MLER Bundan önce cismin tek bir parçacıktan olu unu kabul ettik. Genelde cismin çok sayıda parçacı ın (noktasal cismin) bile

Transkript

1 RİJİT CİSİMLER GİRİŞ Bundan önce cismin tek bi paçacıktan oluştuğunu kabul ettik. Genelde cismin çok sayıda paçacığın (noktasal cismin) bileşimi olaak incelenmesi geeki. Yani kuvvetlein çeşitli noktalaa etkiyeceği göz önüne alınmalıdı. Mekanikte, cisimle ijit kabul edili. Patikte makine ve yapı elemanla ijit olmaz ve yüklein etkisiyle şekil değiştiile. Fakat bu şekil değiştimele çok küçük olup yapının denge ve haeketine bi etki yapmaz. Fakat yapının göçme mukavemetini inceleken dikkate alınıla (Mukavemet desinde).

2 Rijit cisme etkiyen kuvvetle (1) Dış Kuvvetle (2) İç Kuvvetle Dış Kuvvetle. Diğe cisimlein cisim üzeine etkisini göstei. Cismin dış davanışından bu kuvvetle soumludu. İç Kuvvetle. Rijit cismi oluştuan noktalaı bi aada tutan kuvvetledi. Cisim bikaç paçadan oluşmuşsa, bu paçalaı bi aada tutan kuvvetle iç kuvvetti. İç kuvvetle cismin içinde oluşu. Eğe cisim iki paçaya ayılısa, oluşan iki kesitteki iç kuvvetlein etki tepki ilkesine göe şiddet ve doğultulaı aynı yönlei zıttı. İÇ VE DIŞ KUVVETLER Kamyona etkiyen dış kuvvetle SCD olaak gösteili. Kamyonun W ağılığı aşağıya haeket etmeye zola, R 1 ve R 2 tepkilei aşağıya haekete engel olu. Bu kuvvetle ye taafından kamyona uygulanı, bu yüzden dış kuvvettile. Rijit cisme etkiyen dış kuvvetlein he bii bi kuvvet ile kaşılanmıyosa cisme bi öteleme veya dönme haeketi yaptıabilmektedi.

3 Kaydıılabilme İlkesi, Eşdeğe Kuvvetle Bi ijit cismin bi noktasına etkiyen bi F kuvvetinin yeine onunla aynışiddet ve doğultuda etkiyen F kuvveti konusa, bu iki kuvvet aynı tesi çizgisi üzeinde etkimek şatıyla, ijit cismin denge duumunda bi değişiklik olmaz. Bu F ve F kuvvetleinin cisim üzeine etkilei aynıdı ve eşdeğedile. Kaydıılabilme İlkesi. Eşdeğe Kuvvetle Maddesel nokta duumunda, uygulama noktası noktanın kendisiydi, bu nedenle vektöle bağlı vektöledi. Rijit cisim duumunda, tesi çizgisi değişmediği süece kuvvetin uygulama noktasının önemi kalmamaktadı. Rijit cisme etkiyen kuvvetle, kayan vektödü.

4 Kaydıılabilme ilkesinin bazı sınılamalaı vadı. (a) daki, P 1 ve P 2 etkisindeki çubukta, P 2 yeine P 2 kuvvetini koymak mümkündü. P 1 ve P 2 nin bileşkelei sıfıdı, cismin dış davanışı bakımından sıfı kuvvete eşdeğedi. (d) de P 1 ve P 2 etkisindeki çubukta, P 2 yeine B de etkiyen P 2 kuvvetini koyabiliiz ve bileşkelei sıfıdı. O halde cisimle ijit cisim mekaniği bakımından eşdeğedi. Oysa iç kuvvetle ve şekil değiştimele faklıdı. (a) daki çubuk çekme (d) deki basma etkisindedi. Kaydıılabilme ilkesi, iç kuvvetlein ve şekil değiştimelein hesabında kullanılmamalı veya dikkate alınmalıdı. MOMENT

5 BİR KUVVETİN BİR NOKTAYA GÖRE MOMENTİ BİR KUVVETİN BİR NOKTAYA GÖRE MOMENTİ

6 BİR KUVVETİN BİR NOKTAYA GÖRE MOMENTİ Rijit cisme etkiyen F kuvveti, kuvvetin şiddeti ve doğultusunu tanımlayan bi vektöle gösteili. Oysa kuvvetin ijit cisme etkisi A uygulama noktasının yeine de bağlıdı. A nın yei bi efeans noktası olan O yu A ile bileştien vektöüyle tanımlanabili (ye vektöü). F nin O ya göe momenti, ile F nin vektöel çapımı olaak tanımlanı. Mo x F Mo momenti, O ile F nin bulunduğu dizleme dikti. BİR KUVVETİN BİR NOKTAYA GÖRE MOMENTİ M o momentinin yönü, F nin ijit cisme yaptımaya uğaştığı dönmenin yönünü kaakteize ede. ye vektöü ile F kuvveti aasındaki açıyıθ ile gösteisek F nin O ya göe momentinin şiddeti; M O F sinθ Fd d, O nun F nin tesi çizgisine olan dik uzaklığını göstemektedi. F kuvvetinin cisme yaptımak istediği dönme eğilimi M o nunşiddeti ile ölçülü

7 BİR KUVVETİN BİR NOKTAY GÖRE MOMENTİ Sağ elinizi kapatınız ve pamaklaınızı F nin ijit cisme yaptımak istediği dönme yönünde kıvılmışşekilde tutunuz. Baş pamağınız Mo momentinin yönünü gösteecekti. BİR KUVVETİN BİR NOKTAY GÖRE MOMENTİ F ve F kuvvetleinin eşdeğe olmalaı, ancak aynışiddet ve doğultuda olmalaı, ve veilen bi O noktasına göe momentleinin eşit olması ile mümkündü. F ve F kuvvetleinin eşdeğe olması için geek ve yete şat; FF ve MoMo Bu bağıntıla veilen bi O noktası için sağlanıyosa, başka bi nokta için de sağlanacaktı.

8 İki boyutlu poblemle F kuvvetine mauz ijit bi levhada, F kuvvetinin O ya göe momenti bu düzleme dikti ve M o vektöü ile gösteili. Yan-üstteki şekilde M o kağıttan dışaı doğu, alttaki şekilde ise kağıda doğudu.

9

10 Poblem F kuvvetinin O noktasındaki momentini bulunuz

11 O daki momenti bulmak için a veya b ye vektölei kullanılabili Poblem F kuvvetinin O noktasındaki momentini bulunuz

12 Skale Çözüm Vektöel Çözüm

13 Vaignon Teoemi Bi noktada bileşen çok sayıda kuvvetin bileşkesinin bi O noktasına göe momenti, bu kuvvetlein tek tek O noktasına göe momentleinin toplamına eşitti (Vaignon Teoemi). ( F+ F+ L) F+ + L F2 Bu bağıntı bi F kuvvetini momentini, kuvvetin iki veya daha çok sayıda bileşenleinin toplam momenti olaak belitme olanağı vei. F, koodinat eksenine paalel bileşenleine ayılabili. Bi Kuvvetin Momentinin Dik Bileşenlei F nin O ya göe momenti MO F, xi + yj + zk F Fxi + Fy j + Fz k MO M xi + M y j + M z k i x Fx j y Fy k z Fz ( yf zf ) i + ( zf xf ) j + ( xf yf )k z y x z y x

14 F nin B ye göe momenti F M B A B / ( ) ( ) ( ) Fk F j Fi F k z z j y y i x x z y x B A B A B A B A B A / ( ) ( ) ( ) z y x B A B A B A B F F F z z y y x x k j i M İki boyutlu yapılada ( ) z y Z O z y O yf xf M M k yf xf M ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) z B A y B A Z O z B A y B A O F y y F x x M M k F y y F x x M

15 Poblem

16 Poblem

17

18 Poblem Bi şafta O noktasında bağlı bi kolun ucuna 100 kg (100 lb) lik düşey bi kuvvet etkimektedi. a) Kuvvetin O ya göe momentini b) A ya etkiyen ve O ya göe aynı momenti doğuan yatay kuvvetin şiddetini c) O ya göe aynı momenti doğuan A ya etkiyen en küçük kuvveti d) 250 kg (240 lb) lık düşey kuvvetin O ya göe aynı momenti oluştuması için neede etkimesi geeki (a) M M O d O Fd ( 24in. ) cos60 ( 100lb)( 12in. ) 12in. M O 1200 lb in

19 M d O (b) 1200lb in. F ( 24in. ) Fd ( 20.8in. ) 1200lb in. F 20.8in. sin in. F 57.7 lb (c) M O Fd 1200 lb in. F ( 24 in. ) 1200 lb in. F 24 in. F 50 lb

20 (d) M O 1200 lb in. Fd ( 240 lb) d 1200 lb in. d 240 lb OB cos60 5 in. 5 in. OB 10 in. BİR KUVVETİN BİR EKSENE GÖRE MOMENTİ Bi cisme etkiyen F kuvvetini ve bunun O noktasındaki M o momentini alalım. F nin OL eksenine göe momenti olan M OL yi Mo nun OL eksenindeki OL izdüşümü olaak tanımlaız. OL üzeindeki biim vektöüλile gösteisek M O M OL F λ M λ O ( F ) F nin OL eksenine göe M OL momenti, λ, ve F nin kaışık üçlü çapımından elde edilen skaledi.

21 BİR KUVVETİN BİR EKSENE GÖRE MOMENTİ Anahtaa uygulanan kuvvet somunda ve anahtada O dan geçen moment ekseni boyunca bi dönme etkisi yaatı. Fakat somun sadece y ekseni etafında dönebili. Döndüme etkisini bulabilmemiz için momentin sadece y eksenindeki bileşeni geeklidi. Toplam oluşan moment önemli değildi. BİR KUVVETİN BİR EKSENE GÖRE MOMENTİ F nin OL eksenine göe momenti M OL, F kuvvetinin cismi OL ekseni etafında döndüme çabasını ölçmektedi. F nin koodinat eksenleine göe momenti, M x yf z zf y M y zf x xf z M z xf y yf x

22 Bi kuvvetin bi eksene göe momenti M BL A B λ M λ A ( F ) A B B B Sonuç, veilen eksen üzeindeki B noktasından bağımsızdı. Poblem F kuvvetinin AB deki M AB momentini bulunuz

23

24 Poblem F kuvvetinin bou tesisatının OA kısmındaki momentini bulunuz F kuvvetinin bou tesisatının OA kısmındaki momentini şu fomülle bulunu od, oc, ad ve ac kullanılabili fakat basit olduğu için od yi kullanalım

25 Poblem Üç kuvvetin x, y ve z eksenleindeki bileşke momentini bulunuz

26 Poblem

27

28 Poblem Şekilde göülen A kübü bi P kuvvetinin etkisi altındadı. P nin aşağı ğıdaki momentleini bulunuz. a) A noktasında b) AB kenaında c) Kübün AG köşegeninde. d) AG ve FC aasındaki dik mesafeyi bulunuz. P nin A ya göe momenti M A F F A ai P P M a A A P a j a( i j ) ( 2 i + 2 j ) P 2( i + j ) ( i j ) P 2( i + j ) ( ap 2)( i + j + k ) M A P nin AB deki momenti M AB i M i A ( ap 2)( i + j + k ) M AB ap 2

29 P nin AG ye göe momenti ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ap k j i ap k j i M k j i ap M k j i a ak aj ai M M AG A A G A G A AG λ λ 6 ap M AG AG ve FC aasındaki dik mesafe ( ) ( ) ( ) P k j i k j P P λ Yani, P AG ye dikti. Pd ap M AG 6 6 a d

30 Kuvvet Çifti

31 Bi Kuvvet Çiftinin Momenti Şiddetlei aynı, tesi çizgilei paalel ve yönlei zıt F ve F kuvvetlei bi Kuvvet Çifti oluştuu. Bu iki kuvvetin hehangi bi doğultudaki bileşenlei toplamı sıfıdı. Fakat veilen bi noktaya göe momentlei sıfı değildi. Böyle iki kuvvet etkidiklei cismi ötelenmeye değil dönme yapmaya zolala. Bi Kuvvet Çiftinin Momenti F ve F kuvvetleinin ye vektöleini A ve B ile gösteisek ( de iki vektöün uygulama noktalaını bileştien vektödü ve A - B di), kuvvetlein O noktasına göe momentleinin toplamı; M M A F + B ( A B ) F F F sinθ Fd ( F )

32 Bi Kuvvet Çiftinin Momenti F ve F nin momentlei başka bi O noktasına göe de aynı sonucu vei. Bi kuvvet çiftinin momenti sebest vektö olup hehangi bi noktaya uygulanabili. F 1 ve -F 1 gibi iki kuvvetin yaptığı kuvvet çifti ile F 2 ve -F 2 kuvvetleinin oluştuduğu kuvvet çiftinin momentleinin eşit olması için; F 1d1 F2 d2 sağlanmalı İki çift paalel veya aynı düzlemlede bulunmalı, Yönlei aynı olmalıdı

33 Kuvvet Çiftleinin Toplanması Momenti aynı olan kuvvet çiftlei eşdeğedi. Kuvvet çiftinin M momentine eşit bi vektö çizmek yetecekti, bu vektöe kuvvet çifti vektöü deni. Bibiini kesen P1 ve P2 düzlemleini ve bu düzlemledeki iki kuvvet çiftini göz önüne alalım. F1 ile F2 nin bileşkesi R ve -F1 ile F2 nin bileşkesi R bi kuvvet çifti oluştuu. M M 1 2 F1 in plane P1 F in plane P 2 M R F 1 F 2 M F1 + F2 M + M ( + ) Kuvvet Çiftleinin Toplanması Özetlesek, bi kuvvet çiftinin bi vektöle gösteilebileceğini söyleyebiliiz. Kuvvet çifti vektöü denilen bu vektö kuvvet çiftinin momentine eşitti. Bu bi sebest vektödü ve he hangi bi noktaya uygulanabili. Kuvvet çifti vektölei paalelkena kanunu geeğince toplanabili veya bileşenleine ayılabilile.

34 Poblem Plakaya etki eden üç kuvvet çiftinin bileşkesini bulunuz Çözüm

35 Poblem Kuvvet çiftinin dişliye uyguladığı momenti bulunuz Çözüm

36 Bi Kuvveti, Bi Kuvvet ve Bi Kuvvet Çiftine Dönüştümek F kuvvetini kendi tesi çizgisi üzeinde haeket ettiebileceğimizi biliyouz (kaydıılabilme ilkesi). Fakat ilk tesi çizgisi dışında bulunan bi O noktasına götümek F nin cisme etkisi değişmeksizin mümkün değildi. Fakat O ya F ve F kuvvetleini ekleyebiliiz. O ya bi F kuvveti etkimiş olu. Öteki iki kuvvet ise momenti; M o x F olan bi kuvvet çifti oluştuu. Mo sebest vektö olduğu için istenen yee konabili, fakat kolaylık için kuvvet çifti vektöü F ile beabe O ya konu ve elde edilen sisteme kuvvet-kuvvet çifti sistemi deni. Eğe F, A dan başka bi O noktasına götüülmüş olsaydı, F nin O ya göe momenti (Mo x F) hesaplanacak, ve F ile Mo kuvvet çifti vektöünden oluşan yeni bi kuvvet-kuvvet çifti sistemi O ye konacaktı. M O F ' F nin O ve O daki momentlei aasında şu bağıntı vadı (s: O yu O ya bileştien vektö); M O ' ' F M + s F O ( + s ) F F + s F

37 Bi Kuvvetle Sisteminin Bi Kuvvet ve Bi Kuvvet Çiftine İndigenmesi Kuvvetle sistemi ne kada kamaşık olusa olsun, veilen bi O noktasında etkiyen eşdeğe bi kuvvet-kuvvet çifti sistemine indigenebili. Şu hususa dikkat edilmelidi: M1, M2, M3 kuvvet çifti vektöleinin he bii kendileine kaşı gelen kuvvete dik olduğu halde, R bileşke kuvveti ile (Mo)R bileşke kuvvet çifti vektöü bibiine dik değildi. Bi Kuvvetle Sisteminin Bi Kuvvet ve Bi Kuvvet Çiftine İndigenmesi Eşdeğe kuvvet-kuvvet çifti sistemi şu denklemlele tanımlanı; R R F M O F ( ) R, bütün kuvvetlei toplayaak elde edilmektedi, buna kaşı sistemin moment bileşkesi, (Mo)R, sistemdeki bütün kuvvetlein O ya göe momentleini toplayaak elde edilmektedi.

38 Bi Kuvvetle Sisteminin Bi Kuvvet ve Bi Kuvvet Çiftine İndigenmesi Kuvvet-kuvvet çifti sistemi O dan O ya taşınabili, bunun için R nin O noktasına göe momenti ekleni. M R O' M R O + s R Eğe iki kuvvetle sistemi, veilen bi O noktasında aynı kuvvet-kuvvet çifti sistemine indigenebiliyosa bibiine eşdeğedi. İki kuvvetle sisteminin, eşdeğe olması için geekli şat, iki sistemdeki kuvvetlein toplamının ve kuvvetleinin bi O noktasına göe moment toplamının eşit olmasıdı. ΣFΣF ve ΣM o ΣM o Eğe R ve (MO)R bibiine dikse, O daki kuvvet-kuvvet çifti sistemi yeine yeni bi tesi çizgisi üzeinde etkiyen tek R kuvveti konabili. Bu şat uzay kuvvet sistemlei halinde genelde sağlanmaz, fakat aşağıdaki hallede sağlanı; 1) bi noktada bileşen kuvvetle, 2) düzlem kuvvetle 3) paalel kuvvetleden ibaet sistemle

39 Poblem Şekildeki kuvvet ve kuvvet çiftinin O noktasında oluştuacağı bileşke kuvvet ve kuvvet çiftini bulunuz

40

41 Poblem Şekildeki kuvvet sisteminin bileşkesini ve uygulama noktasını bulunuz

42 veya Poblem Şekildeki kuvvetlein bileşkesini bulunuz, bileşkenin doğultusunun AB ve BC yi kestiği noktalaı bulunuz

43 250 lb lik kuvveti x ve y bileşenleine ayııız A noktasına göe toplam momenti buluuz, bileşke kuvvetin AB yi A noktasından y kada uzakta kestiğini faz edeiz

44 Kaydıılma ilkesi geeği, bileşkeyi BC yi x mesafesinde kestiği bi noktaya kaydıabiliiz. Poblem a) A noktasında eşdeğe kuvvet-kuvvet çiftini bulunuz b) B noktasında eşdeğe kuvvet çiftini bulunuz (c) Kuvvetlein bileşkesini bulunuz.

45 R (a) F ( 150N) j ( 600N) j + ( 100N) j ( 250N) j R ( 600 N) j M R A ( F) ( 1.6 i ) ( 600j ) + ( 2.8i ) ( 100j ) + ( 4.8i ) ( 250j ) M R A ( 1880 N m)k Kuvvet-kuvvet çifti sistemini A dan b ye taşı şıken Kuvvet değişmez. R ( 600 N) j B deki kuvvet çifti, A daki kuvvetkuvvet çiftinin B deki momentine eşitti. R R MB MA + B A R ( 1880N m) k + ( 4.8m) i ( 600N) j 1880N m k N m ( ) ( )k M R B (b) + ( 1000 N m)k

46 Poblem Şekildeki kuvvetlee eşdeğe, A noktasındaki eşdeğe kuvvetkuvvet çifti sistemini bulunuz A ya göe ye vektölei B A C A D A 0.075i k 0.075i 0.050k 0.100i j ( m) ( m) ( m) Kuvvetle dik bileşenleine ayılı FB ( 700 N) λ E B 75i 150 j + 50k λ E B i j k F 300i 600 j + 200k F C F D B ( N) ( 1000 N)( cos45i cos 45 j ) 707i 707 j ( 1200 N)( cos60i + cos30 j ) 600i j ( N) ( N)

47 Eşdeğe kuvvet R F ( ) i + ( ) j + ( )k R 1607i j 507k ( N) v M B A C A R A D A Eşdeğe kuvvet çiftinin hesaplanması ( F) i j k F i 45k 300 i F F M R A B c D 707 i j k j j k k i j k Poblem Şekildeki bouya uygulanan iki kuvvet çiftinin bileşkesini bulunuz

48

49 RİJİT CİSİMLERİN DENGESİ SERBEST CİSİM DİYAGRAMLARI Poblemi çözümünde ilk adım sebest cisim diyagamının (SCD) çizilmesidi. Cisim zeminden ve diğe cisimleden ayılmalıdı. Dış kuvvetlein hepsi gösteili (cismin ağılığı dahil). Bunla, zemin ve ayılan cisimlein cisme uyguladıklaı etkilei göstei.

50 Bilinen dış kuvvetle, cismin ağılığı ve uygulanan kuvvetledi. Bilinmeyen dış kuvvetle tepkileden ibaetti (bağ kuvvetlei). Bunlala zemin ve diğe cisimle, cismin yapabileceği haeketlee kaşı koya ve cismi bağlı tuta. Tepkile cismin mesnetlendiği veya diğe cisimlee bağlandığı noktalada etki.

51 İki Boyutlu Yapılada Mesnet ve Bağ Noktalaındaki Tepkile İki boyutlu bi yapıya gelen tepkile, mesnetlein tüüne göe üçe ayılı: Tesi çizgisi bilinen bi kuvvete eşdeğe tepkile. (Kayıcı Mesnetle) Doğultusu bilinmeyen bi kuvvete eşdeğe tepkile. (Sabit Mesnetle) Bi kuvvet ile bi kuvvet çiftine eşdeğe tepkile. (Ankaste Mesnetle)

52 Kayıcı Mesnetle Tesi çizgisi bilinen bi kuvvete eşdeğe tepkile. Bu guptaki tepkilei meydana getien mesnet veya bağla kayıcı mafsalla, pandül ayak, cilalı yüzeyle, kablola, yaıktan geçen pimledi. Yalnız bi doğultuda haekete engel olula. Bi bilinmeyen (şiddet) kapsala.

53 Sabit Mesnet Doğultusu bilinmeyen bi kuvvete eşdeğe tepkile. Aynı genişlikte delikten geçen cilalı pimle, mafsalla, püüzlü yüzeyledi. Cismin ye doğultusunda ötelenmesine engel olula, dönmesine engel olmazla. İki bilinmeyen kapsala.

54 Ankaste Mesnet Bi kuvvet ile bi kuvvet çiftine eşdeğe tepkile. Sebest cismin he tülü haeketine engel olan, ankaste (gömme) mesnetle taafından oluştuulu. Üç bilinmeyen kapsala.

55 İki Boyutlu Cismin Dengesi Denge denklemi şöyle oluşu (A düzlemdeki hehangi bi nokta) F F 0 M 0 x 0 y A Bu üç denklemden üçten fazla olmamak şatıyla bilinmeyenle çözülebili. Sabit mafsal (A) kuvvet uygulayaak (A x ve A y ) haekete engel olu. Kayıcı mafsal (B) ise düşey bi kuvvet (B) ile sistemin A etafında dönmesine engel olu. İki Boyutlu Cismin Dengesi Buada P, Q ve S uygulanan dış kuvvetle, W ise kafesin ağılığıdı. A x, A y ve B ise tepkiledi. Kuvvetlein A noktasına göe momentlei toplamı sıfı olmalıdı (ΣM A 0). Buadan B yi buluuz. Sona, kuvvetlein x ve y bileşenleinin toplamının sıfıa eşit olduğunu yazaak (ΣF x 0 ve ΣF y 0) A x ve A y yi buluuz. Dış kuvvetlein A dan başka noktalaa göe momentleinin toplamının sıfı olduğunu ifade edeek başka denklemle de yazabiliiz fakat yeni bi bilgi sağlamaz.

56 İki Boyutlu Cismin Dengesi Üç denge denkleminin sayısı ek denklemlele attıılamamakla beabe, ek denklemle o denklemleden biinin yeine konulabili. Denge için başka bi denklem takımışöyle olabili. F M 0 M 0 x 0 A B İlk iki denklem kuvvetlein bi A kuvvetine indigeneceğini, üçüncü denklem bu kuvvetin tesi çizgisinin dışındaki bi noktaya göe momentinin sıfı olacağını söyle. İki Boyutlu Cismin Dengesi Mümkün üçüncü bi denge denklemi takımışudu; M A 0 M B 0 M C 0 İlk denklem dış kuvvetlein bi kuvvete indigenmesini geektii, ikinci denklem kuvvetin B den geçmesi geektiğini, üçüncüsü de C den geçmesi geektiğini beliti. A, B, C noktalaı bi doğu üzeinde bulunmadığından kuvvet sıfı ve cisim dengededi.

57 DÜZLEM KUVVETLERDE DENGE Düzlem halde cismin üstünde üç denge denklemi yazılabili. F F 0 M 0 x F M 0 M 0 x 0 y A veya 0 A B veya MA 0 MB 0 MC 0 Statikçe Belisiz Tepkile, Eksik Bağla Statikçe Belisiz Tepkile Yandaki sabit mafsallala sabitli kafeste, tepkile döt tanedi. Elimizde üç bağımsız denge denklemi bulunduğundan, denge denklemi sayısından daha fazla bilinmeyen sayısı vadı ve bilinmeyenlein hepsini bulmak mümkün değildi. A x ve B x bileşenlei statikçe belisizdi. Bunla yük etkisiyle kafesteki şekil değişimini inceleyeek MUKAVEMET desinde incelenecekti.

58 Statikçe Belisiz Tepkile, Eksik Bağla Eksik bağla. Yandaki kafes kayıcı mafsallala tespitlidi ve iki bilinmeyen vadı. Oysa üç denklem sağlanmak zounda olduğundan denklemden az bilinmeyen vadı ve denklemleden bii sağlanmaz (ΣF x 0). Genel yükleme duumunda denge sağlanmaz. Düşey haekete engel olunduğunda kafes yatay haeket edebili. Statikçe Belisiz Tepkile, Eksik Bağla Yetesiz bağla: Denklem sayısı ile bilinmeyen sayısının eşit olması geek şat olduğu halde yete değildi. Yandaki üç kayıcı mafsalla mesnetli kafesi alalım. Sayıca yeteli mesnet vadı fakat uygun düzenlenmemişledi. ΣF x 0 sağlanmaz.

59 Poblem

60 Poblem Sabit bi keyn 1000 kg di ve 2400 kg yükü kaldımakta kullanılmaktadı. A da sabit B de kayıcı mafsalla bağlıdı. Ağılık mekezi G dedi. A ve B deki tepkilei bulunuz. M A 0: + B B+107.1kN ( 1.5m ) 9.81kN2m ( ) 23.5kN6m ( ) 0 F x 0 : A + B 0 x A x 107.1kN F y 0 : A 9.81kN 23.5kN 0 A y y +33.3kN

61 Poblem Kablodaki geilme 150 kn di. E deki tepkiyi bulunuz. 4.5 F x 0 : Ex E x 90.0kN ( 150kN ) 0 6 F y 0 : Ey E y +200 kn ( 20kN) ( 150kN) 0 M + 20kN( 7.2m) + 20kN( 5.4m) + 20kN( 3.6m) + 20kN( 1.8m) E 0 : M E kN m ( 150kN) 4.5m + 0 M E

62 İki Kuvvet Etkisindeki Cismin Dengesi İki kuvvet etkisindeki bi cisim dengede ise o iki kuvvetin şiddet ve tesi çizgilei aynı, yönlei zıt olmalıdı. A ve B de F1 ve F2 kuvvetlei etkisindeki bi köşe levhasını ele alalım. Levha dengede ise kuvvetlein hehangi bi eksene göe moment toplamı sıfı olmalıdı. A ya göe moment alısak, F1 sıfı olduğundan F2 de sıfı olu ve tesi çizgisi A dan geçmesi geeki. B ye göe de benze şekilde F1 in tesi çizgisi B den geçmelidi. Böylece kuvvetlein tesi çizgilei aynı olu. İki kuvvet etkisindeki cisim, sadece iki noktasında kuvvet etkiyen ijit cisim olaak tanımlanabili. Üç Kuvvet Etkisindeki Cismin Dengesi Cisim dengede ise bu üç kuvvetin tesi çizgilei ya bi noktada kesişi yada bibiine paalel olu. Cisim dengede olduğundan kuvvetlein bi eksene göe moment toplamı sıfı olmalıdı. F1 ve F2 nin tesi çizgileinin kesiştiğini kabul edip (D de), ve D ye göe momentlei toplayalım. F1 ve F2 nin D ye göe momentlei sıfıdı, ve F3 ün tesi çizgisi D den geçmelidi. Üç tesi çizgisi bi noktada kesişmiş olmaktadı. Bunun dışındaki tek hal tesi çizgileinin paalel olmasıdı.

63 Poblem Bi adam, 4 m uzunluğunda 10 kg lık bi çubuğu bi iple kaldımaktadı. İpteki geilmeyi ve A daki tepkiyi bulunuz. AF ABcos45 CD AE 1 2 BD CDcot( 45+ CE BF BD ( ) AF 1.414m 20) ( ) ( ) CE tanα AE o 58.6 α 4m cos m 1.414m tan m m 2.313m

64 T sin 31.4 o R sin110 o 98.1 N sin 38.6 o T R 81.9 N N Rijit Cismin 3 Boyutta Dengesi 3 boyutlu denge poblemleinde bağdaki tepkiden doğan bilinmeyenle bi den altıya kada değişebili. Tepki tipi ve bilinmeyen sayısını belitmek için yol, altı haeketin (x, y, z de öteleme, ve x, y, z etafında dönme) hangisine müsaade edildiği hangisine engel olunduğunu bulmaktı. Rijit cismin 3 boyutlu denge şatlaını ifade etmek için 6 skale denklem geeki. Kuvvetlei ve momentlei bileşenleine ayıaak cismin üç boyutta dengesi için geekli şatlaı altı skale denklemle ifade edebiliiz. Bunla 6 dan fazla bilinmeyeni çözme imkanı vemez. F 0 x M 0 x F 0 y M 0 y F 0 z M 0 z

65 Rijit Cismin 3 Boyutta Dengesi Bazen göz önüne alınan ijit cismin dengesine ait şatla vektöel fomda ifade edilebili. Bi cisme etkiyen dış kuvvetle sıfı kuvvet ve sıfı kuvvet çiftine indigenebiliyosa cisim dengededi deni ve cisme öteleme ve dönme haeketi yaptımazla. Bileşke kuvvet ve kuvvet çiftini sıfıa eşit yazaak, denge için geekli şatlaı elde edeiz. F 0 M F 0 O ( ) Üç Boyutlu Sistemin Mesnet ve Bağlaındaki Tepkile Tek bilinmeyen

66 Üç Boyutlu Sistemin Mesnet ve Bağlaındaki Tepkile İki bilinmeyen Üç Boyutlu Sistemin Mesnet ve Bağlaındaki Tepkile Üç bilinmeyen

67 Üç Boyutlu Sistemin Mesnet ve Bağlaındaki Tepkile Döt bilinmeyen Üç Boyutlu Sistemin Mesnet ve Bağlaındaki Tepkile Beş bilinmeyen

68 Üç Boyutlu Sistemin Mesnet ve Bağlaındaki Tepkile Altı bilinmeyen Poblem

69

70 Poblem

71 Poblem Şekildeki cisimde tepki kuvvetleini bulunuz. Cisim A da şafta takılmış ış olup düşey olaak yukaı-aşağı şaft boyunca haeket edebilmektedi.

72 veya

73 Poblem A pinindeki yatay ve düşey tepkilei ve B deki nomal tepkiyi bulunuz.

74 Poblem

75

76 YAYILI YÜKLER VE AĞIRLIK MERKEZİ

77 CİSMİN AĞIRLIĞI Geçekte tek bi noktaya etkiyen tekil kuvvete astlamak mümkün değildi. Poblemde eğe tekil kuvvet kullanılıyosa bu bi idealleştimedi. Bazen yayılı kuvvetlee ait toplam etkiyi bi bütün olaak gömek isteyebiliiz. O zaman yayılı kuvvetlei bi bileşke altında topla ve kuvvet mekezi dediğimiz tek bi noktaya indigeiz. Yayılı kuvvetlee en basit önek cismin ağılığıdı. Böyle bi duumda kuvvet mekezinden anlaşılması geeken cismin ağılık mekezidi. Dünyanın cisme uyguladığı ye çekimi kuvvetine o Cismin Ağılığı deni. Bu kuvvet, cismin üzeine yayılmış çok sayıdaki paalel difeansiyel kuvvet dw-dwk nın bileşkesi olacağından, cismin ağılığı W-Wk da, cismin ağılığının şiddetini ifade eden büyüklük, biçiminde hesaplanı. Cismin hacmi V ve özgül ağılığı belli ise, homojen bi cismin ağılığı, biçiminde de hesaplanabili. Ağılık Mekezi: Ağılık kuvvetinin etki noktasının (M) adıdı ve koodinatlaı xm, ym, zm biçiminde tanımlanacaktı.

78 İKİ BOYUTLU CİSMİN AĞIRLIK MERKEZİ Plakanın ağılık mekezi Telin ağılık mekezi İKİ BOYUTLU CİSMİN AĞIRLIK MERKEZİ

79 İKİ BOYUTLU PLAKANIN AĞIRLIK MERKEZİ İKİ BOYUTLU ÇİZGİNİN (TELİN) AĞIRLIK MERKEZİ

80 Alanlaın ve Çizgilein Biinci Momentlei Bi A alanının BB eksenine göe simetik olması demek alanın he P noktasına aynı alanın bi P noktası kaşı geliyo demekti. Bi L eğisi veya A alanı bi BB simeti eksenine sahipse ağılık mekezi bu eksen üzeinde bulunmak zoundadı. Bi alan iki simeti eksenine sahipse, ağılık mekezi iki eksenin kesişme noktasındadı. Bi alanın simeti eksenine göe biinci momenti sıfıdı.

81 Bileşik Plaka, Tel ve Alanla Bileşik Plakala X Y W W xw yw Bileşik Alanla X Y A A x A ya Biçok halde, bi plaka dikdötgenlee, üçgenlee veya bilinen şekillee bölünebili. Plakanın G ağılık mekezinin x apsisi, plakanın ağılığının y eksenine göe momentinin çeşitli paçalaın ağılıklaının aynı eksene göe momentleinin toplamına eşit olduğuna ifade edeek elde edilebili.

82 Poblem Yayılı yükün şiddetini ve uygulama noktasını bulunuz

83 Poblem Şekildeki şafta etki eden bileşke kuvveti bulunuz

84 Poblem Şeklin ağı ğılık mekezini bulunuz Q Q x y mm mm 3 3

85 X x A A mm mm 3 2 X 54.8 mm Y ya A mm mm 3 2 Y 36.6 mm Poblem Üçgenin ağı ğılık mekezinin x eksenine uzaklığı ığını bulunuz

86 Poblem

87 Poblem

88 Şekildeki sabit kalınlıkta homojen, plakanın (taalı alanın) ağılık mekezinin koodinatlaını (x, y) hesaplayınız (a2.5 cm ve t 1 cm di) Poblem

89 Alan A1 xm ym xma yma Σ xmσxma / ΣA 80 / ymσyma / ΣA 1440 / Pappus-Guldinus Teoemlei Bu teoemle dönen yüzey ve cisimlele ilgilidi. Üç boyutlu dönel simetik cisimlein yüzey alanı ve hacimleinin hesabında kullanılı. Dönel yüzey düzlemsel bi eğiyi sabit bi eksen etafında döndüeek meydana getiilebilen bi yüzeydi. Aşağıdaki ABC yaım daie yayını çapı etafında döndüeek bi küe yüzeyi elde edebiliiz.

90 Pappus-Guldinus Teoemlei Dönel cisim düzlemsel bi alanı sabit bi eksen etafında döndüeek meydana getiilebili. Öneğin dolu bi küe, yaım daie alanını döndüeek elde edilebili. Pappus-Guldinus Teoemlei TEOREM I. Bi dönel yüzeyin alanı, kendisini meydana getien eğinin boyu ile yüzeyin meydana gelmesi sıasında eğinin ağılık mekezinin katettiği uzaklığın çapımına eşitti. A 2π yl Doğuan eğinin, etafında döndüğü ekseni kesmemesine dikkat edilmelidi. Kesese teoem uygulanmaz.

91 Pappus-Guldinus Teoemlei TEOREM II. Bi dönel cismin hacmi, kendisini meydana getien alan ile cismin meydana gelmesi sıasında alanın ağılık mekezinin katettiği uzaklığın çapımına eşitti. V 2π y A Poblem Katı cismin yüzey alanı ve hacmini bulunuz

92 Yüzey alanı Hacim KİRİŞLERDE YAYILI YÜKLER Yayılı yük taşıyan bi kiişi göz önüne alalım. Bu yük kiiş taafından taşınan yükleden ibaet olabili veya üzga veya su basıncından doğabili. Yayılı yük biim boyun taşıdığı w yükünün gafiğini çizeek gösteilebili. dx boyunda bi kiiş elemanına gelen kuvvet dwwdx olu. Toplam yük, yük eğisinin altındaki alana eşitti.

93 KİRİŞLERDE YAYILI YÜKLER Eşdeğe münfeit W yükünün P uygulama noktası, W nin O ya göe momentinin, dw elemante yükleinin O ya göe momentlei toplamına eşit olduğunu ifade edeek elde edilecekti. O halde bi kiişe etkiyen yayılı yükün yeine bi münfeit yük konulabili; bu yükün şiddeti yük eğisinin altındaki alana eşitti, tesi çizgisi bu alanın ağılık mekezinden geçe. Münfeit yük veilen yüke dış yükle bakımından eşdeğedi. Bu bileşke, tepkilein hesabında kullanılsa da, iç kuvvetlein hesabında kullanılamaz. W L wdx da A 0 ( ) OP W L xdw ( OP) A xda xa 0 Poblem

94

95 Poblem Bi kiişşekildeki gibi bi yayılı yük taşımaktadı. (a) eşdeğe münfeit yükü bulunuz. (b) mesnet eaksiyonlaını hesaplayınız. F 18.0 kn X 63kN m 18kN X 3.5 m

96 ( 6 m) ( 18 kn)( 3.5 m) 0 M A 0 : B y B y 10.5 kn ( 6m) + ( 18kN)( 6m 3.5m) 0 M B 0 : A y A y 7.5kN 3 Boyutlu Cismin Ağılık Mekezi Üç boyutlu bi cismin ağılık mekezi, cismi küçük elemanlaa bölüp cismin G ye etkiyen W ağılığının, küçük elemanlaın ağılıklaını gösteen W yayılı yükle sistemine eşdeğe olduğunu ifade edeek elde edili.

97 Ağılık mekezi G Wj G W G ( Wj) ( W j ) [ ( W j )] ( j ) ( W ) ( j ) W dw dw GW xdw yw ydw zw xw zdw Homojen cisimle için, W V γ ve dw γdv xdv yv ydv zv xv zdv 3 Boyutlu Cismin Ağılık Mekezi;

98 Kütle Mekezi Hacim Mekezi Çok kullanılan hacimlein ağılık mekezlei

99 Bileşik Üç Boyutlu Cisimle Bi cisim bilinen şekillee bölünebiliyosa G ağılık mekezi bütün ağılığının O ya göe momentinin paçalaın ağılıklaının O ya göe momentlei toplamına eşit olduğu ifade edeek bulunu. G mekezinin koodinatlaışu denklemlele bulunu; X W xw Y W yw Z W zw Homojen cisimle için ağılık mekezi ile hacim mekezi çakışı. X V xv Y V yv Z V zv Bileşik Cisimle Bileşik Cismin ağılık mekezinin koodinatlaı Paçalaın ağılık mekezleinin koodinatlaı Cismin toplam ağılığı

100 Poblem Üç boyutlu cismin ağı ğılık mekezini bulunuz

101 X xv V Y yv V Z zv V 4 3 ( 3.08 in ) ( in ) X in. 4 3 ( in ) ( in ) Y in. 4 3 ( 1.618in ) ( in ) Z in.