Vektörler - Kuvvetler

Transkript

1 Vektörler - uvvetler 1. esiþen üç kuvvet dengede ise, herhangi iki kuvvetin bileþkesi ters yöndeki T T üçüncü kuvvete büyüklükçe eþittir. G Ýplerde oluþan gerilme kuvvetleri arasýndaki açý büyüdükçe bileþkesi küçülür ve daha küçük yük taþýyabilir. Açý küçüldükçe bileþke büyür ve daha büyük yük taþýyabilir. Buna göre, en fazla yük C þýkkýnda, en az yük ise E þýkkýnda kaldýrýlabilir. 5. ÁF 1 kuvveti ile ÁF kuvvetinin bileþkesi V yönünde- ÁF 1 ÁF ÁR ÁF 1 V dir. ÁF 1 ile ÁF kuvvetinin bileþkesi ile ÁF 3 ün bileþkesinin ÁR olabilmesi I O ÁF ÁF 3 için, ÁF 3 kuvveti soruda kesikli çizgi ile gösterilen I nolu kuvvet olmalýdýr. Cevap A. ayýðý ýrmakta hareketsiz tutabilecek kuvvet, bileþke kuvvete eþit ve zýt yönlü kuvvettir. Dolayýsýyla önce bileþke kuvvetin bulunmasý gerekir. ÁF 1 ile ÁF 3 kuvvetleri zýt yönlü olduðundan bileþkesi ÁF 3 yönünde ve f f = f kadardýr. ÁF 3 yönündeki f kadarlýk kuvvet ile ÁF kuvvetinin bileþkesi de V yönündedir. Bu bileþke kuvveti dengeleyecek kuvvet II yönünde olmalýdýr. 3. noktasal cismi, üzerine etkiyen kuvvetlerin bileþkesi yönünde hareket eder. Uç uca ekleme metoduna göre, bileþke kuvvet þekildeki gibi ÁF kuvveti yönünde bulunur ve cisimde ÁF kuvveti yönünde hareket eder. Not: Uç uca ekleme metodu uygulanýrken kuvvetlerin eklenme sýrasýnýn önemi yoktur, her durumda sonuç deðiþmez. ÁF 1 ÁF 4 ÁF ÁF 3 ÁR 4. Þekilde ÁF kuvveti ile ÁF 4 kuvveti birbirine büyüklükçe eþit ve zýt yönlü olduðundan birbirinin etkisini yok ederler. Dolayýsýyla parçacýk geriye kalan ÁF 1 ve ÁF 3 kuvvetlerinin bileþkesi yönünde hareket eder. Cevap A 6. noktasal parçacýðýnýn x yönünde hareket edebilmesi için, parçacýða uygulanan kuvvetlerin y doðrultusundaki bileþenlerinin vektörel toplamý sýfýr olmalýdýr. ÁF 1 kuvvetinin y doðrultusundaki bileþeni F 1y =4 birimdir. ÁF kuvvetinin y doðrultusundaki bileþeni F y = 3 birimdir. O halde ÁF 3 kuvvetinin y doðrultusundaki bileþeni ise F 3y = 1 birim olmalýdýr. Bunu saðlayan kuvvet ise kesikli çizgi ile gösterilen 4 nolu kuvvettir. 7. Uç uca ekleme yöntemi ile ÁF ÁF 3 toplamý yapýlýrsa, ÁF kuvveti Þekil - I deki gibi olur. Uç uca ekleme yöntemi ile ÁF 1 ÁF toplamýnýn x yönünde birim olmasý için, ÁF 1 in x yönünde 4 birim olmasý gerekir. O ÁF 1 ÁF ÁF ÁF 3 ÁF Þekil - I Þekil - II F 1 ÁF O ÁF 3 5

2 Vektörler - uvvetler 8. Duran bir cisim daima, kendisine etkiyen kuvvetlerin bileþkesi doðrultusunda (yönünde olmayabilir) hareket eder. ÁF 1 ÁF 1, ÁF ve 1 nolu kuvvetten oluþan bileþke, x doðrultusunda olmadýðýndan, noktasal parçacýk x yönünde gidemez. Dolayýsýyla üçüncü kuvvet, belirtilen 1 kesikli kuvveti olamaz. Cevap A ÁR ÁF 1 x 1. Duran cisimler bileþke ÁF 1 kuvvet yönünde hareket eder. Bileþke kuvvet ise uç uca ekleme ÁR ÁF metodu ile ÁF 3 yönünde bulunur. ÁF 5 ÁF 4 ÁF 3 Bileþke ÁF 3 yönünde olduðu için cisim ÁF 3 yönünde gider. 9. Engel kaldýrýldýðýnda, parçacýðý kuvvetlerin bileþkesi yönünde hareket eder. ÁF 1 ve ÁF 3, eþit ve zýt yönlü kuvvetler olduðu için bunlarýn bileþkesi sýfýrdýr. ÁF ve ÁF 4 ün bileþkesi ise, uç uca ekleme metoduna göre, ÁF, ÁF 4 ün ucuna eklenirse, bileþke ÁF 1 yönünde çýkar. Cevap A 10. Duran bir cisim, etkiyen kuvvetlerin bileþkesi yönünde sürekli hýzlanýr. Cisme etkiyen kuvvetlerin, bileþkesi þekildeki gibi ÁR olarak bulunur. ÁF 1 ÁR ÁF ÁF I. Uçuca ekleme metoduna göre iþlem yapýlýrsa, ÁF 1 ÁF ÁF 1 ÁF iþlemi, ÁF vektörünü vermez. ÁF 1 ÁF II. Þekilde de görüldüðü gibi ÁF 1 ÁF 4 vektörü bulunurken önce ÁF 4 vektörü ÁF 1 ÁF ters döndürü- lür ve uç uca eklenirse ÁF= ÁF 1 ÁF 4 ÁF 4 ÁF 1 ÁF 4 iþleminin sonucu ÁF vektörünü verir. III. II. yargýda yapýlan iþlemin aynýsý yapýlýrsa yine, ÁF ÁF 3 iþleminin sonucunda ÁF vektörüne eþit olduðu görülür. Cevap E ÁF kuvveti olmasaydý, bileþke kuvvet ayný yönde ÁR olurdu. O halde, bileþke kuvvet yön deðiþtirmediði için hýzýn yönü deðiþmez, bileþke kuvvetin þiddeti arttýðý için hýz büyüklüðü artar. 11. Durmakta olan cismi, etkiyen kuvvetlerin bileþkesi yönünde hareket eder. Cisim x yönünde gittiðine göre, iki kuvvetin bileþkesi de x yönünde olmalýdýr. Buna göre, ÁF ile 4 numaralý kuvvet uç uca eklenirse, bileþke x yönünde olur. 14. noktasal cismi, ayný düzlemdeki dört kuvvetin etkisinde ÁF ÁF 1 dengede kaldýðýna ÁF 3 göre, bileþke kuvvet sýfýr olmalýdýr. ÁF 4 Buna göre, Þekil-I de verilen üç kuvvetin bileþkesine eþit ve zýt yönlü olan kuvvet, bileþkeyi sýfýr yapar. Dolayýsýyla bu kuvvet ise ÁF 4 kuvveti olacaktýr. ÁF 1, ÁF ve ÁF 3 kuvvetlerin bileþkesi uç uca ekleme metoduna göre kesikli vektör olduðundan, ÁF 4 kuvveti de soruda verilen 3 vektörü olur. 6

3 Vektörler - uvvetler 15. Uç uca ekleme metoduna göre, bir kuvvetin baþlangýç noktasý ile son kuvvetin bitiþ noktasý çakýþýyorsa, bu kuvvetlerin bileþkesi sýfýrdýr. ÖS SORUARI ÁF 1, ÁF 4, ÁF 5 ve ÁF kuvvetlerinin bileþkesi sýfýrdýr. Geriye kalan yalnýz ÁF 3 kuvvetidir. Bu ise, bileþke kuvvet demektir. 18. ÁE 1 ÁE ÁE 3 vektörel toplamýnda ÁE 1 ve ÁE vektörleri uç uca eklendikten sonra ÁE 3 vektörünün tersi ÁE 1 ÁE 3 ÁE ( ÁE 3 ) alýnarak ÁE nin ucuna taþýnýrsa bileþke vektörünün ÁE 1 vektörü kadar olduðu görülür. Bu da 3 ile gösterilen vektördür. 16. cismi beþ kuvvetin etkisinde hareketsiz kaldýðýna göre, beþ kuvvetin bileþkesi sýfýrdýr. Verilen üç kuvvetin bileþkesi uç uca ekleme metodundan ÁR dir. ÁF 4 ÁF 5 ÁF 1 ÁF ÁF3 Öteki iki kuvvet bu üç kuvvetin bileþkesine eþit ve zýt yönlü olursa cisim hareketsiz kalýr. Þekil - II deki Á ve Á kuvvetlerinin bileþkesi ÁR ye eþit ve zýt yönlü olduðundan öteki iki kuvvet Á ve Á dir. R 19. esiþen üç kuvvet dengede olduðuna göre, herhangi iki kuvvetin bileþkesi ters yöndeki üçüncü kuvvete eþittir. Taralý dik üçgenden, F = 10. cos37 F = 10. 0,8 = 8 N ve F = 10. sin37 F = 10. 0,6 = 6 N dur. Halkalar en fazla 7 N kuvvete dayanýklý olduðundan, 8 N kuvvetin düþtüðü halkasý önce kopar. Daha sonra 10 N yükün tamamý halkasýna düþeceðinden o da kopar. F N F F 17. Dört kuvvetin etkisindeki cisim serbest býrakýldýðýnda O yönünde hareket edebilmesi için toplam kuvvetin (bileþkenin) O yönünde olmasý gerekir. O ÁF ÁF 1 ÁF 1, ÁF, ÁF 3 kuvvetleri uç uca eklendiðinde bileþkenin O yönünde olmasý için Þekil - II deki 1 nolu kuvvetin de uygulanmasý gerekir. O halde ÁF 4 kuvveti 1 nolu kuvvet olabilir. ÁF 3 ÁR ÁF 4 Cevap A 0. Cismin aðýrlýðý (I) ve (II) düzlemlerine dik olarak etkiyen iki bileþene ayrýlmýþtýr. ÁF 1 kuvvetinin düþey eksenle yaptýðý açý geometri bilgilerinden bulunur. Taralý dik üçgenden, F = F 1. sin 37 F = 1. 0,6 F = 7, N elde edilir. F 1 = 1 N 37 Düþey G F atay 7

4 Vektörler - uvvetler 1. Düzenekte cisimler dengede olduðuna göre ΣF = 0 olmalý, yani hem ΣF x = 0 m gcosq 1 m Z gcosq hem de ΣF y = 0 olmalýdýr. Z m g m Z g ve Z cisimleri baðlý olduklarý iplerde kendi aðýrlýklarý kadar gerilme m g kuvveti oluþtururlar. ΣF = 0 olduðundan; m g cosθ 1 = m Z g cosθ q 1 q yatay. Vektörlerin eþit olmasý için, büyüklüðünün yanýnda yönününde ayný olmasý gerekir. (I anlýþ) Á ( Â) = Á (II Doðru) Á Á = Â (III Doðru) Á Á=Á ÁÁ=Á Á Á Á Á Cevap E m cosθ 1 = m Z cosθ olur. ΣF = 0 olduðundan m g sinθ 1 mz g sinθ = m g m sinθ 1 m Z sinθ = m olur. Buna göre, I. yanlýþ, II. ve III. ise doðrudur. Cevap E 8

5 Vektörler - uvvetler 1. I. Bir cismin hareket durumunu deðiþtirmemesi için, ona etkiyen kuvvetlerin bileþkesinin sýfýr olmasý gerekir. II. Bir noktaya uygulanan birçok kuvvet yerine, bunlarýn bileþkesi kullanýlabilir. Buna göre, iki ucundan tutturulmuþ bir ip, aþaðýdaki asýlma biçimlerinden hangisinde en çok yük kaldýrabilir? A) B) C) 3. noktasýna þekil düzlemi içinde bulunan ÁF 1, ÁF, ÁF 3 ve ÁF 4 kuvvetleri etkimektedir. noktasý hangi yönde hareket eder? A) ÁF 1 yönünde B) ÁF yönünde C) ÁF 3 yönünde D) ÁF 4 yönünde ÁF 4 ÁF 1 E) esikli okla belirtilen yönde ÁF ÁF 3 ( ÖSS) D) E) ( ÖSS) 4. noktasal parçacýðýna, þekil düzlemindeki dört kuvvet etki ediyor. AA Bu parçacýk, hangi iki kuvvetin bileþkesi yönünde hareket eder? A) ÁF 1 ile ÁF 3 ün B) ÁF 1 ile ÁF nin C) ÁF 3 ile ÁF 4 ün D) ÁF 1 ile ÁF 4 ün ÁF 4 ÁF 1 ÁF ÁF 3 E) ÁF ile ÁF 3 ün. IV F 3 = f ( ÖSS) III b b a a F = f V II I F 1 = f Irmaktaki bir kayýk, yatay düzlemde F 1, F ve F 3 kuvvetlerinin etkisindedir. ayýðý, ýrmakta hareketsiz tutabilmek için uygulanacak dördüncü kuvvet hangi yönde olmalýdýr? A) I B) II C) III D) IV E) V ( ÖSS) 5. Bir cisme uygulanan üç kuvvetin bileþkesi ÁR dir. Bu kuvvetlerden ikisi ÁF 1 ve ÁF dir. AA Buna göre, üçüncü kuvvet kesikli çizgilerle gösterilenlerden hangisidir? A) I B) II C) III D) IV E) V I ÁR ÁF 1 V O ÁF II III IV ( ÖSS) 1

6 Vektörler - uvvetler 6. Sürtünmesiz, yatay bir düzlemde bulunan noktasal parçacýðý ayný düzlemdeki üç kuvvetin etkisiyle x yönünde hareket etmektedir. 5 4 Bu kuvvetlerden ikisi 3 ÁF 1 ve ÁF olduðuna göre, üçüncü kuvvet kesikli çizgilerle gösterilen- ÁF lerden hangisidir? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1 y ÁF 1 x ( ÖSS) 9. atay ve sürtünmesiz bir düzlem üzerinde, hareketi engellenmiþ noktasal bir parçacýðýna, ayný düzlemde ÁF 1, ÁF, ÁF 3 ve ÁF 4 kuvvetleri þekildeki gibi etkiyor. AA Engel kaldýrýldýðýnda cismin hareketi için ne söylenebilir? A) ÁF 1 yönünde hareket eder. B) ÁF yönünde hareket eder. C) ÁF 3 yönünde hareket eder. ÁF 4 ÁF 1 ÁF ÁF 3 7. D) ÁF 4 yönünde hareket eder. E) Hareketsiz kalýr. ( ÖSS) x ÁF ÁF 3 O ÁF 1 ÁF Ayný düzlemdeki ÁF 1, ÁF, ÁF 3 kuvvetlerinin ÁF 1 ÁF ve ÁF ÁF 3 toplamlarý ile ÁF 3 kuvveti þekildeki gibidir. Buna göre ÁF 1 kuvvetinin yönü ve büyüklüðü için ne söylenebilir? ÁF 3 A) Sýfýrdýr. B) x yönünde dört birimdir. C) x yönünde iki birimdir. D) x yönünde iki birimdir. E) ÁF 1 verilmeden bilinemez. x ( ÖSS) 10. atay sürtünmesiz bir düzlem düzlem üzerinde duran bir cismi, þekildeki ÁF 1, ÁF ve ÁF 3 kuvvetleri harekete geçiriyor. Ayný düzlemde etki eden bu kuvvetler, cisme t sürede v hýzýný kazandýrýyor. Bu olayda ÁF kuvveti olmasaydý, cismin ayný sürede kazanacaðý hýzýn büyüklüðü ve yönü v ye göre nasýl olurdu? Büyüklüðü önü A) Deðiþmezdi Deðiþirdi B) Azalýrdý Deðiþirdi C) Azalýrdý Deðiþmezdi D) Artardý Deðiþmezdi E) Deðiþmezdi Deðiþmezdi ÁF ÁF 3 ÁF 1 (199 - ÖSS) 8. Sürtünmesiz yatay bir düzlem üzerindeki ÁF noktasal parçacýðý, ayný düzlemde bulunan 1 1 üç kuvvetin etkisinde, ÁF x yönünde hareket etmektedir. Bu üç kuvvetten ikisi ÁF 1 ve ÁF dir. x 11. Sürtünmesiz yatay bir düzlem üzerinde duran cismi, ayný düzlemde bulunan iki kuvvetin etkisiyle x yönünde harekete geçiyor. y x 5 ÁF AA Buna göre, þekildeki kesikli çizgilerle belirtilenlerden hangisi kesinlikle üçüncü kuvvet olamaz? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 Bu kuvvetlerden biri þekildeki ÁF olduðuna göre, ikincisi kesik çizgilerle belirtilenlerden hangisidir? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 ( ÖSS) ( ÖSS)

7 Vektörler - uvvetler 1. Noktasal parçacýðý, yatay ve sürtünmesiz ÁF 5 ÁF 1 bir düzlem üzerinde durmaktadýr. ÁF 4 Bu parçacýða ayný ÁF 3 düzlemde ÁF 1, ÁF, ÁF 3, ÁF ÁF 4, ÁF 5 kuvvetleri þekildeki gibi etki ederse, parçacýk hangi yönde hareket eder? A) ÁF 1 yönünde B) ÁF yönünde C) ÁF 3 yönünde D) ÁF 4 yönünde 13. Þekildeki ÁF 1, ÁF, ÁF 3, ÁF 4 ve ÁF vektörleri ayný düzlemdedir. Buna göre ÁF vektörü, E) ÁF 5 yönünde ÁF 4 ( ÖSS) ÁF 1 ÁF 15. Þekildeki ÁF 1, ÁF, ÁF 3, ÁF 4, ÁF 5 kuvvetlerinin bileþkesi bu kuvvetlerden hangisine eþittir? 16. A) ÁF 1 B) ÁF C) ÁF 3 D) ÁF 4 E) ÁF 5 ÁF 3 Þekil - I ÁF 1 ÁF ÁF ÁF 5 ÁF 1 ÁF 3 ÁF 4 ( ÖSS - Ýpt.) Sürtünmesiz yatay bir düzlem üzerindeki noktasal parçacýðý, ayný düzlemdeki beþ ayrý kuvvetin etkisinde hareketsiz kalýyor. ÁN Á Þekil - II Á Á Á EE l. ÁF 1 ÁF ll. ÁF 1 ÁF 4 lll. ÁF ÁF 3 ÁF 3 iþlemlerinden hangilerine eþittir? (Bölmeler eþit aralýklýdýr.) A) alnýz l B) alnýz ll C) alnýz lll D) l ve ll E) ll ve lll ÁF Bu kuvvetlerden üçü (ÁF 1, ÁF, ÁF 3 ) Þekil - I deki gibi olduðuna göre, öteki iki kuvvet Þekil - II de verilenlerden hangileridir? A) Á veá B) Á veá C) Á veán D) Á ve Á E) ÁN ve Á (00 - ÖSS) ( ÖSS) ÁF 1 ÁF ÁF 3 O ÁF 1 ÁF ÁF 4 3 Þekil - I Þekil - II Þekil - I Þekil - II atay bir düzlem üzerindeki noktasal cismi, ayný düzlemdeki ÁF 1, ÁF, ÁF 3, ÁF 4 kuvvetlerinin etkisinde hareketsiz kalýyor. ÁF 1, ÁF, ÁF 3 kuvvetleri Þekil-I deki gibi olduðuna göre, ÁF 4 kuvveti Þekil-II de verilenlerden hangisidir? (Bölmeler eþit aralýklýdýr.) A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 AA Sürtünmesiz yatay bir düzlemde hareketsiz tutulan noktasal cismi serbest býrakýldýðýnda, üzerine uygulanan dört kuvvetin etkisiyle, Þekil - l deki O yönünde hareket ediyor. Bu kuvvetlerden üçü Þekil - l deki ÁF 1, ÁF, ÁF 3 tür. Buna göre, cismine etki eden dördüncü kuvvet Þekil - II de verilenlerden hangisi olabilir? ( cismi ve tüm kuvvetler ayný yatay düzlemdedir.) A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 ( ÖSS) (003 - ÖSS) 3

8 Vektörler - uvvetler ÖS SORUARI 1. Þekildeki düzenek dengededir. yatay E = 8 br E 1 = 10 br 1 E 3 = 8 br,, Z cisimlerinin kütleleri sýrasýyla m, m, m Z olduðuna göre, I. m = m m Z q 1 q yatay Z 5 II. m cosθ 1 = m Z cosθ Þekildeki E 1, E, E 3 vektörlerinden elde edilebilecek E 1 E E 3 deðerindeki vektör, kesikli çizgilerle gösterilmiþ olanlardan hangisidir? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 (198 - ÖS) EE III. m = m sinθ 1 m Z sinθ baðýntýlarýndan hangileri doðrudur? (akaralar sürtünmesizdir.) A) alnýz I B) alnýz II C) alnýz III D) I ve II E) II ve III ( ÖS) 19. Aðýrlýðý önemsiz ve yeterince dayanýklý bir telin O noktasýna düðümlenmiþ 10 N luk yük, þekildeki ve halkalarýna asýlmak isteniyor. Halkalar ancak 7 N luk kuvvete dayanýklýdýr. Tel baðlanýp yük serbest býrakýlýnca halkalarýn durumu ne olur? (sin53 = cos37 = 0,8; cos53 = sin37 = 0,6) A) Bulunduklarý yerde kalýrlar. B) Ýkisi de ayný anda kopar. C) Önce, sonra kopar. D) Önce, sonra kopar. E) alnýz kopar O 10 newton ( ÖS). Þekildeki Á, Á, Á, Á Á vektörleri için yazýlan, I. Á = Â = Á Á Á II. Á Â = Â Á III Á Á = Â eþitliklerinden hangileri doðrudur? EE A) alnýz I B) alnýz II C) alnýz III D) I ve II E) II ve III ( ÖS) 0. Düzgün ve türdeþ bir top þekildeki gibi (I) ve (II) düzlemlerine dayalý durmaktadýr. F =? N Cisim I düzlemine F 53 F 1 = 1 N luk bir 1 = 1 N 37 kuvvet uyguladýðýna yatay göre, II düzlemine kaç N luk kuvvet uygular? (sin37 = cos53 = 0,6 ; sin53 = cos37 = 0,8) A) 15 B) 1 C) 9,6 D) 7, E) 0 (I) O (II) ( ÖS) 4

9 oment - Denge 1.. N O Þekildeki eþit bölmeli çubuðun yatay olarak dengede kalabilmesi için, hangi aralýkta bulunan bir noktadan asýlmýþ olmasý gerekir? (Çubuðun aðýrlýðý önemsenmeyecek kadar küçüktür.) A) B) C) N D) NO E) OR Çubuk Destek 3 R ( ÖSS) F Sabit makara 4. Destek O G O Çubuk N G Þekil - I N Þekil - II Þekil - I deki aðýrlýðý önemsiz, bölme aralýklarý eþit çubuk, G yükü ve F kuvvetiyle yatay dengededir. G yükü Þekil - II deki gibi O noktasýna kaydýrýlýrsa ayný büyüklükteki F kuvvetinin yine yatay denge saðlamasý için destek nereye konmalýdýr? A) noktasýna B) ile nin orta noktasýna C) noktasýna D) ile N nin orta noktasýna E) N noktasýna F F yatay yatay Þekildeki düzenekte çubuk yatay durmaktadýr. El kantarýnýn gösterdiði F deðeri kaç dir? (Çubuk aðýrlýðý ihmal edilmiþtir.) A) 1 B) C) D) E) ( ÖSS) ( ÖSS) 3. alas er düzlemi Destek Bazý bölümleri tek, bazý bölümleri iki kat olan eþit bölmeli, düzgün ve türdeþ bir kalas, þekildeki gibi desteðe dayalý durmaktayken yerdeki ucu tutuþuyor. anan kýsým hemen döküldüðüne göre, alev nereye gelince kalas öteki yana eðilir? A) Tam ye B) - arasýnda bir yere C) Tam ye D) - arasýnda bir yere E) Tam ye ( ÖSS) Alev 5. F Þekildeki eþit bölmeli türdeþ çubuk, cismi ve büyüklükleri eþit F kuvvetleriyle yatay dengededir. cisminin aðýrlýðý kaç F dir? (Çubuk aðýrlýðý ihmal ediliyor.) 4 3 A) B) C) D) E) F ( ÖSS) 1

10 oment - Denge 6. I II 8. ipi O 1 yatay O yatay O ipi yatay AA düþey düþey III O 3 düþey yatay Eþit karelere bölünmüþ, düzgün, türdeþ I, II ve III levhalarýnýn O 1, O ve O 3 noktalarýndan levha düzlemlerine dik, sürtünmesiz miller geçirilmiþtir. Bu levhalar düþey düzlemde þekildeki konumlarda tutulmaktadýr. evhalar serbest býrakýlýrsa, hangilerinin konumu deðiþmez? A) alnýz I B) alnýz II C) alnýz III D) I ve II E) II ve III ütle merkezi O olan düzgün bir tahta cetvel ve üzerindeki m kütleli bilye þekildeki konumda iken,, iplerindeki gerilme kuvvetlerinin büyüklüðü sýrasýyla T, T oluyor. Bilye ok yönünde hareket ederek cetvelin ucuna gelinceye kadar geçen sürede T ve T için ne söylenebilir? T T A) Artar Azalýr B) Artar Artar C) Artar Deðiþmez D) Deðiþmez Deðiþmez E) Azalýr Artar ( ÖSS - Ýpt.) ( ÖSS) 7. N yatay 9. N R O Aðýrlýðý önemsenmeyen, eþit bölmeli bir çubuk, cisimleriyle þekildeki gibi yatay dengededir. AA cismi, noktasýna kaydýrýldýðýnda, yatay dengenin bozulmamasý için; I. cismini N noktasýna kaydýrma II. cisminin kütlesini yarýya indirme III. Aský noktasýný noktasýna kaydýrma IV. Aský noktasýný N noktasýna kaydýrma iþlemlerinden hangileri yapýlmalýdýr? A) I ya da II B) I ya da III C) I ya da IV D) II ya da III E) II ya da IV O noktasýndan asýlý, aðýrlýðý önemsiz, eþit bölmeli çubuðun,, noktalarýna, özdeþ 7 cisim þekildeki gibi baðlanmýþtýr. atay tutulan çubuk, aþaðýdaki iþlemlerden hangisi yapýldýktan sonra serbest býrakýlýrsa yatay konumunu korur? A) deki cisimleri ye kaydýrma B) deki cismi ye kaydýrma C) deki cismi N ye kaydýrma D) deki cisimleri N ye kaydýrma E) deki cisimleri R ye kaydýrma ( ÖSS) (000 - ÖSS)

11 oment - Denge 10. ütlesi önemsenmeyen eþit bölmeli bir çubuk,, Z cisimleriyle þekildeki gibi dengededir. Buna göre, Z I. in kütlesi ninkinden büyüktür. II. in kütlesi Z ninkinden büyüktür. III. nin kütlesi Z ninkinden büyüktür. yargýlarýndan hangileri kesinlikle doðrudur? A) alnýz I B) alnýz II C) alnýz III D) II ve III E) I, II ve III yatay (001 - ÖSS) 1. 3m ip N R ip noktasýndan asýlý, aðýrlýðý önemsenmeyen, eþit bölmeli çubuða 3m kütleli cismi ve kütlesi bilinmeyen cismi þekildeki gibi asýldýðýnda yatay denge saðlanýyor. Çubuðun asýlma noktasý ye kaydýrýldýðýnda yatay dengenin bozulmamasý için, m kütleli Z cismi çubuðun neresine asýlmalýdýr? A) N noktasýna B) N ile nin arasýna C) noktasýna D) ile R nin arasýna E) R noktasýna ip yatay (003 - ÖSS) 11. yatay 13. yatay ip ip Z m m AA ütlesi önemsenmeyen eþit bölmeli bir çubuða, m, m, m Z kütleli,, Z cisimleri þekildeki gibi asýldýðýnda yatay denge saðlanýyor. Buna göre, olabilir? m m Z oraný aþaðýdakilerden hangisi 3 5 A) 1 B) C) D) E) 3 (00 - ÖSS) ütlesi m olan eþit bölmeli, düzgün, türdeþ bir çubuða m ve m kütleli cisimler þekildeki gibi asýlýyor. Bu çubuk hangi noktasýndan asýlýp serbest býrakýlýrsa yatay dengede kalýr? A) noktasýndan B) uzunluðunun orta noktasýndan C) noktasýndan D) uzunluðunun orta noktasýndan E) noktasýndan (004 - ÖSS) 3

12 oment - Denge 14. Þekildeki levha, O noktasýnda, F düzlemine dik bir eksen O çevresinde dönmektedir. r evhaya,, Z noktalarýnda r Z uygulanmýþ F kuvvetleri, ayný düzlemde ve eþit büyüklüktedir. r F Bu kuvvetlerin, O eksenine F göre,, Z momentleri büyüklük bakýmýndan nasýl sýralanýr? ÖS SORUARI A) Z < < B) Z < = C) = Z < D) < = Z E) = = Z (198 - ÖS) 16. Þekildeki taralý levhaya, kendi düzleminde kalan f, f, 3f ( ) büyüklüðünde üç kuvvet etki etmektedir. f O noktasýndan geçen ve () levhaya dik olan eksene göre, bu kuvvetlerin bileþke momentinin büyüklüðü nedir ve levha hangi yönde döner? A) f. r ve ( ) yönde B) f. r ve () yönde C) f. r ve ( ) yönde D) f. r ve () yönde E) 3f. r ve () yönde 3f O r r r f ( ÖS) 15. atay Eþit bölmeleri olan, aðýrlýðýndaki düzgün ve türdeþ bir cetvel, iki destek üzerinde þekildeki gibi durmaktadýr. O noktasýndan hareket eden bir oyuncak araba, - arasýna geldiðinde cetvelin öteki ucunu yukarý kaldýrdýðýna göre, bu arabanýn aðýrlýðý cetvelin aðýrlýðýna göre ne kadardýr? A) / den azdýr. B) / ile arasýndadýr. C) Tam kadardýr. D) ile arasýndadýr. E) den fazladýr. O ' ( ÖS) 17. ütlesi m olan düzgün ve türdeþ çubuk, O ucundan geçen eksen çevresinde dönebilmektedir. Çubuk, þekildeki gibi duruyorken elle tutulan m/ kütlesi serbest býrakýlýrsa hangi konumda dengede kalýr? A) O D) O B) O yatay 45 O E) m O C) O m/ ( ÖS) 4

13 oment - Denge 18. EE F= 1 newton = 10 newton 10 N luk yükü, düzgün ve türdeþ bir kalasa, þekildeki gibi uygulanmýþ 1 N luk F kuvvetiyle kaldýrýlabilmektedir. alasýn aðýrlýðý kaç newton olur? (alastaki bölmeler eþit aralýklýdýr.) A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 1 1. Bir basamaða çýkarýlacak tekere þekildeki ÁF 3 ÁF yönlerde ayrý ayrý uygulanmasý düþünülen 1 ÁF ÁF 1, ÁF, ÁF 3 kuvvetlerinden hangileri tekeri basamaða çýkarabilir? A) alnýz ÁF 1 B) alnýz ÁF C) ÁF 1 ve ÁF D) ÁF ve ÁF 3 E) ÁF 1, ÁF ve ÁF 3 ( ÖS) ( ÖS) 19. Bir ucundan duvara dayalý 16 N aðýrlýðýnda, 10 eþit bölmeli, düzgün ve türdeþ çubuk þekildeki gibi yatay tutulmaktadýr. Ýpi geren T kuvveti kaç N dur? (Sürtünme yoktur) = 16 newton akara T=? çubuk A) 6 B) 8 C) 10 D) 1 E) 16 ip ( ÖS). Bir çubuðu O noktasýnda kendine dik bir eksen çevresinde dönebilmektedir. F, F, F büyüklüðünde üç kuvvet bu çubuða þekildeki gibi uygulanmýþtýr. Bu kuvvetlerin çubuða uyguladýklarý toplam momentin büyüklüðü ve çubuðun dönme yönü nedir? A) Fd, ( ) yönde B) Fd, ( ) yönde C) Fd, () yönde D) 4Fd, ( ) yönde F E) 4Fd, () yönde O d d d F F () ( ) ( ÖS) 0. T tekeri, þekil düzlemine dik ve O merkezin- r den geçen sabit bir eksen çevresinde döne- 37 r O T bilmektedir. Tekerin iç =? yarýçapý r, dýþ yarýçapý = 10 kg r dir. ve noktalarýna baðlý iplerin uçlarýnda ve kütleleri tekeri þekildeki gibi dengede tutulabiliyor. AA = 10 kg ise kaç kg dýr? (sin37 = 0,6 ; sürtünme yok.) A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 ( ÖS) 3. F düþey d d d alýnlýðý önemsenmeyen þekildeki türdeþ levha deliðinden yatay bir mile takýlmýþtýr. evhadaki karelerin her biri aðýrlýðýndadýr. evha, þekildeki gibi dengede olduðuna göre, F kuvvetinin büyüklüðü nedir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 d d yatay ( ÖS) 5

14 oment - Denge 4. ucundan menteþeli katý cisme düþey düzlemde F 1, F, F 3 kuvvetleri ayrý ayrý uygulanýyor ve bu kuvvetlerin her biri tek baþýna cismi þekildeki gibi dengede tutulabiliyor. Düþey Bu kuvvetlerin büyüklükleri arasýndaki iliþki nedir? (sin45 = cos45 = ñ/) A) F 1 <F <F 3 B) F 3 <F <F 1 C) F <F 1 =F 3 D) F 1 =F 3 <F a a ÁF 1 45 ÁF ÁF 3 E) F 1 = F =F 3 atay 7. Düzgün, türdeþ çubuðu, suyun kaldýrma kuvveti ile cisminin aðýrlýðý ve ipteki gerilme kuvvetinin etkisinde, yarýsý suyun içinde kalacak biçimde, þekildeki gibi dengededir. ip yatay Çubuðun aðýrlýðý 3 N, cisminin aðýrlýðý N olduðuna göre, çubuðun asýldýðý ipteki gerilme kuvveti kaç N dur? (Bölmeler eþit aralýklýdýr.) A) 1 B) C) 9 D) 13 E) 3 su ( ÖS) (199 - ÖS) 5. AA N Þekildeki eþit bölmeli çubuðun kütlesi önemsiz, üzerine asýlan cisimler özdeþtir. Çubuðun þekildeki gibi yatay dengede durabilmesi için,,, N noktalarýndan hangi ikisine, bu özdeþ cisimlerden birer tane daha asýlmalýdýr? A)ve B)ve C)veN D) ve E) ve N yatay ( ÖS) 8. Düþey düzlemde olan ÁF 1 þekildeki türdeþ, düzgün eþkenar üçgen levha, O noktasýndan geçen, kendi O düzlemine dik eksen çevresinde kolaylýkla dönebilmektedir. Bu ÁF levha kendi düzlemi ÁF 3 içindeki ÁF 1, ÁF, ÁF 3, ÁF 4, ÁF 5 kuvvetlerinin etkisinde dengededir. Bu kuvvetlerden hangisi kaldýrýlýrsa levhanýn dengesi bozulmaz? A) ÁF 1 B) ÁF C) ÁF 3 D) ÁF 4 E) ÁF 5 ÁF 5 ÁF 4 ( ÖS) 6. Türdeþ ve özdeþ iki tuðla, iki destek üzerinde þekildeki konumda dengededir. yatay F 1 F Desteklerin tuðlalara uyguladýklarý tepki kuvvetlerinin büyüklükleri F 1 ve F dir. EE F1 Buna göre, oraný kaçtýr? F (Bölmeler eþit aralýklýdýr. ) A) B) C) D) E) ( ÖS) 9. ucuna baðlý menteþe çevresinde serbestçe dönebilen, d uzunluðundaki türdeþ ve düzgün kalas, þekildeki konumda dengededir. AA 53 alasýn aðýrlýðý olduðuna göre, ipteki gerilme kuvvetinin büyüklü- ðü kaç dir? (sin 53 = 0,8; cos 53 = 0,6) A) B) C) D) E) ip yatay (1998 ÖS) 6

15 oment - Denge 1. N O R Çünkü üste konulan parçalardan, arasýna konulan desteðe daha uzak olduðundan, desteðe göre momenti daha büyük olur. F = 4 Çubuðun yatay olarak dengede kalabilmesi için, yüklerin bileþkesinin uygulama noktasýndan asýlmasý gerekir. ye kadar yandýðý düþünülürse bu durumda desteðin sol tarafýndaki parçalarýn momenti, sað taraftakilerin momentinden daha büyük çýkar. O halde alev - arasýna geldiðinde çubuk öteki tarafa eðilir.. uvvetlerin ikiþerli bileþkesi alýnarak üç kuvvetin bileþkesinin yeri bulunabilir. kuvvetlerinin bileþkesi aralarýndaki uzaklýðýn tam ortasýndadýr. lik bu kuvvet ile R noktasýna asýlan lik kuvvetin bileþkesi, aralarýndaki uzaklýðýn tam ortasýndadýr. Bu nokta ise N arasýndadýr. Dolayýsýyla çubuk N arasýndan asýlýrsa yatay olarak dengede kalýr. Çubuk Destek 3 F F Sabit makara 4. Çubuk, Þekil - I deki gibi yatay olarak dengede olduðuna göre, G ve F nin destek noktasýna göre moment büyüklükleri eþittir. G. = F. 6 G = 3F bulunur. atay dengenin olabilmesi için moment eþitliðinin yine saðlanmasý gerekir. G. x = F. (6 x) 3F. x = F. (6 x) x = 1,5 bölme Destek O dan 1,5 bölme öteye, yani ve G nin orta noktasýna konulmalýdýr. O x 6 x F El kantarýnýn gösterdiði deðer ipteki gerilme kuvvetine eþit olur. Sabit makara sadece kuvvetin yönünü deðiþtirir. Düzenek dengede olduðundan, desteðe göre momentlerin eþitliðinden, 5. Bu soruda çubuðun aðýrlýðýnýn önemsiz olduðu verilmemiþtir. Fakat verilen cevap çubuðun aðýrlýðýnýn önemsiz olmasý halinde çýkmaktadýr. O F F. 3 =. F= olur. 3 F Çubuk dengede olduðuna göre, kuvvetlerin O ya göre momentlerinin toplamý sýfýrdýr. 3. alas Çubuðun ucu noktasýna kadar yandýðýnda, çubuðun diðer ucu aþaðý inmez. Alev Σ o = 0 F. 1 F = 0 4F = 3 4 = F 3 7

16 oment - Denge 6. illerin geçtiði O 1, O, O 3 noktalarýna göre, her iki taraftaki parçalarýn momentleri eþit olursa levha verilen konumda dengede kalýr. illerin geçtiði parçalarýn aðýrlýklarý mil tarafýndan dengelenir. ani dikkate alýnmaz. 8. G bilye O T yatay T O 1 O Çubuðun kütle merkezi O noktasý olduðuna göre, aðýrlýk kuvveti O noktasýndan gösterilir. 3 br Þekil - I 3 br O 3 br br Þekil - III br 1 br 1 br br Þekil - II ipinin çubuða baðlandýðý noktaya göre moment alýndýðýnda, bilyenin bu noktaya göre momenti sürekli artar. Dengenin saðlanabilmesi için ipindeki gerilme kuvvetinin momentininde artmasý gerekir. ipinin ipine uzaklýðý deðiþmediðine göre, T gerilme kuvveti artar. Denge þartýna göre, T deðeri T = G bilye T dir. T nin artmasý, T nin de artmasý demektir. Þekil - I de O 1 noktasýna göre moment alýndýðýnda momentler eþit çýkar ve levha dengede kalýr. Þekil - II de O noktasýna göre momentler eþit olmaz ve dengede kalmaz. Þekil - III de O 3 noktasýna göre momentler eþit olmadýðý için dengede kalmaz. Cevap A 9. O noktasýndan iple asýlmýþ olan, aðýrlýðý önemsiz eþit bölmeli çubuða asýlý cisimlerin, O noktasýna göre momentleri eþit olmadýðýndan, çubuk yatay olarak dengede kalamaz. ve den asýlan cisimlerin momenti 7 birim ise, den asýlanlarýn momenti 8 birimdir. omentlerin eþitlenip çubuðun yatay olarak dengede kalabilmesi için deki cismi ye kaydýrmak gerekir. 7. atay denge saðlandýðýndan ve nin, ipin çubuða baðlandýðý noktaya göre momentleri eþittir.. =. 4 = dir. cismi ye getirildikten sonra dengenin bozulmamasý için = oraný korunmalýdýr. I..1 =. denge bozulmaz. II.. 1 =. 4 denge bozulmaz. III.. 3 =. 3 denge bozulur. IV.. 3 =. denge bozulur. Cevap A 10. Çubuðun kütlesinin önemsiz olduðu soruda verilmiþtir. Ýpin olduðu noktaya göre, aðýrlýk kuvvetinin momenti alýnýrsa,. =. 1 Z. = Z olur. Bu baðýntýya göre, cisminin kütlesi kesinlikle Z ninkinden büyüktür. Fakat ile ve ile Z nin kütlelerinin kýyaslanmasý için kesin bir þey söylenemez. 8

17 oment - Denge 11. cisminin olmadýðýný kabul edip, desteðe göre moment alýnýrsa, m = 3mZ m 3 = olurdu. m Z m 3 cismi de olduðuna göre, oraný den küçük olur. Bunu saðlayan seçenek yalnýz A m Z dýr. Ayrýca, desteðe göre moment alýnýrsa, m m = 3m Z 13. Düzgün ve türdeþ çubuðun kütlesi m olarak ip verildiðine göre, aðýrlýk kuvveti orta noktadan gösterilir. aralel üç kuvvetin bileþkesinin mg uygulama mg mg noktasýndan asýlan R çubuk, yatay olarak dengede kalýr. Üç kuvvetin bileþkesi ise noktasýndadýr. baðýntýsýna göre, þýklar denenerek te bulunabilir. Cevap A ÖS SORUARI 1. Çubuðun aðýrlýðý önemsiz olduðuna göre, dengenin saðlanabilmesi için ipin asýldýðý noktasýna göre momentler eþit olmalýdýr. Soruda verilen þekle göre, m. g. = 3mg. 1 m = 3 m dir. 14. oment, = F d baðýntýsý ile bulunur. Burada d uzaklýðý, kuvvetin uygulama doðrultusuna moment merkezinden çizilen dik uzaklýktýr. O noktasýna göre momentleri ayrý ayrý yazarsak, = F. r = F. r Z = F. r dir. Buna göre, momentler arasýnda = Z < iliþkisi vardýr. 3m N R ip Çubuk noktasýndan asýldýðýnda dengenin saðlanmasý için, in noktasýna göre momenti, ve Z nin noktasýna göre momentleri toplamýna eþit büyüklükte olmalýdýr. Aðýrlýk yerine kütleyi de kullanabiliriz. Çünkü iki taraftan çekim ivmeleri sâdeleþir. 3 3m. = m.1 m. x 9 m = m.x 9 x = =,5br. olur. 4 yatay Buna göre, Z cisminin asýldýðý yerin ye uzaklýðý birimden fazla olmaktadýr. ani Z cismi R arasýnda bir yere asýlmalýdýr. x 3 m Z 15. Araba de iken denge bozulsaydý;. 1 = '. 1 ' = olurdu. Eðer araba de iken denge bozulsaydý;. 1 = '. ' = / olurdu. Denge ile arasýnda bozulduðuna göre, oyuncak arabanýn aðýrlýðý / ile arasýndadýr. 16. O noktasýna göre toplam moment yazýlýrsa, Σ O = 3f. r f. r f. 3r Σ O = f. r bulunur. Buna göre, levha f r kadarlýk bir momentle () yönde döner. 9

18 oment - Denge 17. O noktasýna göre çubuðun momenti, 1 = m m kütleli cismin momenti, m = 1 = olduðundan çubuk dengededir. Buna göre, r = r m g r = m g sin37 r m = m 0,6 m = 10 0,6 6 m = = 3 kg bulunur. Cevap A N G 10 N Düzgün ve türdeþ kalasýn aðýrlýk kuvveti tam orta noktasýndan gösterilir. yükünün sabit hýzla kaldýrýlabilmesi ya da dengede tutulabilmesi için desteðe göre moment eþitliðinin saðlanmasý gerekir. Cevap E 19. Ýpteki gerilme kuvveti T, çubuðun aðýrlýk kuvveti dir. Çubuk dengede tutulduðuna göre, çubuðun duvara baðlantý noktasýna göre moment eþitliði var demektir. O noktasýna göre moment eþitliði yazýlýrsa, 8. T = T = 10 N bulunur. O 8 bölme 5 bölme T = 16 N 1. üreyi basamaktan çýkarabilmek için, basamak köþe- ÁF 3 ÁF si olan A noktasý etarfýnda () O döndürmek gerekir. ÁF 1 A ürenin G aðýrlýk kuvvetinin G A noktasýna göre momenti ( ) ( ) yöndedir. O halde bu momenti yenecek () yönde bir moment olmalýdýr. ÁF 1 ve ÁF 3 kuvvetlerinin uygulanma doðrultusu A noktasýndan geçtiði için moment deðerleri sýfýrdýr. ani küreyi döndürmeleri mümkün deðildir. () yönde moment uygulayan yalnýz ÁF kuvvetidir. Dolayýsýyla küreyi basamaða yalnýz ÁF kuvveti çýkarabilir. 0. Cisimlerin baðlý olduðu iplerdeki gerilme kuvvetleri cisimlerin aðýrlýklarýna eþittir. cisminin aðýrlýðýnýn =m g 37 1 bileþeninin O noktasýna göre momenti sýfýrdýr. Dolayýsýyla dengeye etkisi olan bileþenidir. nin ve nin O noktasýna göre momentleri eþit olduðundan denge saðlanmýþtýr. 1 r O =m g =m g sin37. Büyüklükleri F olan kuvvetlerin O noktasýna göre momentleri () yönde, F kuvvetinin ise ( ) yöndedir. Buna göre, toplam moment, Σ = F d F d F d Σ = F d bulunur. () Buna göre, çubuk toplam F d kadarlýk momentle ( ) yönde döner. F O d d d F ( ) () F 10

19 oment - Denge 3. Herbir parçanýn d d d aðýrlýk kuvveti olduðundan, levhanýn d ikiþerli par- F çalarýnýn aðýrlýk kuvvetleri orta noktalarýndan þekildeki gibi göste- rilir. Bu lik kuvvetlerin noktasýna göre momentleri F kuvveti- nin noktasýna göre momentine büyüklükçe eþittir. F d = d F = 5 = 7 bulunur. 4. F 1, F, F 3 kuvvetleri levhayý ayrý ayrý dengelendi- a ðine göre, herbirinin noktasýna göre momenti, levhanýn aðýrlýk kuvvetinin noktasýna göre momentine eþittir. ani kuvvetlerin añ ÁF 1 ÁF a ÁF 3 noktasýna göre momenti eþittir. = F d olduðuna göre, = F 1 a = F añ = F 3 a dýr. Buna göre, kuvvetlerin büyüklükleri arasýnda, F < F 1 = F 3 iliþkisi vardýr. 5. Çubuðun yatay olarak dengede kalabilmesi için desteðin her iki tarafýndaki cisimlerin aðýrlýk kuvvetlerinin desteðe göre momentleri eþit olmalýdýr. Cisimlerin herbirinin aðýrlýðýna diyelim sol taraftaki cisimlerin desteðe göre momentleri, sol = 3 1 sol = 6 dir. 5 d Sað taraftaki üç cismin desteðe göre momenti, sað = 3 1 = 3 dir. Sað taraftaki momentin de 6 olabilmesi için, özdeþ cisimlerden bir tane ye, bir tane de ye asýlýrsa, sað taraftaki toplam moment 6 olur. Cevap A 6. Özdeþ tuðlalarýn aðýrlýklarýna diyelim. F 1 F Desteklerin tepkileri de F 1 ve F dir. Her bir desteðe göre ayrý ayrý moment alýnýrsa, I. destek II. destek destek tepkilerinin oraný bulunur. I. desteðe göre, F 4 = 1 3 F = 4 II. desteðe göre, F1 4 = 3 5 F1 = 4 5 F1 4 5 Buna göre, = = olur. F Suya batan bir cisme uygulanan kaldýrma kuvveti, batan kýsmýn hacim merkezine uygulanýr. Çubuðun batan kýsmý iki birim olduðundan, kaldýrma kuvveti O noktasýna uygulanýr. Cevap E Çubuðun aðýrlýk merkezinden aðýrlýk kuvveti gösterilip bilinmeyen kuvvetin (kaldýrma kuvveti) olduðu yere göre moment alýnýrsa; T 3 = 3 1 3T = 7 T = 9 N olur. T N Fk O 3 N 8. evhanýn dengesinin bozulmamasý için, O ya göre momenti sýfýr olan kuvvet kaldýrýlmalýdýr. ÁF kuvvetinin uygulama doðrultusu O noktasýndan geçtiði için d uzaklýðý sýfýrdýr. Dolayýsýyla, = F d baðýntýsýndan moment sýfýr olur. O halde ÁF kuvveti kaldýrýlýrsa levhanýn denge durumu deðiþmez. 11

20 oment - Denge 9. Çubuk dengede olduðuna göre, ipteki gerilme kuvvetine T denilirse, T nin ye göre moment büyüklüðü, çubuðun aðýrlýðýnýn ye göre moment büyüklüðüne eþit demektir. d/ oment = F d baðýntýsý ile hesaplanýr. Buradan, T d/ ip yatay d T d sin53 = cos53 1 T 0,8 = 0,6 3 T = olur. 8 Cevap A 1

21 ütle erkezi 1. a a a Þekil - I S N a Z S U T N Þekil - II 4. T O S T O S EE. Þekil - I deki kare biçimli ince ve türdeþ levhanýn aðýrlýk merkezi, ayný türden üçgen levhanýnki N dir. Bu ikisinin yan yana gelmesi ile oluþan Þekil - II deki levhanýn aðýrlýk merkezi hangi nokta olur? ( = = Z = ZS ve U = UT = TN ) A) B) C) Z D) T E) U (198 - ÖSS) N Þekil - I N Þekil - II Þekil - I deki ince ve türdeþ metalden yapýlmýþ kare levhanýn kütle merkezi O noktasýndadýr. Bu levha, Þekil - II deki gibi, ve N boyunca kendi üzerine katlanýrsa kütle merkezi nerede bulunur? A) T noktasýnda B) T - O arasýnda C) O noktasýnda D) O - S arasýnda E) S noktasýnda ( ÖSS) Þekil - I I II Þekil - II Þekil - I deki gibi 8 eþit parçadan oluþmuþ düzgün ve türdeþ metal þeridin bir ucundan iki, öteki ucundan da bir parçasý, Þekil - II deki gibi, kendi üstüne katlanýrsa aðýrlýk merkezi nerede bulunur? A) noktasýnda B) I bölgesinde C) noktasýnda D) II bölgesinde E) noktasýnda ( ÖSS) 3. Düzgün, türdeþ ve ince metalden iki özdeþ kare kesiliyor. Bunlardan biri, köþegeni bo- O yunca kendi üzerine katlanýyor ve bu iki parça þekildeki gibi birleþiyor. Bu levhanýn aðýrlýk merkezi nerededir? (Þekildeki bölmeler eþit aralýklýdýr.) A) - O arasýnda B) O - arasýnda C) - arasýnda D) O noktasýnda E) noktasýnda ( ÖSS) 5. ütleleri, 3 ve olan daire biçiminde, r 3r r türdeþ, ince levhalardan O 1 O O 3 oluþmuþ þekildeki cismin aðýrlýk merkezi 3 nerededir? A) O 1 - arasýnda B) noktasýnda C) - O arasýnda D) O noktasýnda E) O - arasýnda ( ÖSS) 6. 4S d O 1 S d O ükseklikleri eþit üç türdeþ silindirin taban alanlarý 4S, S ve S yapýldýklarý maddelerin özkütleleri d, d ve d kütle merkezleri ise O 1, O ve O 3 tür. Bu silindirler þekildeki gibi birbirine yapýþtýrýldýðýnda oluþan cismin kütle merkezi nerede bulunur? A) O 1 - arasýnda B) da C) - O arasýnda D) O de E) O - arasýnda ( ÖSS) d O 3 S 1

22 ütle erkezi 7. Dairesel, türdeþ bir levhadan þekildeki gibi kesilerek elde edilen taralý parça, noktasýna baðlý iple çiviye asýlýyor. Bu parça, aþaðýdakilerden hangisine benzer konumda dengede kalýr? A) ip B) C) Çivi Çivi Çivi O D) ip Çivi ip O E) ip O' O r ip Çivi O 9. Bükülmüþ türdeþ bir tel, belli bir noktasýndan asýldýðýnda x - y düþey düzleminde, þekildeki gibi dengede kalýyor. Bu telin asýlma noktasý neresindedir? Düþey eksen y A) noktasýdýr. B) - nin orta noktasýdýr. C) noktasýdýr. D) - nin orta noktasýdýr. E) noktasýdýr. x atay eksen ( ÖSS) O O 10. O O O ( ÖSS) I II Özdeþ ve türdeþ 3 metal çubuða þekildeki I, II ve III biçimleri verilmiþtir. III 8. Dört özdeþ ve türdeþ kareden oluþmuþ biçimindeki levha noktasýna baðlanmýþ bir iple tavana asýlýyor. Bu levha aþaðýdakilerden hangisine benzer konumda dengede kalýr? A) B) C) EE Biçimlendirilen bu çubuklar bir iple O noktalarýndan asýldýklarýnda hangilerinin uzun kenarý düþey doðrultuda kalýr? A) alnýz I B) I ve II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III ( ÖSS) D) E) 11. Eþit karelere bölünmüþ düzgün ve türdeþ bir levhanýn kütle merkezi O dur. N O S evhadan, þekildeki taralý karelerle birlikte, harflerle T belirtilen karelerden hangi ikisi daha çýkarýlýrsa kütle merkezi yine O olur? A)ve B)veT C)NveT D) ve S E) S ve N ( ÖSS) (199 - ÖSS)

23 ütle erkezi 1. are biçimli düzgün, türdeþ, özdeþ I ve II levhalarý, þekildeki gibi, N köþesinden birbirine tutturulmuþtur. evhalardan her biri, N den geçen ve düzlemlerine dik olan eksen çevresinde serbestçe dönebilmektedir. EE I levhasý köþesine baðlý bir iple tavana asýlýrsa, denge konumu aþaðýdakilerden hangisi gibi olur? A) N ip B) ip N C) ip l N N ll 14. Türdeþ ve düzgün bir tel, tam ortasýndan dik açý yapacak biçimde büküldükten sonra þekildeki konumda tutuluyor. 15. düþey Bu tel, aþaðýdaki noktalarýn hangisinden asýlýp, serbest býrakýlýrsa þekildeki konumunu deðiþtiremez? (Bölmeler eþit aralýklýdýr.) A) B) C) D) N E) a a yatay N ( ÖSS) a 13. AA D) ip N E) N ip ( ÖSS) Türdeþ prizmasý ile türdeþ prizmasýnýn yapýþtýrýlmasýyla oluþturulan cisim þekildeki konumda dengededir. Buna göre; I. nin kütlesi inkinden büyüktür. II. Oluþturulan cismin kütle merkezi arasýndadýr. III. Cisim, S yüzeyi üzerine oturtulduðunda da dengede kalýr. yargýlarýndan hangileri doðrudur? (Bölmeler eþit aralýklýdýr.) A) alnýz I B) alnýz II C) alnýz III D) I ve III E) II ve III S yatay düzlem ( ÖSS) a I a a II Özdeþ ve türdeþ üç metal çubuða þekildeki l, ll, lll biçimleri verilmiþtir. Bu çubuklar birer iple noktalarýndan tavana asýldýklarýnda, hangilerinin kesimi düþey konuma gelir? A) alnýz l B) alnýz ll C) alnýz lll D) l ve ll E) l ve lll III ( ÖSS) 16. Eþit karelere bölünmüþ düzgün ve türdeþ levhalar, iplere asýlý olarak aþaðýdaki konumlarda tutuluyor. evhalar serbest býrakýlýrsa hangisinin konumu deðiþmez? A) ip düþey D) ip düþey B) ip düþey E) ip a düþey a C) ip düþey ( ÖSS) 3

24 ütle erkezi 17. Özdeþ ve türdeþ dörder parçadan oluþan metal çubuklara þekildeki I, II, III, IV, V biçimleri veriliyor ve herbiri O noktasýndan bir iple asýlýyor. ip O I ip O ip O II Çubuklar denge durumuna ulaþtýðýnda, hangisinin kesimi yatay konumda kalýr? A) I B) II C) III D) IV E) V ip O III ip O ( ÖSS) 19. Eþit karelere bölünmüþ düzgün ve türdeþ bir levhanýn kütle merkezi O noktasýndadýr. evhanýn, þekilde harflerle belirtilen karelerinden çýkarýlarak nin üzerine yapýþtýrýlýyor. evhanýn kütle merkezinin yine O noktasýnda kalmasý için, hangi kare çýkarýlýp hangisinin üzerine yapýþtýrýlmalýdýr? Çýkarýlacak kare Üzerine yapýþtýrýlacak kare A) T B) T C) N R D) S E) S ( ÖSS - Ýpt.) N O R S T 18. ütleleri m, m olan eþit bölmeli, I düzgün ve türdeþ l ve ll levhalarý þekildeki gibi birbirine tutturularak noktasýndan bir iple asýlýyor. m Bu levhalar aþaðýdakilerden hangisine benzer konumda dengede kalýr? A) ip B) ip C) ip II m 0. Dört eþit parçaya bölünmüþ daire biçimli türdeþ ve düzgün bir levhanýn I. bölmesinden çýkarýlan dairesel I II bir parça, þekildeki gibi II. O bölmesine yapýþtýrýlmýþtýr. evha, O merkezinden geçen, düzlemine dik bir eksen IV III çevresinde serbestçe dönebilmektedir. AA Bu eksen yatay konumdayken, levhanýn denge durumu aþaðýdakilerden hangisi gibi olur? A) B) C) D) E) düþey düþey düþey ip ip D) E) ( ÖSS) (000 - ÖSS) 4

25 ütle erkezi 1. düzlemi içinde þekildeki düzlemi gibi bükülmüþ düzgün ve türdeþ telin kütle merkezi nerededir? A) noktasýnda B) uzunluðunun orta noktasýnda C) noktasýnda D) uzunluðunun orta noktasýnda E) noktasýnda (001 - ÖSS) 4. Uzunluðu 6a olan düzgün, türdeþ bir tel þekildeki gibi bükülmüþtür. Bu tel, noktasýna baðlý bir iple tavana asýlýrsa, denge konumu aþaðýdakilerden hangisi gibi olur? A) B) C) tavan tavan ip ip ip a a O a O O a tavan a a O O O. Düzgün ve türdeþ,, karelerinden oluþan levha O köþesinden tavana asýldýðýnda, þekildeki konumda dengede kalýyor. Buna göre, I. nin kütlesi ninkine eþittir. II. nin kütlesi ninkine eþittir. III. nin kütlesi ninkine eþittir. yargýlarýndan hangileri kesinlikle yanlýþtýr? A) alnýz I B) alnýz II C) alnýz III O ip tavan D) tavan ip O E) ip tavan O (004 - ÖSS) D) I ve II E) II ve III (00 - ÖSS) 3. Þekildeki gibi eþit karelere bölünmüþ düzgün ve türdeþ levhanýn kütle merkezi O dur. O Bu levhanýn,,, N karelerinden hangi N ikisi birlikte çýkarýlýrsa, kütle merkezi O yönünde yer deðiþtirir? A) ile B) ile C) ile N D) ile E) ile N (003 - ÖSS) 5. Þekildeki levha, farklý metallerden yapýlmýþ dikdörtgen biçimli, a ince, düzgün ve türdeþ,,, N parçalarýndan oluþmuþtur. a Bu levhanýn kütle merkezi O noktasýdýr. AA a a a,,, N parçalarýnýn kütleleri sýrasýyla m, m, m, m N olduðuna göre, I. m = m II. m = m N III. m m = m m N eþitliklerinden hangileri kesinlikle doðrudur? A) alnýz I B) alnýz II C) I ve II D) I ve III E) II ve III O N a a a a (005 - ÖSS) 5

26 ütle erkezi 6. Türdeþ ve özdeþ 10 kareden oluþan þekildeki düzgün ince levhanýn,, N, R, S, T parçalarý tek;, parçalarý da çift katlýdýr. Buna göre, bu levhanýn 0 kütle merkezinin koordinatlarý (x,y) aþaðýdakilerden hangisidir? A) (,) B) (,3) C) (,4) D) (3,3) E) (3,4) y R N S (006 - ÖSS / Fen - ) T x 7. Düzgün ve türdeþ,,, N karelerinin kütleleri sýrasýyla m, m, m, m N dir. Bu karelerden oluþan levha O noktasýndan tavana bir iple asýldýðýnda þekildeki konumda dengede kalýyor. Buna göre, aþaðýdaki eþitliklerden hangisi kesinlikle yanlýþtýr? A) m = m B) m = m C) m = m N D) m = m ip O tavan N E) m = m N (007 - ÖSS / Fen - 1) 6

27 ütle erkezi 1. Türdeþ kare ve üçgen levha birleþtirildiginde, sistemin aðýrlýk merkezi, herbir levhanýn aðýrlýk merkezlerini birleþtiren doðrultunun üzerindedir. U T N br 1 br evhalarýn aðýrlýk kuvvetlerinin arasýndaki oran, levhalarýn alanlarý arasýndaki oran olarak alýnabilir. are levhanýn alaný ve aðýrlýðý birim ise, üçgen levhanýn alaný ve aðýrlýðý 1 birimdir. Aðýrlýk kuvvetlerinin bileþkesi ise U noktasýnda olur. Dolayýsýyla levhanýn aðýrlýk merkezi U noktasýndadýr. Cevap E R 4. arçalar katlanarak elde edilen üçgen levhanýn aðýrlýk merkezi orta nokta olan T noktasý olamaz. T - O arasýnda bir yerdedir. Üçgen levha ile, dikdörtgen levha eþit aðýrlýkta olduðundan, aðýrlýk kuvvetlerinin bileþkesi aralarýndaki uzaklýðýn tam orta noktasý T O N 1 br. S 1 br. olan O - S arasýnda olacaktýr. Dolayýsýyla kütle merkezi de O - S arasýndadýr.. I II br. br. 4 br. 4 br. Üst üste gelen parçalarýn aðýrlýðý alttaki ile beraber hesaplanýr. Þekilde parçalarýn aðýrlýklarý gösterilmiþtir. Bu üç kuvvetin bileþkesinin uygulama noktasý aðýrlýk merkezini verir. Buna göre, birimlik kuvvetlerin bileþkesi aralarýndaki uzaklýðýn tam ortasýndadýr. Daha sonra 4 birimlik iki kuvvetin bileþkesinin yeri II bölgesinde bulunur r 3r O r O 1 O 3 3. Türdeþ levhanýn yarýsýnýn kendi üzerine katlanmasý aðýrlýðýný deðiþtirmez. Elde edilen O üçgen lehvanýn aðýrlýk merkezi noktasýdýr. are levhanýn aðýrlýk merkezi ise köþegenlerin 1 br. 1 br. kesim noktasýdýr. Bu iki levha eþit aðýr- lýkta olduðundan, aðýrlýk kuvvetlerinin bileþkesinin uygulama noktasý, aralarýndaki uzaklýðýn tam orta noktasýndadýr. uvvetler arasýndaki uzaklýk 5 birim olduðundan, levhanýn aðýrlýk merkezi noktasýndan,5 birim ötedeki O - arasýnda olur. evhalarýn kütleleri verildiðine göre, aðýrlýklarýda kütleler oranýnda olacaktýr. evhalarýn aðýrlýk merkezlerinden aðýrlýk kuvvetleri gösterildikten sonra bileþke kuvvetin uygulama noktasý bulunur. Bu nokta aðýrlýk merkezinin yerini verir. r yarýçaplý levhanýn aðýrlýk kuvveti ile r yarýçaplý levhanýn aðýrlýk kuvvetlerinin bileþkesi O - arasýnda, dolayýsýyla tüm sistemin aðýrlýk merkezide O - arasýnda olur

28 ütle erkezi 6. Silindirlerin kütleleri m = V. d formülünden hesaplanýr. Silindirin hacmi ise taban alaný ile yüksekliðinin çarpýmýndan bulunur. Buna göre, O 1 4 O 1 merkezli silindirin kütlesi m 1 = 4S. h. d = 4 birim ise, O merkezli silindirin kütlesi m = S. h. d = birim olur. O O Asýlan bir cisim, aský y ipinin doðrultusu, cismin kütle merkezinden geçecek þekilde dengeye gelir. O R S V þeklindeki telin kütle merkezi R, geriye kalan x iki parça telin kütle merkezi S noktasýdýr. Tüm telin kütle merkezi ise O noktasý olur. Tel nin ortasýndan asýlýrsa, ipin doðrultusu O dan geçtiði için cisim, þekildeki gibi dengede kalýr. O 3 merkezli silindirin kütlesi ise, m 3 = S. h. d = 4 birim olur. Buna göre, 4 er birim aðýrlýðýndaki silindirlerin aðýrlýk kuvvetlerinin bileþkesi, tam orta nokta olan O noktasýndadýr. Dolayýsýyla sistemin aðýrlýk merkezi de O noktasýnda olur. 7. evhadan parça çýkarýlmasaydý aðýrlýk merkezi O noktasý olacaktý. Çýkarýlan parçanýn aðýrlýk merkezi OO' arasýnda olduðundan, taralý levhanýn aðýrlýk merkezi ON arasýndaki noktasýna kayar. noktasýndan asýlan cisim, ipin doðrultusu aðýrlýk merkezinden geçecek þekilde dengeye gelir. O' O r N br 1 br O O O br br br br 1 br 1 br Çubuklarýn yatay parçalarýnýn O ya göre momentleri yoktur. Çubuklarýn düþey parçalarýnýn momentlerinin toplamý sýfýrsa dönme olmaz, þekildeki gibi dengede kalýr. omentlerin toplamý sýfýrdan farklý ise, çubuklar döner. Σ 1 =.1.1 = 0 dönmez. Σ = = 0 dönmez. Σ 3 = = 0 dönmez. Cevap E 8. Ýple asýlan cisim, ipin doðrultusu aðýrlýk merkezinden geçecek þekilde dengede kalýr. þeklindeki cismin aðýrlýk merkezi þekildeki çizimden olarak bulunur. Cisim asýlýnca, ipin doðrultusu den geçecek þekilde dengede kalýr. O 1 3m R O S m 11. evhanýn kütle merkezinin 1 deðiþmemesi için, çýkan iki parçanýn kütle merkezi N O da olmalýdýr. O 3 ile 4, 3 ile N, 1 ile T parçalarýnýn kütle merkezi O da 4 T olduðu için, taralý karelerle birlikte N ve T parçalarý da çýkarýlýrsa, kütle merkezi yine O olur. 8

29 ütle erkezi 1. Türdeþ karelerin kütle merkezi köþegenlerinin kesim noktasý (karelerin ortak noktasý) dýr. I ve II kareleri, herhangi bir köþesinden asýlýnca ipin doðrultusu sistemin kütle merkezinden geçecek þekilde dengeye gelir. Sistemin kütle merkezi, her iki karenin orta noktasýný birleþtiren doðrunun üzerindedir. Cevap E 15. Bir cisim herhangi bir yerinden iple asýldýðýnda, ipin uzantýsý aðýrlýk merkezlerinden geçecek þekilde dengeye gelir. I. ve II. þekillerde aðýrlýk merkezi kesiminin saðýnda olduðu için kesimi düþey konumda kalamaz. III. þekilde ise sistemin aðýrlýk merkezi kesiminin tam ortasýnda olduðundan, ipin uzantýsý bu noktadan geçer ve kesimi düþey konumda kalýr. 13. rizmalarýn kütle merkezleri ve R S noktalarýnýn orta N noktalarýdýr. m R I. Cisim dengede olduðuna göre, m m ve m O nin O noktasýna göre momentleri eþittir. m. 1 = m. m > m (I Doðru) II. Cismin kütle merkezi ve R yi birleþtiren doðrunun üzerindedir. (II anlýþ) III. Cisim S düzeyi üzerine oturtulduðunda N noktasý üzerinde devrilmek ister. Çünkü, N ye göre moment alýnýrsa; m. > m. 1 olacaðýndan devrilir. (III anlýþ) Cevap A 16. Asýlan cisimlerin ip doðrultusu aðýrlýk merkezinden geçecek þekilde dengeye gelir. Asýlý cisimlerin ip doðrultusu aðýrlýk merkezinden geçiyor ise, cisim konumunu deðiþtirmez. A, C ve D þýkkýnda levhalar sola kayarlar, E þýkkýnda ise saða kayar. B þýkkýnda ise levha dengede kalýr. 17. etal çubuklar O noktasýndan bir iple asýldýðýnda, ipin uzantýsý aðýrlýk merkezinden geçecek þekilde dengeye gelirler. Þekiller ayrý ayrý incelendiðinde çubuklarýn dört parçasýnýn aðýrlýk merkezi ipin uzantýsýndan geçen ve kesimi yatay dengede kalan sadece III biçimli þekildir. 14. Cismin asýldýðý ipin doðrultusu aðýrlýk merkezinden geçerse, cisim býrakýldýðý gibi dengede kalýr. N 1 br noktasý türdeþ telin tam ortasý olduðundan telin yatay ve düþey kýsýmlarýnýn 1 br aðýrlýklarý eþittir ve aðýrlýk merkezleri den eþit uzaklýktadýr. Bükülmüþ telin aðýrlýk merkezi þekildeki R noktasý olur. Tel N den asýlýrsa ipin doðrultusu R den geçeceði için konumunu deðiþtirmeden dengede kalýr. R 18. l ve ll levhalarýn kütleleri m ve m olduðuna göre, iki levhanýn kütle merkezi, ll levhasýnýn kütle merkezine daha yakýn olacaktýr. ( noktasý gibi) Bir cisim herhangi bir noktasýndan asýldýðýnda, ipin 1 birim birim uzantýsý kütle merkezinden geçecek biçimde dengede kalýr. Buna göre ipin uzantýsý D þýkkýndaki gibi kütle merkezinden geçecektir. I II O 1 O 9

30 ütle erkezi 19. evhadan parça çýkarma veya ekleme durumunda kütle merkezinin deðiþmemesi için, çýkarýlan parçalarýn veya eklenen parçalarýn kütle merkezine göre simetrik olmasý gerekir. Buna göre, den parça çýkarýlmýþ ise, N den de çýkarýlmalýdýr. Çünkü ve N parçalarýnýn ikisinin birlikte kütle merkezi O noktasýdýr. den çýkarýlan parça ye yapýþtýrýlmýþsa N den çýkarýlan parça R noktasýna yapýþtýrýlmalýdýr. Çünkü ye ve R ye yapýþtýrýlanýn ortak kütle merkezi yine O noktasýnda olduðundan, tüm levhanýn kütle merkezi deðiþmez ve O noktasý olur.. evhalar þekildeki gibi dengede kaldýðýna göre, üç levhanýn kütle merkezi ipin uzantýsý üzerinde olur. Eðer ve nin kütleleri eþit olsa idi, ikisinin kütle merkezi noktasý olurdu. O zaman nin olmamasý gerekirdi. Buna göre, ve nin kütleleri eþit olamaz. Benzer þekilde, ve ninde kütle merkezi ile S arasýnda olur. Bu da ve nin kütlesinin eþit olamayacaðýný gösterir. ve nin ise kütleleri eþit olabilir. Cevap E O S tavan ip 0. evhanýn I. bölmesinden çýkarýlan parça II. bölmesine eklenirse, çýkan parçanýn aðýrlýðý kadar hafifleme olur. II bölmesinde ise aðýrlaþma olur. Bundan dolayý levha O IV III noktasýndan geçen yatay eksen etrafýnda dönerek dengeye gelir. Dengeye geldiðinde çýkarýlan parçanýn etkisi ile eklenen parçanýn etkisi birbirini yok eder. Bu da ancak levhanýn A þýkkýndaki gibi kalmasýyla mümkündür. Diðer þýklardaki gibi býrakýlan levha döner ve yine A daki konuma gelir. Cevap A I O II 3. are levhanýn kütle merkezinin O yönünde yer deðiþtir- mesi için, çýkarýlan iki O parçanýn kütle merkezinin O nin zýt yönünde olmasý gerekir. N Þekilde de görüldüðü gibi ve N karelerinin kütle merkezi O nin doðrultusunda ve dýþýndaki noktasý olduðu için, bu iki kare çýkarýlýrsa, kütle merkezi O yönünde yer deðiþtirir. 1. Türdeþ telin uzunluklarý arasýndaki oran küt- düzlemi leleri arasýndaki orana O eþittir. Þekildeki uzun telin kütle merkezi tam orta noktasý olan O noktasýdýr. Aðýrlýk kuvvetine br. br. birim diyelim. Diðer iki parçanýn birlikte kütle merkezi ise noktasýdýr ve ikisinin birlikte aðýrlýk kuvveti de birimdir. Telin tamamýnýn kütle merkezi ise, O uzaklýðýnýn tam orta noktasýdýr. ani uzunluðunun orta noktasýdýr. 4. Teli üç parça olarak kabul ettiðimizde iki kenarýn kütle merkezi de, diðer kenarýnki ise O dadýr. Telin tamamýnýn kütle O merkezi ise noktasýdýr. den asýlan tel, a a ipin uzantýsý kütle merkezi olan den geçecek þekilde dengede kalýr. a a a a 10