VEKTÖRLER DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU

Transkript

1 VEKTÖRLER DOÇ.DR. KMİLE TOSUN ELEKOĞLU 1

2 Mekanik olaylaı ölçmekte ya da değelendimekte kullanılan matematiksel büyüklükle: Skale büyüklük: sadece bi sayısal değei tanımlamakta kullanılı, pozitif veya negatif olabili. Kütle, hacim ve uzunluk statikte sıkça kullanılan skaleledi. Vektöel büyüklük: Şiddet, doğultu ve yön ile belitilen fiziksel bi büyüklüktü. Kuvvet, moment, konum vektöel bie büyüklüktü. Vektö, yönlenmiş bi doğu paçasıyla temsil edili. KT 2

3 Vektöün, doğultusunu bi doğu, yönünü bi ok, şiddetini de okun boyu belile. Vektöle hafin üzeine kısa bi ok çizileek gösteili. Bu şekilde gösteilen vektöün şiddeti ile ifade edili. KT 3

4 Vektöelİşlemle Vektöün bi skalele çapımı veya bölümü bi vektöün bi skalele çapımı veya bölümü, yine aynı vektö doğultusunda yeni bi vektö vei. Bu vektöün şiddeti, skale ile mevcut vektöün şiddetinin çapımına eşitti KT 4

5 Vektölein Toplamı Vektöle paalelkena ilkesi kullanılaak bibiiyle toplanı. ve B vektölei başlangıç noktalaında bileştiili. He bi vektöün ucundan diğe vektöe çizilen paalel doğula paalelkenaı oluştuu. R bileşkesi ve B nin başlangıcından doğulaın kesiştiği noktaya çizilen doğudu. R bileşkesi paalelkenaın köşegenidi. R B KT 5

6 Vektölein Toplamı ve B vektöleini paalelkena ilkesinin özel bi uygulaması olan üçgen ilkesi ne göe de toplayabiliiz. vektöünün ucuna B vektöü ekleni, nın başlangıcı ile B nin ucu bileştiili ve R bileşke vektö elde edili. Vektö toplamı komutatif ti, vektöle hehangi bi sıada toplanabili. R KT 6 B B

7 Vektölein Toplamı ve B vektöü aynı etki çizgisine sahipse paalelkena kualı cebisel (skale) toplama indigeni. R B (şiddetlein toplamı) KT 7

8 Vektö Çıkaması ve B vektöleinin çıkaılması için paalelkena veya üçgen kualı kullanılabili. ve B vektölei aasındaki fak bileşke vektöü: R B ( B) Vektö toplamı için uygulanan kualla vektö çıkaması için de kullanılmaktadı. KT 8

9 Kuvvetlein Vektöel Toplamı Kuvvetle, belli bi büyüklük, doğultu ve yöne sahipti ve vektöel bi büyüklük olduğu için paalelkena kualına göe toplanı. Statikteki iki genel poblem: Bileşenleden bileşke kuvvet bulmak Bilinen bi kuvveti bileşenleine ayımak KT 9

10 Bi kuvvetin bileşenleine ayılması Bi noktaya etkiyen bi tek vektö yeine aynı etkiyi yapacak iki veya daha fazla vektö koymak mümkündü.bunlaa vektöün bileşenlei deni. Bu bileşenlei bulabilmek için: İki bileşenden düzlemde bii, uzayda ise üç bileşenden ikisi bilinmelidi. Bileşenlein tesi çizgilei bilinmelidi. KT 10

11 İkiden fazla kuvvetin toplanması İkiden fazla kuvvet toplanacaksa, bileşke kuvveti bulmak için paalelkena kualı biden fazla uygulanabili. R ( ) 1 2 KT 11 3

12 nalizde izlenecek yol Paalelkena kualı Tigonometi KT 12

13 Önek 1 1 ve 2 kuvvetleinin bileşkesini ve yönünü bulunuz. Çözüm: KT 13

14 Kosinüs teoemi nden: Önek 1 Sinüs teoeminden: KT 14

15 Önek N 200 N Bu iki kuvvetin bileşkesinin y ekseni üzeinde olması için kuvvetinin şiddetini bulunuz. 200 N 200 N Sin60 Sin N R 200 N Sin75 Sin N KT 15 R

16 Önek N 600N luk kuvveti u ve v eksenleinde bileşenleine ayıınız. KT 16

17 600 N 600 N 600 N u sin N sin 30 u 1039N v sin N sin 30 v 600N

18 Önek 4 2 kuvvetinin şiddetini, yönünü ve bileşke kuvveti bulunuz. (bileşke kuvvet x ekseni üzeinde, 2 kuvveti ise minimum şiddette olsun)

19 Düzlemsel kuvvetlein toplanması (Katezyen Koodinatla) Eğe bi kuvvet x ve y eksenleindeki bileşenleine ayılısa, bu bileşenlee katezyen bileşenle deni. x ve y eksenlei pozitif ve negatif yönle belittikleinden, bi kuvvetin dik bileşenleinin büyüklüğü ve yönü cebisel skalelele ifade edilebili. Skale gösteim:.cosθ.sinθ KT 19 x y

20 vektöünün yönü, θ açısı yeine küçük eğim üçgeni ile de gösteilebili. x y a ( ) c b ( ) c veya veya x y a c b c y vektöünün yönü negatif y ekseninde olduğundan y bileşeni negatifti, bu nedenle hesaplamalada (-) işaeti kullanılmalıdı. KT 20

21 Katezyen vektö gösteimi Bi kuvvetin bileşenlei, katezyen biim vektöle cinsinden ifade edilebili. x ve y eksenleinin doğultulaını belitmek için sıasıyla i ve j katezyen biim vektölei kullanılı. Bu vektöle, boyutsuz biim uzunluktadı ve yönlei (ok ucu), pozitif veya negatif x ve y eksenini işaet etmesine bağlı olaak, atı veya eksi işaeti ile gösteili. x iˆ y ˆj KT 21

22 KT 22 ynı düzlemdeki kuvvetlein bileşkelei Bi kuvvetin bileşenleini göstemede kullanılan iki yöntem de çok sayıda düzlemsel kuvvetin bileşkesini belilemek için de kullanılabili. Bunun için, he bi kuvvet önce x ve y bileşenleine ayılı ve sona kaşılıklı bileşenle aynı doğu üzeinde bulunduklaından skale cebi kullanılaak toplanı. j i j i j i y x y x y x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

23 KT 23 ynı düzlemdeki kuvvetlein bileşkelei R VEKTÖREL TOPLM SKLER TOPLM j i j i j i j i j i Ry Rx y y y x x x y x y x y x R ˆ ˆ ˆ ) ( )ˆ ( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y y y Ry x x x Rx

24 İkiden fazla kuvvetin toplanması Rx Ry x y Hehangi bi sayıda düzlemsel kuvvetin bileşkesinin x ve y bileşenlei, bütün kuvvetlein x ve y bileşenleinin cebisel toplamıyla bulunabili. KT 24

25 Rx Ry x y Bileşkenin bileşenlei belilendikten sona, şekildeki gibi, x ve y eksenlei boyunca çizilebili. Bileşke kuvvet vektö toplamından belilenebili. Bileşkenin büyüklüğü ve yönü ise şu şekilde bulunabili. R 2 Rx 2 Ry θ tan 1 KT 25 Ry Rx

26 Önek 5: Şekilde gösteilen kuvvetlein bileşkesini biim vektölei kullanaak bulunuz KT 26

27 100N 173N 2 x 12 2 x 240N 260N 13 2 y 5 2 y 100N 260N 13 { i 173 ˆj } 1 100ˆ N { 240ˆ i 100 ˆj } 2 N R 1 2 { 140ˆ i 73 ˆj }N KT 27 1x 1y 200.sin cos 30

28 Önek 6 Etkiyen kuvvetlein bileşkesinin y ekseni boyunca olması ve şiddetinin de 800 N olması için 1 kuvvetinin şiddetini, θ açısının ne olması geektiğini bulunuz KT 28

29

30 Önek 7 Şekilde gösteilen kuvvetlein bileşkesini bulunuz

31 ÇÖZÜM 1:

32

33 ÇÖZÜM 2:

34 Katezyen Vektöle Vektö işlemlei, üç boyutlu poblemlein çözümüne uygulanıken vektöle katezyen vektö fomunda ifade edilise işlem basitleşi. Sağ El Koodinat Sistemi: Vektö cebi işlemleinde sağ el koodinat sistemi kullanılacaktı. KT 34

35 KT 35 Bi vektöün katezyen bileşenlei Bi vektöünün x, y, z koodinat eksenleinde bileşenlei olabili. Paalelkena kualını iki kez ad ada uygulayaak; z y x y x z

36 Katezyen biim vektöle Üç boyutlu uzayda, i, j, k katezyen biim vektölei sıasıyla x, y, z eksenleinin doğultusunu göstemek için kullanılı. Şekilde veilen vektöle, pozitif biim vektöledi. KT 36

37 Katezyen vektö gösteimi Vektölei katezyen bileşenle cinsinden yazmak önemli bi avantaj sağla. He bi bileşen vektöün şiddeti ve yönünü beliti. iˆ ˆj x y kˆ z KT 37

38 Katezyen vektöün büyüklüğü Katezyen vektö fomunda ifade edilen bi vektöünün şiddetini bulmak için: ' x 2 2 y ' 2 2 z 2 x 2 y 2 z KT 38

39 Katezyen vektöün yönlei vektöünün doğultusu, nın başlangıç noktası ve bu noktada ye alan pozitif x, y, z eksenlei aasında ölçülen α(alfa), β(beta), γ(gama) doğultu açılaı ile tanımlanı. Bu açıla 0 ile 180 aasındadı. α, β ve γ yı belilemek için nın x, y, z eksenlei üzeindeki izdüşümlei kullanılı. KT 39

40 Yön kosinüslei y cosα cos β cosγ x z KT 40

41 vektöünün doğultu kosinüsleini elde etmenin kolay bi yolu, doğultusunda bi biim vektö oluştumaktı. u u nın büyüklüğü 1 olduğundan; y cosα cos β cosγ u cos x x cosα iˆ cos β ˆj 2 iˆ y ˆj z cosγ kˆ 2 2 α cos β cos γ 1 u cosα iˆ iˆ ˆj cos β ˆj kˆ cosγ kˆ ** Eğe bi vektöün şiddeti ve yön kosinüslei biliniyosa, vektöü katezyen koodinatlada ifade edilebili. x y z KT 41 z kˆ 2 x 2 y 2 z

42 Katezyen vektölein toplanması KT 42

43 Önek 8 kuvvetini katezyen vektö olaak ifade ediniz. cos α cos β cos γ 1 x (x) yönünde olduğu için α 60 olmalı KT 43

44 Önek 9 kuvvetini katezyen vektö olaak ifade ediniz ve kuvvetinin yön kosinüsleini bulunuz KT 44

45 ' z ' x y

46

47 Pozisyon (Konum) Vektölei Pozisyon vektöü uzaydaki hehangi iki nokta aasında yönelen bi katezyen kuvvet vektöünü fomüle etmek açısından önemlidi. pozisyon vektöü, bi noktanın uzaydaki konumunu diğe bi noktaya göe belileyen sabit bi vektödü. xiˆ y ˆj z kˆ KT 47

48 Daha genel bi halde, pozisyon vektöü uzaydaki noktasından B noktasına da yönelebili. Vektö toplamı KT 48

49 konum vektöü, i, j, k bileşenlei, vektöün başlangıcının koodinatlaı (x, y, z ), ucuna kaşı gelen koodinatladan B (x B, y B, z B ) çıkatılaak bulunabili. yıca, bu üç bileşenin uç uca eklenmesi yi vei. dan başlayaak B ye ulaşılıyo. KT 49

50 ve B noktalaının, oluştuulan koodinat sistemine göe koodinatlaı biliniyosa, dan B ye giden pozisyon vektöü bulunabili ve bu yöndeki biim vektö kolaylıkla elde edili: u : ' dan ; B' ye biim vektö Bu biim vektöün bileşenlei α, β ve γ yönleini vemektedi. u cosα iˆ cos β ˆj cosγ kˆ KT 50

51 Bi doğu boyunca yönelen kuvvet vektöü Üç boyutlu statik poblemleinde, bi kuvvetin doğultusu genellikle etki çizgisinin geçtiği iki nokta ile belileni. Şekildeki kuvveti buna bi önekti. Doğultusu dan B ye olan kuvveti katezyen vektö şeklinde ifade edilebili. KT 51

52 Bi doğu boyunca yönelen veya iki nokta aasında uzanan kuvvet vektöü NLİZDE İZLENECEK YOL, noktasından B noktasına uzanan bi doğu boyunca etkiyosa aşağıdaki şekilde katezyen vektö fomunda ifade edilebili: Konum Vektöü: dan B ye yönelen konum vektöü belileni ve büyüklüğü hesaplanı. Biim Vektö: Hem hem de nin doğultusu ve yönünü tanımlayan u/ biim vektöü belileni. Kuvvet Vektöü: büyüklüğü ve u doğultusu bileştiileek yani u ile belileni. KT 52

53 Önek 10 Şekilde gösteilen çatı, B ve C zincileiyle taşınmaktadı. noktasına etki eden bileşke kuvveti katezyen vektö olaak ifade edin. KT 53

54 (0,0,4) B (4,0,0) C (4,2,0) KT 54

55 Önek 11 noktasına etki eden kuvveti katezyen vektö olaak ifade edin. KT 55

56

57 Nokta (Skale) Çapım Statikte bazen iki doğu aasındaki açının, veya bi kuvvetin bi doğuya paalel ve dik bileşenleinin bulunması geeki. İki boyutlu poblemlede tigonometi ile çözülebili, ancak 3 boyutluda çözüm için vektö yöntemlei uygulanmalıdı. Skale çapım, iki vektöün çapımı için özel bi yöntemdi. ve B vektöleinin skale çapımı, Bşeklinde yazılı ve skale çapım B diye okunu. ve B nin büyüklüklei ile iki vektö aasındaki açının kosinüsünün çapımı olaak tanımlanı. B B cos θ 0 o θ 180 o 57

58 58 Bu çapıma skale çapım veya nokta çapım da deni. Bu işlemin kuallaı : Değişme özelliği Skale ile çapım Dağılma kualı ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( D B D B ab B a B a B B

59 Öneğin: Katezyen vektö fomülasyonu B B cosθ iˆ iˆ (1)(1)cos0 ˆj ˆj 1 o 1 kˆ kˆ 1 iˆ iˆ kˆ 0 omülünü kullanaak katezyen biim vektölein çapımını bulmak için kullanılabili. ˆj (1)(1) cos 90 kˆ o 0 ˆj

60 Uygulamala-1 Skale çapımın mekanikte iki önemli uygulama alanı vadı: 1) İki vektö veya kesişen doğula aasındaki açı B B cosθ 60

61 Uygulamala-2 2) Bi vektöün bi doğuya paalel ve dik bileşenleinin bulunması: a : a-a doğultusundaki vektöünün bileşeni. nın izdüşümü de deni. a-a nın doğultusu u a biim vektöüyle belilenmişse, a vektöünün şiddeti skale çapımla bulunabili. a a u a ( u 1) ua cosθ cosθ u şeklinde bulunu. a a 61

62 62 vektöünün dik bileşeni:. ' sin cos ) cos ( bulunu den veya u u a a a a a θ θ θ