SAKARYA ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ FİZİK BÖLÜMÜ ELEKTROMANYETİK TEORİ MAGNETOSTATİK. Hamit NEHİR B

Transkript

1 T.C. SAKARYA ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ FİZİK BÖLÜMÜ ELEKTROMANYETİK TEORİ MAGNETOSTATİK Hamit NEHİR B SAKARYA 2015

2 İçindekiler 5.3 MAGNETİK ALANIN DİVERJANS VE ROTASYONELİ Doğru Akımlar B nin Diverjans ve Rotasyoneli Ampere Yasasının Uygulamaları Magnetostatik ve Elektrostatiğin Karşılaştırılması MAGNETİK VEKTÖR POTANSİYEL Vektör Potansiyel Özet: Magnetostatik Sınır Koşulları Magnetik Dipol Momenti... 16

3 Şekil Listesi Şekil 5.26 Sonsuz Doğrusal Bir Akımın Magnetik Alan Çizgileri...4 Şekil 5.27 Doğrusal akımlar demeti...5 Şekil 5.29 P Noktasındaki Magnetik Alan...6 Şekil 5.30 Yüzeyden Geçen Toplam Akım...8 Şekil 5.33 I Akımı Geçen ve R Yarıçaplı Silindir...9 Şekil 5.34 Düzgün Yüzey Akımı...9 Şekil 5.35 Ampere Çevrimi Şekil 5.43 (a)noktasal Yüküm Elektrik Alanı (b) Sonsuz Telin Magnetik Alanı Şekil 5.46 Magnetostatikte J Akım Yoğunluğu, B Alanı ve A Potansiyeli Arasındaki İlişki Şekil 5.47 Yüzeyi İki Taraftan Saran İnce Bir Tablet Şekil 5.48 Tegetsel Bileşen Şekil 5.49 r Orjinden O Noktaya Çizilen Konum Vektörüdür Şekil 5.50 Kapalı Bir Eğri... 18

4 5.3 MAGNETİK ALANIN DİVERJANS VE ROTASYONELİ Doğru Akımlar Sonsuz doğrusal bir akımın magnetik alan çizgileri Şek.5.26 da gösterildiği gibidir. Yine, çizgilerin sıklığı alan şiddetini temsil eder. Burada B alanı uzaklıkla ters orantılı olduğundan, merkezden uzaklaştıkça çizgiler seyrekleşir. Bu şekle baktığınızda, bu alanın diverjansının sıfır olacağını, ama rotasyonelin sıfırdan farklı olacağını tahmin edebilirsiniz. Tabii burada özel bir durumdan söz ediyoruz, ama nereye kadar sürdürülebileceğini bir görelim. Şekil 5.26 Sonsuz Doğrusal Bir Akımın Magnetik Alan Çizgileri nin B R yarıçaplı bir çember üzerindeki eğrisel inteğralini hesaplayalım. Magnetik alan formülünden alınırsa B. dl = ( µ0 I 2πR I )dl = (µ0 ) dl = µ 0 I 2πR Sonuç R uzaklığından bağımsızdır, çünkü B alanı 1/r gibi azalırken, çemberin çerçevesi r gibi artıyor. Aslında, eğriyi çember seçmek gerekmez: Teli çevreleyen her kapalı eğri aynı sonucu verir. Nitekim (r, Ø, z ) silindirik koordinatlarını seçer ve akımı z-yönünde alırsak µ0 I =( B )Ø ve dl =dr r + rdø Ǿ+ dz z 2πr olur. Buna göre, kapalı herhangi bir eğri üzerinde µ0 I B. dl = ( ) 2π (1) rdø= µ 0 I r bulunur. Burada eğrinin tel çevresinde bir kez dolandığı varsayıldı; iki kez dolansaydı açısı 0 dan 4π ye değişirdi; keza, eğri telin çevresinde dolanmıyorsa, açısı [ 1 ve 2 ] aralığında gidiş-geliş yaptığından d =0 olurdu (Şek. 5.27)

5 Şekil 5.27 Doğrusal akımlar demeti Şimdi bir doğrusal akımlar demeti göz önüne alalım. Seçtiğimiz kapalı eğri içinde kalan akımlar integrale µ0 I kadar katkıda bulunurken, eğri dışında kalan akımlar bir katkıda bulunmazlar (Şek. 5.27). Buna göre, eğrisel integral sonucu şöyle olur; B. dl = µ 0 l iç (5.37) Burada l iç eğri içinde kalan net akımdır. Yük akışı hacimsel bir J akım yoğunluğuyla verilmişse, eğri içinde kalan akım miktarı l iç = J. d s a (5.38) olurdu, burada integral halkanın sınırladığı yüzey üzerinden alınmıştır. Stokes teoremini Denk ye uygularsak ( x ). B d s a = µ 0 J. d s olur ve buradan integrandların eşitliği çıkar: a xb =µ 0 J (5.39) Fazla yorulmadan B nin. rotasyoneli için en genel ifadeyi çıkarmış olduk (diverjansın sıfır olduğu açıktır). Fakat ispatımızda sonsuz doğrusal akımlar kullanılmış olması bir eksiktir. Doğrusal tel yaklaşıklığına uymayan birçok akım dağılımı vardır ve (5.39) formülünün bunlara da uyduğunu söyleyemeyiz. O halde B nin diverjans ve rotasyonelinin en genel sistematik ispatına girelim B nin Diverjans ve Rotasyoneli Genel bir hacimsel akım yoğunluğu için Biot-Savart yasasından başlayalım. B = µ0 4π J X R R 2 dr (5.40) Bu formül bir P=(x, y, z) noktasındaki magnetik alanı J (x, y,z ) akım yoğunluğu integral olarak verir (Şek.5.29). Yola çıkmadan önce her şeyi açıkça belirtelim: B alanı ( x, y, z ) nin bir fonksiyonudur. J akım yoğunluğu (x, y,z ) nün bir fonksiyonudur.

6 R =(x- x )ı + (y - y ) j + (z- z )k dr= dx dy dz Şekil 5.29 P Noktasındaki Magnetik Alan İntegral (x, y,z ) koordinatlarına göre alınmaktadır; diverjans ve rotasyonel ( x, y, z) koordinatlarına göre hesaplanacaktır. Denklem 5.40 e diverjans uygulayarak, şunu elde ederiz; xb = µ0.(j x R 4π R2)dr (5.41) Vektör operatör çarpımlarında ki 6. Kuralı hatırlayalım;.(j x R R 2)= R. ( x J ) J. ( x R R 2 R2) (5.42) J vektörü (x, y, z ) değişkenlerine bağlı olmadığından xj =0 olur; ayrıca x(r/r 2 )=0 olduğundan (Bkz. Problem 1.57). Buradan diverjans bulunur; xb = 0 (5.43) Denklem 5.40 e rotasyoneli uygulayarak şunu elde edebiliriz; xb = µ0.( J x R 4π R2) dr (5.44) İntegrandı açmak için 8. Çarpım kuralı kullanılır:.( J x R R 2)= J (. R R 2 - (J x ) R R 2 (5.45)

7 (J nin türevini ilgilendiren terimleri bıraktım, çünkü J vektörü (x, y, z) koordinatlarına bağlı değildir.)sağdaki ikinci terimin integralinin sıfır olduğunu birazdan göstereceğim. Birinci terim, Bölüm 1 de özellikle vurguladığımız bir diverjans idi; sonucu burada hatırlatalım; Böylece (. R R 2)= =4πδ3 (R ) (5.46) xb = µ0 4π J(r )4πδ 3 ( r r ) dr= µ 0 J olur. Bu sonuç, (5.39) formülünün sadece doğrusal akımlarla sınırlı olmadığını magnetostatiğin temel bir denklemi olduğunu gösterir. İspatı tamamlamak için (5.45) denklemindeki ikinci terimin integralinin sıfır olduğunu göstermemiz gerekiyor. Türev işlemi sadece sağındaki R/R 2 terimine etkimektedir. Buradaki bağımlılık R =( r r ) şeklinde olduğundan, türevi yerine türevine geçersek bir eksi işareti gelir; -(. J ) R =(. J ) R (5.47) R2 R 2 Bu ifadeyi indirgemek üzere, sadece x bileşenine bakalım: (. J ) ( X X R 3 ) = (X X ). [ J R 3 ] ( X X R 3 ) (. ) J (Burada 5. Çarpım kuralını uyguladım.) Şimdi kararlı akımlar için J nin diverjansının sıfır olduğunu [(5.27) denklemi] hatırlayalım. J =0 Buna göre [ ( J. ) R 2]=.. [ R (X X ) J ] R 3 Bu bileşenin (5.44) integraline katkısına bakalım ve diverjans teoremini kullanalım: hacim. [ (x x ) J R 3 ] = yüzey (x x ). J da R 3 (5.48) ( türevinden türevine geçmemin nedeni, burada diverjans teoremini uygulayabilmek içindi. Yaptığımız iş bir çeşit kısmi integrasyondur: R üzerindeki türevi J türevine atmış R2 olduk.) Bu integrali hangi yüzey üzerinde alıyoruz? (5.40) Biot- Savart yasasındaki tüm akım yoğunluklarını içine alan yüzey üzerinde. İsterseniz daha da büyük bir yüzey alabilirsiniz, nasıl olsa daha dışarda J = 0 olacağından, integrale katkıda bulunmaz. Önemli nokta, tüm akımları çevreleyen yüzey üzerinde akımın sıfır olduğudur: J = 0 Buna göre (5.47) yüzey integrali sıfır olur.

8 5.3.3 Ampere Yasasının Uygulamaları B nin rotasyoneline ait denklem; xb =µ 0 J Ampere yasasını adını alır (diferansiyel şekilde). Bunun integral ifadesini elde etmek için Stokes teoremini uygulanır. ( x ). B da = B. dl = s c µ 0 J. da s Şimdi, J. da yüzeyden geçen toplam akım (Şek.5.30) olup Iiç ile göstermiştik. Buna göre B. dl =µ C 0 I iç Şekil 5.30 Yüzeyden Geçen Toplam Akım Ampere yasasının integral ifadesi olur ve (5.36) denklemini tüm magnetostatiğe genelleştirir. Bölüm 1 de Stokes teoreminden gördüğümüz gibi, Ampere yasasında da işaret sorunu olabilir. Eğri üzerinde hangi yönde gidilmelidir? Yüzeyi geçen akımların hangisi pozitif alınmalıdır? Çözüm her zaman olduğu gibi, sağ el kuralıdır: Dört parmağınızın eğrisel integral yönünde kıvırırsanız, baş parmağınız pozitif akımın yönünü gösterir. Elektrostatikte Gauss yasasının oynadığı rolü, magnetostatikte Ampere yasası üstlenir. Özellikle, akım dağılımı simetrik ise, magnetik alanı bulmakta en kestirme yoldur. Örnek 5.7 : Sabit I akımı geçen sonsuz doğrusal telden r uzaklıkta magnetik alanı bulunuz.( Bu problemi Örnek 5.5 te Biot-Savart yasasıyla çözmüştük.)

9 Çözüm: Şekilde gösterilen B alanının çevresinde dolanımlı yönde olduğunu biliyoruz. Tel çevresinde r yarıçaplı bir Ampere çevrimi alırsak, simetriye göre bu eğri üzerinde B alanı sabit büyüklükte olacaktır. Ampere yasasına göre Veya B. dl = B dl=b(2πr)=μ 0 I iç =μ 0 I B= μ 0 I 2πr Bu yanıt daha önce (5.32) denklemi olarak bulunmuştu: Ampere yasası daha kolay sonuç verir. Örnek 5.9: I akımı geçen ve R yarıçaplı silindir üzerine sıkıca sarılmış sonsuz solenoidin birim uzunluğunda N sarım vardır. Solenoidin içinde ve dışında magnetik alanı bulun (Şek 5.33). (Not: Sarımın sıkı olmasındaki amaç her bir sarımı çember gibi düşünebilmek içindir. Buna eşdeğer olarak Şek.5.34 de gösterilen K=NI kadar düzgün yüzey akımı alınabilir.) Şekil 5.33 I Akımı Geçen ve R Yarıçaplı Silindir Şekil 5.34 Düzgün Yüzey Akımı Çözüm: Yine, B alanı hangi yönde olabilir? Sorusuyla başlayalım. Radyal bileşeni olabilir mi? Hayır. Eğer pozitif bir B r bileşeni olsaydı, akım yönünü tersine çevirdiğimizde B r negatif olurdu. Fakat I akımını tersine çevirmek, solenoidi fiziksel olarak tersine çevirmeye eşdeğerdir ve bu, radyal magnetik alanı değiştiremez. Peki dolanımlı bir bileşeni olabilir mi? Hayır. Çünkü, bu takdirde B bileşeni, Şek teki Ampere çevrimi üzerinde sabit olurdu: Ampere yasasına göre B. dl = B (2πr) = μ 0 I iç = 0 olurdu, çünkü bu çevrim içinde kalan net akım sıfırdır.

10 Şekil 5.35 Ampere Çevrimi O halde, sonsuz Solenoidin magnetik alanı eksene paralel olur. Öte yandan, sağ el kuralına göre, solenoit içindeki magnetik alan yukarı yönde, dışında ise aşağı yönde olmalıdır. Buna göre, Şek daki gibi seçilen iki Ampere çevrimi üzerinde Ampere yasasını uygulayalım. 1. Çevrim tümüyle solenoit dışında olup, kenarları eksenden a ve b uzaklıktadır. B. dl =[B(a) B (b)]l= μ 0 I iç = 0 B(a)=B(b) Solenoit dışındaki alan eksenden uzaklığa bağımlı değildir. Fakat r olduğunda magnetik alanın sıfır olması gerekir. O halde, dışarda magnetik alan her yerde sıfırdır. 2.çevrime gelince, bu çevrimin yarısı içerde, yarısı dışardadır. Ampere yasasına göre B. dl =B L=μ 0 I iç =μ 0 N I L (Dışarda B=0 olduğundan çevrimin sağ kenarı katkıda bulunmaz)sonuç olarak μ 0 N I z (solenoit içinde) B = 0 (solenoit dışında) Solenoit içinde magnetik alanın düzgün oluşu, elektrostatikte düzlem kapasitörle benzerlik gösterir Magnetostatik ve Elektrostatiğin Karşılaştırılması Elektrostatik alanın diverjans ve rotasyoneli şöyledir;. E = ρ ε 0. E = 0 (Gauss Yasası) (Adı yok)

11 Bu iki bağıntı elektrostatiğin Maxwell denklemleridir. ρ yük yoğunluğu verilmişse, yüklerden çok uzakta E 0 koşulunuda kullanarak, iki denklemden elektrik alan bulunabilir. Bu iki denklem, Coloumb yasası ve toplana bilirlik ilkesine eşdeğer olurlar. Magnetostatik alanın diverjans ve rotasyoneli şöyleydi;. B = 0 X B = µ0 J (Adı yok) (Ampere Yasası) Bunlar da magnetostatiğin Maxwell denklemleri olurlar. Yine, akımlardan çok uzakta B 0 koşuluyla birlikte, iki denklem Magnetik alanı bulmaya yeterlidir. Biot-Savart yasasındaki bilgiye eşdeğerdirler. Maxwell denklemleri F = Q ( E +v x B ) olan Lorentz kuvvetleriyle birlikte elektrostatik ve magnetostatiğin temel yasalarını en şekilde ifade eder. Şekil 5.43 (a)noktasal Yüküm Elektrik Alanı (b) Sonsuz Telin Magnetik Alanı Elektrik alan çizgileri pozitif yükten ıraksar; Magnetik alan çizgileri akım çevresinde dolanır (Şek. 5.43). Elektrik alan çizgileri pozitif yükten başlar, negatif yükte biter; magnetik alan çizgileri hiçbir yerden başlamaz veya bitmez; ya kapalı eğri oluşturur, ya da sonsuza giderler. Başka bir deyişle, E alanın tersine B alanı için noktasal bir kaynak yoktur elektrik yükün Magnetik karşılığı yoktur.. B = 0 ifadesinin fiziksel anlamı budur. Coloumb ve diğer öncüler magnetik monopol denilen Magnetik yük ün varlığına inanıyorlardı; hatta bazı eski kitaplarda Magnetik kuvvet için Coloumb yasası benzeri ifadeler bulabilirsiniz. Tüm magnetik etkilerin elektrik yüklerin hareketlerinden kaynaklandığı fikrini ilk ortaya atan Ampere oldu. Günümüzdeki anlayışa göre Ampere haklı görünüyor. Ancak, doğada Magnetik monopollerin var olup olmadığı deneysel bir araştırma konusudur. Eğer Magnetik monopol var ise, henüz bulunamadığına göre sayıca az olmalıdır; aslında yeni parçacık fiziği teorilerine göre var olması gerekir. Klasik elektro magnetik teoride. B = 0, yani Magnetik monopol yoktur.

12 O halde, hareket eden bir yük magnetik alan oluşturabilir ve bundan etkilenen diğer yük de hareketli olmalıdır. Kaynak yük hareketsiz ise (B = 0) veya test yükü hareketsiz ise (v = 0), Lorentz kuvveti F = QE şeklinde basitleşir. Tipik olarak elektriksel kuvvetler magnetik kuvvetlerden daha büyük mertebede olurlar. Bunun teoriye bakarak göremezsiniz, evrensel ε 0 ve μ 0 sabitlerinin büyüklükleri bundan sorumludur. Ancak yüklerin hızı ışık hızına yaklaştığında Magnetik kuvvetler elektrik kuvvetlerle aynı mertebede olurlar (Bkz Problem 5.12 ve 5.19). Buna rağmen, nasıl bir oluyor da magnetik etkileri görebiliyoruz? Çünkü hem Biot-Savart yasasında ve hem de Lorentz kuvvetlerinde esas olan akımdır. Hızlar küçük olsa da, telden geçen yük miktarı o kadar büyüktür ki hızın küçük oluşunu karşılar. Yükün fazla oluşu büyük bir elektrik alan oluşturabilirdi, ama telde eşit ve zıt miktarda pozitif yük bulundurarak telin nötr olmasını sağlarsak, elektrik alan oluşmaz ve magnetik alan tek başına gözlenir. Bu fazla karmaşık gibi gelebilir, ama günlük yaşamda akım geçen tellerde olan biten budur. 5.4 MAGNETİK VEKTÖR POTANSİYEL Vektör Potansiyel Elektrostatikte. E = 0 oluşu. E = V şeklinde skaler bir V potansiyelini tanımlama olanağı verilmişti. Benzer şekilde, magnetostatikte. B = 0 oluşu, B = x A şeklinde bir A vektör potansiyeli tanımlama olanağı verir, çünkü rotasyonelin diverjansı özdeş olarak sıfır olduğundan,. B =0 eşitliği otomatik olarak sağlar. Ampere yasasına gelince x B = x( xa ) = (. A )-( 2 A = μ 0 J (5.55) denklemini sağlayan bir A bulunabilir mi? (Burada 1.38 özdeşliği kullanıldı.) Elektrostatik potansiyelde bir keyfilik olduğundan söz etmiştik; Gradyanı sıfır olan herhangi bir fonksiyonu (yani sabiti) V potansiyeline eklersek, fiziksel E büyüklüğü değişmiyordu. Benzer şekilde, potansiyeli sıfır olan herhangi bir fonksiyonu (yani, skaler bir fonksiyonun gradyanını) A potansiyeline eklersek, fiziksel B büyüklüğü değişmez. Bu serbestliği diverjans terimini elemek için kullanabiliriz:. A = 0 (5.56) Gerçekten de, elimizdeki bir A potansiyeline, bir λ fonksiyonun gradyanını ekleyerek yeni bir A =A + λ vektörü kuralım. Bunun diverjansı. A =. A + 2 λ olur. Şimdi (5.56) koşulunu sağlaması için λ fonksiyonu şöyle seçilmelidir: 2 λ= -(. A ) Oysa bu, (2.21) Poisson denklemi yapısındadır:

13 2 V =- ρ ε 0 Burada ρ/ ε 0 yerine. A gelmiştir. Yerel bir yük dağılımı için Poisson denkleminin çözümünü biliyoruz. ρ sonsuzda sıfıra gidiyorsa, V= 1 4πε 0 ρ R dr olur. Benzer şekilde. A sonsuzda sıfıra gidiyorsa λ= 1 4π.A R dr olur, yani ilke olarak vektör potansiyelinin diverjansının sıfır kılacak şekilde bir λ fonksiyonu bulunur. Daha açık bir deyişle, B = x A tanımı A nın rotasyonelini belirtir, ama diverjans için bir şey söylemez biz de bu serbestliği diverjansı sıfır yapacak şekilde kullanırız. Bu seçim sonucu (5.54) denklemindeki Ampere yasası söyle olur: 2 A = μ 0 J (5.57) Bu da Poisson denkleminden başka bir şey değildir; daha doğrusu her bileşeni düşünerek, üç tane Poisson denklemi olur. J akım yoğunluğu sonsuzda sıfıra gidiyorsa, bunun çözümü doğrudan yazılabilir. A = μ 0 J 4π R dr (5.58) Boyca ve yüzeysel akım yoğunlukları için u formülü şöyle değiştirmek gerekir: A = μ 0 I 4π R dl=μ 0I dl 4π R ve A = μ 0 K da (5.59) 4π R Eğer akımlar sonsuzda sıfıra gitmiyorsa, bu formüller geçersizdir ve A potansiyelini bulmak için başka yollar düşünülür. Doğrudan A potansiyeli V kadar kullanışlı değildir, çünkü hala bir vektör ile çalışmayı gerektirir. Ancak, (5.57) denklemi yine de Biot-Savart yasasına göre daha basittir. Mümkün olsaydı B = - U (5.60) Şeklinde bir potansiyel bulabilseydik, daha iyi olurdu. Fakat bu, Ampere yasasıyla çelişir, çünkü gradyanın rotasyoneli daima sıfır olur. (Bununla birlikte, akımların bulunmadığı bölgelerde çalışacaksanız, skaler bir magnetik potansiyel tanımlanabilir, fakat teorik bir araç olarak kullanışsızdır. Bkz. Problem 5.30) Öte yandan, Magnetik kuvvetler iş yapmadığından A için, V potansiyelinin birim yükün yaptığı iş şeklindeki tanımına benzer basit bir fiziksel yorum getiremiyoruz. Yine de, vektör potansiyelin ne kadar önemli bir kavram olduğunu Bölüm 9 da göreceğiz.

14 5.4.2 Özet: Magnetostatik Sınır Koşulları Bölüm 2 de elektrostatiğin temel üç büyüklüğü (ρ, E ve V) arasındaki ilişkileri gösteren bir üçgen diyagram çizmiştim. Magnetostatikte J akım yoğunluğu, B alanı ve A potansiyeli arasındaki ilişkileri de benzer bir diyagramla özetlemek mümkündür (Şek.5.46). Bu diagramdaki bir bağıntıyı, yani A vektörünü B cinsinden veren formülü konumuzu işlerken çıkartmamıştık. Böyle bir formüle hiç gerek duyacağınızı sanmıyorum, ama konuyu tamamlamak için bunun da çıkaralım. Şekil 5.46 Magnetostatikte J Akım Yoğunluğu, B Alanı ve A Potansiyeli Arasındaki İlişki A ile B nin sağladıkları denklemleri alt alta yazarsak bir paralellik görülür:. A = 0. B = 0 x A = B x B = μ 0 J Yani B nasıl J ye bağlı ise, A da B ye aynı şekilde bağlı olacaktır. J cinsinden B yi veren ifade Biot-Savart yasasıydı: B = μ 0 J x R 4π R 2 dr O halde, gerekli değişikliği yaparsak bulunur. A = 1 B x R 4π R 2 dr (5.67) Elektrostatikte, yüzey yükünü geçerken elektrik alanın dik bileşeninin sonlu bir sıçrama yaptığını görmüştük. Benzer şekilde, bir yüzey akımı olduğunda magnetik alanın tegetsel bileşeni süreksiz olur.

15 Şekil 5.47 Yüzeyi İki Taraftan Saran İnce Bir Tablet Şek.5.47 deki yüzeyi iki taraftan saran ince bir tablet şeklindeki yüzeye. B = 0 formülünün integral şeklini uygularsak B. da =0 olur. Yan yüzeylerde katkı olmayacağından, alt ve üst yüzeyler için B üst= B alt (5.68) Şekil 5.48 Tegetsel Bileşen Bulunur. Tegetsel bileşen için Şek deki gibi, yüzey akımına dik yönde dikdörtgen bir Amper çevrimi seçilirse B. dl = (B üst - B alt ) I= µ 0 l iç=µ 0 Kl (5.69) B üst - B alt = μ 0 K Buna göre, magnetik alanın yüzeye tegetsel fakat akıma dik bileşeni μ 0 K kadar sonlu bir sıçrama yapar. Yüzek akımına paralel bir çevrimde hesap yapılırsa, yüzeydeki paralel bileşenin sürekli olduğu görülür. Bu sonuçlar tek bir formülde şöyle toplanabilir: B üst - B = alt μ 0 (K x n ) (5.70) Burada n yüzeyin üst tarafına doğru olan normal vektörüdür. Elektrostatikte potansiyelde olduğu gibi magnetik vektör potansiyel her sınırda süreklidir.

16 A üst = A alt (5.71) Çünkü.A =0 oluşu dik bileşenin sürekli olacağını garanti eder. xa =B eşitliğinide şöyle yazalım A. dl = B.da =Φ Buna göre, genişliği sonsuz küçük bir Ampere çevriminden geçen akı magnetik sıfır olacağından, A nın tegetsel bileşenide sıfır olur. Fakat B deki süreksizlik A nın türevine miras kalır: A üst n Magnetik Dipol Momenti - A alt n = - μ 0K (5.72) Yerel bir akım dağılımının magnetik alanını (veya, vektör potansiyelini) uzak mesafelerde yaklaşık olarak bilmek istiyorsanız, multipol açılımı bire birdir. Hatırlayın: multipol açılımın ana fikri potansiyeli 1/r nin kuvvet serisi olarak yazılabilmektir. Burada r orjinden o noktaya çizilen konum vektörüdür (Şek 5.49). r yeterince büyük ise, seri açılımındaki ilk terim diğerlerinden daha baskın olur. Kısım 3.41 deki (3.89) denklemini tekrar ele alalım: Şekil 5.49 r Orjinden O Noktaya Çizilen Konum Vektörüdür Buna göre, bir teldeki akımın vektör potansiyelini veren (5.58) denklemi şöyle yazılabilir: A = μ 0 4π dl R =μ 0 I İlk birkaç terimi açık yazalım: 1 4π r n+1 n=0 ((r ) n Pn (cosθ)dl (5.74) A = μ 0 4π [1 r dl + 1 r 2 r cosθ + 1 r 3 (r ) 2 ( 3 2 cosθ2 1 2 ) dl + ] Daha önce olduğu gibi, birincil (1/r li) terime monopol, ikinci (1/r 2 li) terime dipol, üçüncüye kuadrupol vb. adı verilir

17 Magnetik monopol terimi, beklendiği gibi, daima sıfır olur, çünkü birinci integral kapalı bir eğri üzerindeki vektörel yer değiştirmelerin toplamıdır: d l =0 (5.76) Bu.B =0 denkleminin gerektirdiği gibi, doğada magnetik monopol olmayışının bir yansımasıdır. Monopol yokluğunda en baskın terim magnetik dipoldür: A dip = μ 0 I 4πr 2 r cosθdl = μ 0 I 4πr 2 (r -r )dl (5.77) Bu integrali daha bilinen bir şekle sokmak için sevimsiz bir takım işlemler gerekir. Önce şuna dikkat edelim (r sabit): Buna göre d[(r. r )r ]=(dr. r )r +(r. r )dr [(dr. r )r + (r. r )dr ]= d [(r. r )r ]=0 Olur (kapalı bir eğri üzerinde tam difransiyeldeki değişme sıfırdır).buradan (dr. r )r = - (r. r )dr Olur. Üçlü vektörel çarpımının indirgeme formülünü şu ifadeye uygulayalım: r x (r xdr ) = [(dr. r )r (r. r ) dr ]=-2 (r. r ) dr Şimdi toparlayalım: r koordinatındaki değişme kapalı eğri üzerinde olduğundan: burada dr = dl dir (Şek. 5.49). Buna göre (r. r ) dl =- 1 r x (r x dl ) (5.78) 2 olur. O halde (5.76) denklemindeki dipol potansiyeli şöyle yazılabilir: A dip = μ 0 m x r (5.79) 4π r 2 Burada m, kapalı akım çevrimirin magnetik dipol momenti olur: m = 1 2 I (r x dl ) (5.80)

18 Şekil 5.50 Kapalı Bir Eğri Eğer, akım çevrimi düzlemde ise (5.80) denklemindeki integralin geometrik bir yorumu vardır. Şek deki eğri için 1 r x dl 2, taralı üçgenin alanıdır. O halde, integralin büyüklüğü tüm kapalı eğri içinde kalan yüzey alanı olur. Bunu vektörel olarak yazarsak 1 (r x dl )=a (5.81) 2 Burada yüzey alanı vektörü, sağ el kuralına göre seçilen düzlem normali yönündedir. O halde, düzlem akım çevrimleri için dipol momenti (akım x yüzey alanı) olur. m = I a (5.82) Pratikte en sık karşılaşılan düzlem çevrimler olduğundan, bazıları (5.82) formülünü magnetik dipol momentinin tanımı zannederler. Diğer karmaşık akımlar da sonsuz küçük düzlem eğrilerin toplamı olarak düşünülürse, bu formül kullanışlı olur.