin herhangi bir tabanına uzaklığı o tabandan ölçülen üksekliğinin üçte biri kadardır.

11 Statik 6. Kütle Merkezleri ve Geometrik Merkezler 8 6/ Herhangi bir daire parçasının geometrik merkezinin erini bulunuz. t = sb. Çözüm Bir daire parçası, kalınlığı sabit olan bir cisim olarak göz önüne alınabilir. Kalınlığı sabit olan bir cismin geometrik merkezini bulurken sadece üze alanı ile ilgilenmek eterli olur. Daire parçasının simetri ekseni, -ekseni ile çakıştırılırsa: Simetri ekseni -ekseni ile çakıştırıldığı için: O = Tam dairenin geometrik merkezi O Daire parçasının geometrik merkezi θ = dθ θ θ = Bu diferansiel elemanın şekli, her ne kadar bir daire parçası ise de bir üçgen gibi kabul edilebilir. A = el da Herhangi bir üçgenin ( r dθ ) = ( r cos θ ) ( r ) geometrik merkezinin herhangi bir tabanına uzaklığı A = r o tabandan ölçülen ( r el = r cos θ r ) = (sin θ üksekliğinin üçte biri kadardır. dθ da = r r sin =! Bu nın birimi daima radandır. O r O =? r sin O = Bu değer, eksen takımından bağımsız olarak daima geçerli olan bir değerdir. Bir daire parçasının geometrik merkezinin O a uzaklığı, a parçasınınkinin katıdır.

12 Statik 6. Kütle Merkezleri ve Geometrik Merkezler 9 6/ Herhangi bir daire parçasının geometrik merkezinin erini bulunuz. t = sb. r sin O = Bu değer, eksen takımından bağımsız olarak daima geçerli olan bir değerdir. Bir daire parçasının geometrik merkezinin O a uzaklığı, a parçasınınkinin katıdır. Yarım daire Çerek daire O =? O = π/ = π/4 r 4 r O = = r sin r sin O = π π O = = 0, 4 r = π 4 r π! O 4 r = = π 4 r O = π Bu koordinatlar, eksenler ukarıdaki gibi seçilirse geçerlidir.

13 Statik 6. Kütle Merkezleri ve Geometrik Merkezler 10 6/4 Şekildeki alanın geometrik merkezinin koordinatlarını bulunuz. Behcet DAĞHAN a t = sb. d (,) A (a,b) Çözüm = k A noktasında: = a a = k b = b a k = b b = k =? =? el da = d b a A = d 0 b a b A = A = el da da = d el = a b A = b a b = ( d) 0 b a b k = 4 d 0 b a b a 5 = ( b = a 10 A = el da da = d el = a b A = b a b = ( d) 0 b a b = k d 0 b a b a 4 = ( b 4 0 = b 4

14 Statik 6. Kütle Merkezleri ve Geometrik Merkezler 11 Bileşik isimler ve Şekiller Kütle merkezi bulunacak olan cismin tamamı basit bir geometrie sahip olmaabilir. Eğer basit geometrik şekle sahip cisimlerin eklenip çıkarılması ile elde edilebilen bir cisim ise o zaman ine Varignon teoreminden fadalanılabilir. Eklenen cismin kütlesi pozitif olarak, çıkarılan cismin kütlesi negatif olarak alınır. 1 (m 1 + m + m ) X = m m + m Σ m i X = Σ m i i i=1 i=1 G Genelleştirme aparak: G 1 G G m 1 X m m Σm X = Σm Σm Y = Σm Σm z Z = Σm Üstten görünüş Homojen bir cismin, - kütlesinin erine hacmi ile, - kalınlığı da sabit ise üze alanı ile, - vea kesit alanı da sabit ise bou ile ilgilenmek eterli olur.

15 Statik 6. Kütle Merkezleri ve Geometrik Merkezler 1 6/5 Şekildeki alanın geometrik merkezinin koordinatlarını bulunuz. Çözüm t = sb. + + = a a/ 1 = 1 = 4 a a/ = π ΣA π a 4 a (a/) a a/ + ( ) X = π a A ΣA 1 = = a X = A A A = 4 π 1 + A π a 4 (a/) a + ( ) 4 (a/) a A = 7 a X = 6 (π 1) X =? Y =? ΣA Y = ΣA π a 4 a (a/) a a + ( ) A A 4 π Y = = A 1 + A π a (a/) a + ( ) 4 a Y = π 1

16 Statik 6. Kütle Merkezleri ve Geometrik Merkezler 1 6/6 Şekildeki gibi bükülmüş olan çubuğun geometrik merkezinin koordinatlarını bulunuz. Behcet DAĞHAN Çözüm A = sb. 00 mm 150 mm + = 1 1 = 150 mm 1 = 150 mm L 1 = 00 mm r 00 = = mm π π = 0 L = 150 π mm ΣL X = ΣL 00 L L 00 ( 150) π π X = = L 1 + L π X = 0 X =? Y =? ΣL Y = ΣL L L 00 ( 150) π (0) Y = = L 1 + L π Y = 58. mm

17 Statik 6. Kütle Merkezleri ve Geometrik Merkezler 14 6/7 Şekildeki gibi kesilmiş ve bükülmüş olan levhanın geometrik merkezinin koordinatlarını bulunuz. t = sb. Çözüm 1. -z düzlemindeki dikdörtgen (50400): (mm) (mm) z (mm) A (mm ) z düzlemindeki dikdörtgen (175400): z düzlemindeki üçgen (10000): X =? Y =? Z =? ΣA X = ΣA (0) (87.5) + ( ) (0) X = ( ) ΣA Y = ΣA (15) (0) + ( ) (16.7) Y = ( ) ΣA z Z = ΣA (00) (00) + ( ) (66.7) Z = ( ) X = 8. mm Y = 64.6 mm Z = 08. mm