DİNAMİK. Ders_4. Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü. Ders notları için: GÜZ

Transkript

1 DİNAMİK Ders_4 Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü Ders notları için: GÜZ Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR NEWTON UN HAREKET KANUNLARI, HAREKET DENKLEMLERİ, BİR PARÇACIK SİSTEMİNİN HAREKET DENKLEMİ Bugünün Hedefleri: 1. İvmelenen bir cisim için hareket denkleminin yazılması. 2. İvmelenen bir cismin Serbest Cisim Diyagramı ve Kinetik Diyagramının çizilmesi. Sınıf Etkinliği: Sözel Yoklama Uygulamalar Newton un Hareket Kanunları Newton un Yerçekimi Kanunu Bir Parçacığın veya bir Parçacık Sisiteminin Hareket Denklemi Kavramsal Yoklama Öenek Problem Çözümü Dikkat Yoklaması Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-2/103 1

2 SÖZEL YOKLAMA 1. Newton un ikinci kanunu matematiksel formda F = ma şeklinde yazılabilir. Kuvvetlerin toplanması sırasında ( F), dahil edilmez. A) dış kuvvetler B) ağırlıklar C) iç kuvvetler D) Yukarıdakilerin hepsi. 2. n adet parçacık için hareket denklemi F i = m i a i = ma G şeklinde yazılabilir, burada a G. A) herbir parçacığın ivmesinin toplamıdır B) sistemin kütle merkezinin ivmesidir C) en büyük parçacığın ivmesidir D) Üsttekilerin hiçbiri. Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-3/103 UYGULAMALAR Bir cismin hareketi ona etkiyen kuvvetlere bağlıdır. Bir paraşütçü, hızını sınırlamak için paraşütü tarafından oluşturulan atmosferik direnç kuvvetine güvenir. Peki, direnç kuvveti biliniyorsa, herhangi bir anda paraşütçünün hızı ve ivmesini nasıl hesaplayabiliriz? İniş sırasında bunun Bir Miktar Önemi Vardır!! Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-4/103 2

3 UYGULAMALAR (devam) Bagaj treni A, yük arabaları B ve C yi çekmektedir. Eğer trenin hareketini sağlayan tekerlerde gelişen sürtünme kuvvetini bilseydik, trenin ivmesini hesaplayabilir miydik? Nasıl? Peki, tren ve yük arabası B yi birbirine bağlayan halattaki yatay kuvveti de bulabilir miydik? İşte bu bağlantıyı sağlayan halatı tasarlayacak olsaydık buna ihtiyacımız olacaktı (veya neden koptuğunu anlamak isteseydik). Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-5/103 UYGULAMALAR (devam) Bir yük asansörü, bir motor ve ona bağlı bir kablo-makara sistemi ile hareket etmektedir. Asansörü hareket ettirmek için gerekli olan kablodaki çekme kuvvetini ve verilen bir ivme için yükü nasıl hesaplarız? Kullanılacak kablonun çapına karar vermek için bunlar gerekli olacaktır. Kablodaki çekme kuvveti, asansör ve içindeki yükün ağırlığından daha mı büyüktür? Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-6/103 3

4 NEWTON UN HAREKET KANUNLARI (Bölüm 13.1) Bir parçacığın hareketi, Newton un üç hareket kanunu ile temsil edilebilir. Birinci Kanun: Başlangıçta durağan halde olan veya düz bir çizgi üzerinde sabit hızla hareket eden bir parçacık, eğer cisim üzerine etkiyen bileşke kuvvet sıfırsa, hareket durumunu korur. İkinci Kanun: Eğer cisim üzerine etkiyen bileşke kuvvet sıfır değilse, parçacık bileşke kuvvetle aynı yönde bir ivmeye maruz kalır. Bu ivmenin büyüklüğü bileşke kuvvetle orantılıdır. Üçüncü Kanun: Her etkiye karşı, etkiyle aynı doğrultuda, zıt yönde ve aynı büyüklükte bir tepki oluşur. Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-7/103 NEWTON UN HAREKET KANUNLARI (devam) Birinci ve üçüncü kanunlar Statik kavramlarını geliştirmek için kullanılır. Newton un ikinci kanunu dinamiğin temellerini oluşturur. Newton un ikinci hareket kanunu matematiksel olarak gösterilirse, F = ma burada F parçacık üzerine etkiyen dengelenmemiş bileşke kuvvet ve a da parçacığın ivmesidir. Positif skaler m ise, parçacığın kütlesidir. F = 0 ise parçacık durağan haldedir veya sabit hızla hareket ediyordur => Statik (denge durumu) Newton un ikinci kanunu, parçacığın hızı ışık hızına yaklaştığında veya parçacığın boyutu fazlaca küçük olduğunda kullanılamaz (~ bir atom büyüklüğü) => Kuantum Mekaniği Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-8/103 4

5 NEWTON UN YERÇEKİMİ KANUNU Herhangi iki parçacık veya cisim arasında karşılıklı olarak etkiyen yerçekimsel bir çekim kuvveti bulunmaktadır. Newton, bu kuvveti yöneten kanunu aşağıdaki şekilde formüle etmiştir: F = G m 1 m 2 r 2 burada F = iki cisim arasındaki çekim kuvveti, G = üniversal yerçekim sabiti ( m 3 /kgs 2 ), m 1, m 2 = herbir cismin kütlesi ve r = iki cismin merkezleri arasındaki uzaklık. Yer yüzeyine yakın isek, anlamlı tek çekim kuvveti dünya ile cisim arasında olandır. Bu kuvvete biz cismin ağırlığı diyoruz. Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-9/103 KÜTLE VE AĞIRLIK Bir cismin kütlesi ve ağırlığı arasındaki farkı anlamak önemlidir! Kütle, cismin değişmez bir özelliğidir. Ölçüldüğü yerdeki yerçekim alanından bağımsızdır. Kütle ise Newton un ikinci hareket kanununda belirtildiği gibi (m = F/a), bir cismin hızlanmaya karşı göstediği direncin bir ölçüsüdür. F = Açısal momentum Bir cismin ağırlığı, ölçüldüğü yerdeki yerçekimsel alana bağılı olduğundan, mutlak değildir. Ağırlık şu şekilde tanımlanır; m W = mg W = m 2 r 2 burada g yerçekim ivmesidir. Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-10/103 5

6 BİRİMLER: SI BİRİM SİSTEMİ SI birim sistemi: Bu birim sisteminde kütle temel bir birimdir ve ağırlık ise ona bağlı olarak türetilen birimdir. Tipik olarak, kütle kilogram (kg) cinsindedir ve ağırlık da W = mg denklemi ile hesaplanır. Eğer yerçekim ivmesi (g) m/s 2 biriminde tanımlanmışsa, bu durumda ağırlık Newton (N) cinsindendir. Dünyanın yüzeyinde, g = 9.81 m/s 2 olarak alınabilir. W (N) = m (kg) g (m/s 2 ) N = kg m/s 2 1 N = 1 kg kütleyi 1 m/s 2 ile ivmelendirmek için gerekli kuvvettir. Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-11/103 HAREKET DENKLEMİ (Bölüm 13.2) Bir parçacığın hareketi, parçacık üzerindeki dengelenmemiş kuvvetle onun ivmesini ilişkilendiren Newton un ikinci kanunuyla ifade edilebilir. Eğer parçacık üzerine birden fazla kuvvet etkiyorsa, hareket denklemi F = F R = ma burada F R tüm kuvvetlerin vektörel toplamı olan bileşke kuvvettir. Denklemi canlandırmak için, iki kuvvet etkisi altındaki bir parçacığı düşünelim. Serbest Cisim Diyagramı Önce, cisim üzerine etkiyen tüm kuvvetlerin gösterildiği serbest cisim diyagramını çizelim. Sonra, bileşke kuvvet F R ile aynı yönde etkiyen ma atalet kuvvetini Kinetik gösteren kinetik diyagramı çizelim. Diyagram Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-12/103 6

7 EYLEMSİZ REFERANS ÇERÇEVE Bu hareket denklemi ancak, eğer ivme ölçümü Newtonyen veya eylemsiz referans çerçeve içerisinde yapılıyorsa geçerlidir. Bu ne demek? Referans aldığımız eksen ivmeli bir hareket yapmıyor!! Eğer hareketle ilgili problem dünya yüzeyinde veya yakınlarında bir yerde oluşuyorsa, biz tipik olarak eylemsiz çerçeveyi dünyaya sabitlenmiş olarak varsayarız. Dünyanın dönüşünden kaynaklı ivme etkilerini de ihmal ederiz. Uyduları veya roketleri ilgilendiren problemlerde, eylemsiz referans çerçeve genellikle yıldızlara sabitlemiştir. Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-13/103 BİR PARÇACIK SİSTEMİ İÇİN HAREKET DENKLEMİ (Bölüm 13.3) Hareket denklemi parçacık sistemlerini içerecek şekilde genişletilebilir. Bu katı, sıvı ve gaz sistemlerinin hareketlerini içerir. Statikte olduğu gibi, sistem üzerine etkiyen iç kuvvetler ve dış kuvvetler bulunmaktadır. Aralarındaki fark nedir? m = m i tüm parçacıkların toplam kütlesi ve a G ise parçacıkların kütle merkezi G nin ivmesi olarak tanımlanırsa, bu durumda, m a G = m i a i. Bu tanım detayları vermektedir, fakat bir parçacık sistemi için: F = m a G olur, burada F mevcut sistem üzerine etkiyen dış kuvvetlerin toplamıdır. Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-14/103 7

8 ANAHTAR NOKTA 1) Newton un ikinci kanunu doğanın kanunu dur analitik bir kanıtın sonucu değildir, tamamen deneysel olarak bulunur. 2) Kütle (cismin bir özelliği) cismin hızlanmaya karşı gösterdiği direncin bir ölçüsüdür => atalet (Örn: F 1 =ma 1, F 1 =2m a 1 /2 => v= a 1 /2 t) 3) Ağırlık (bir kuvvettir) o anki yerçekim alanına bağlıdır. Bir cismin ağırlığının hesaplanması için F = ma denklemi çalıştırılır: W = mg. 4) Dengelenmemiş kuvvetler cisimde ivmelenme oluşturur. Bu koşul tüm dinamik problemler için esastır. Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-15/103 HAREKET DENKLEMİNİN UYGULANMASI İÇİN PROSEDÜR 1) Uygun bir eylemsiz koordinat sistemi seç. Dik, normal/teğetsel veya silindirik koordinatlar kullanılabilir. 2) Cismin üzerine etkiyen tüm dış kuvvetleri gösteren bir serbest cisim diyagramı çiz. Kuvvetleri uygun şekilde bileşenlerine ayır. 3) Parçacığın ma atalet kuvvetini gösteren kinetik diyagramını çiz. Bu vektörü uygun şekilde bileşenlerine ayır. 4) Skeler bileşenlere hareket denklemini uygula ve bilinmeyenleri bulmak için denklemleri çöz. 5) İlave denklemler oluşturmak için uygun kinematik ilişkiler kurmak gerekebilir. Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-16/103 8

9 Verilen: 25-kg lık bir blok F=100 N luk bir kuvvete maruzdur. Yay, k = 200 N/m lik bir rijitliğe sahiptir ve A noktasında iken serbest durumda (uzatılmamış halde) bulunmaktadır. Temas yüzeyi ise düz bir zemindir (=> sürtünmesiz!!). İstenen: s=0.4 m deyken bloğun serbest cisim diyagramını ve kinetik diyagramını çizin. Plan: ÖRNEK 1) Bir eylemsiz koordinat sistemi tanımlayın. 2) Bloğun tüm dış kuvvetlerini gösteren serbest cisim diyagramını çizin. 3) Bloğun, tüm atalet kuvvetlerini gösteren uygun yöndeki kinematik diyagramını çizin=> şu an için ivme istenmiyor Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-17/103 ÖRNEK (devam) Çözüm: 1) Yere sabitlenmiş bir x-y eylemsiz çerçeve tanımlanabilir. 2) Bloğun serbest cisim diyagramını çizin y x 4 F s = 200 (N) = 40 (N) 3 W = 25g N F=100 (N) Ağırlık kuvveti (W), bloğun kütle merkezinden aşağı doğru etkimektedir. F, uygulanan yüktür ve F s = 200 (N) yay kuvvetidir, burada yaydaki şekil değiştirmedir (uzama yönünde). s = 0.4 iken, = = 0.2 m. N normal kuvveti yüzeye diktir. Temas yüzeyi düz olduğundan herhangi bir sürtünme kuvveti yoktur. Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-18/103 9

10 ÖRNEK (devam) 3) Bloğun kinetik diyagramını çizin. 25 a Blok sağa doğru hareketlenecektir. Eğer blok hızlanıyorsa ivme de sağa doğrudur, fakat yavaşlıyorsa bu durumda ivme sola doğru olur. Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-19/103 KAVRAMSAL YOKLAMA 1. Blok (kütle = m) yukarı yönde v hızı ile ilerlemektedir. Eğer kinetik sürtünme katsayısı k ise, SCD yi çizin. mg k N A) B) N mg k mg C) D) None of the above. N mg k N N v Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-20/103 10

11 KAVRAMSAL YOKLAMA 2. Meyve kutularını test eden bir makina kutu üzerine aynı anda a y = 20 m/s 2 ve a x = 3 m/s 2 ivme uygulamaktadır. Bu durum için uygun SCD ve kinetik diyagramı seçin. y W ma y A) B) R y = ma x R x = ma x R x W R y x C) D) ma y W ma y = = ma x R y R y Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-21/103 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ Verilen: 10-kg lık bir blok F=500 N luk bir kuvvete maruzdur. Rijitliği k = 200 N/m olan bir yay bloğa tutturulmuştur. s = 0 iken blok durağan halde ve yay serbest uzunluğundadır (sıkıştırılmamış). Temas yüzeyi ise düz bir zemindir. İstenen: Bloğun SCD ve kinematik diyagramını çizin. Plan: 1) Bir eylemsiz koordinat sistemi seçin. 2) Bloğa etkiyen tüm dış kuvvetleri gösteren serbest cisim diyagramını çizin. 3) Bloğun, ma atalet kuvvet vektörünü gösteren uygun yöndeki kinematik diyagramını çizin. Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-22/103 11

12 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ (devam) Çözüm: 1) Yere sabitlenmiş bir x-y eylemsiz çerçeve tanımlanabilir. 2) Bloğun serbest cisim diyagramını çizin : Ağırlık kuvveti (W), bloğun kütle merkezinden aşağı doğru etkimektedir. F, uygulanan F=500 (N) W = 10 g 3 yüktür, F s = 500 s (N) ise yay kuvvetidir, 4 F s =500 s (N) y burada s yaydaki şekil değiştirmedir (kısalma yönünde). N normal kuvveti x yüzeye diktir. Temas yüzeyi düz olduğundan N herhangi bir sürtünme kuvveti yoktur. 3) Bloğun kinetik diyagramını çizin : Blok sağa doğru hareket edecektir. Eğer 10 a blok hızlanıyorsa ivme de sağa doğrudur, fakat yavaşlıyorsa bu durumda ivme sola doğru olur. Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-23/103 DİKKAT YOKLAMASI 1. Hareket denklemi analizine iç kuvvetler dahil edilmez çünkü iç kuvvetler A) sıfıra eşittir. B) eşit ve zıt yönlüdür, hesapları etkilemez. C) ihmal edilebilecek kadar küçüktür. D) önemsizdir N luk bir blok başlangıçta v hızı ile aşağı doğru kaymaktadır. Bloğu durağan hale getirmek için F kuvveti uygulanmıştır. Uygun SCD yi seçiniz. A) F B) F C) F 10 k k N 10 k N v F N N N Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-24/103 12

13 Örnek: Ders dışında incelenecek 10 kg lık top, başlangıç hızı (v 0 ) 50 m/s olacak şekilde fırlatılıyor. Topun çıkabileceği maksimum yüksekliği; a) atmosferik direnci ihmal ederek, b) atmosferik direnci F 0 = (0.01 v 2 ) alarak (v m/s cinsinden) bulunuz. 4-25/ /103 13

14 4-27/ /103 14

15 HAREKET DENKLEMLERİ: -DİK KOORNİNAT SİSTEMİ- Bugünün hedefi: 1. Doğrusal hareket eden parçacıkların kuvvet ve ivmelerini hesaplamak için Newton un ikinci kanununu uygulama. Sınıf Etkinliği: Sözel Yoklama Uygulamalar Dik (Kartezyen) Koordinat Sistemi kullanarak Hareket Denklemi Kurma Kavramsal Yoklama Örnek Problem Çözümü Dikkat Yoklaması Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-29/103 SÖZEL YOKLAMA 1. Dinamikte, hareket eden bir nesneye etki eden sürtünme kuvveti her zaman A) hareket yönündedir. B) bir kinetik sürtünmedir. C) bir statik sürtünmedir. D) sıfırdır. 2. Eğer bir parçacık bir yaya tutturulmuşsa, elastik yay kuvveti F = ks ile ifade edilebilir. Buradaki s. A) yay sabitidir B) yayın serbest uzunluğudur C) şekil değiştirmiş ve serbest durumdaki uzunlukların farkıdır D) yayın şekil değiştirmiş boyudur Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-30/103 15

16 UYGULAMALAR Eğer bir adam 1000 N luk bir sandığı sürüklemeye çalışırsa, hareketi başlatmak için ne büyüklükte bir F kuvvet sarf etmesi gerekir? Sandığın harekete başlaması için gereken kuvvetin büyüklüğüne etki eden faktörler nedir? Eğer sandık harekete başlamışsa, ivme var mıdır? Bu cevapları bulmanız için öncesinde neleri bilmeniz gerekir? Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-31/103 UYGULAMALAR (devam) Hava içerisinde hareket eden cisimler (veya başka bir akışkan) üzerine hava sürtünmesi etki eder. Bu sürtünme kuvveti hızın bir fonksiyonudur. Eğer yarış arabası belirli bir anda bilinen bir hızla seyahat ediyorsa ve ters yöndeki sürtünme kuvvetinin zaman bağlı büyüklüğü hızın bir fonksiyonu olarak verilmişse, motoru durduktan sonra yarış arabasının ne kadarlık sürede ve ne mesafede duracağını hesaplayabilir miydik? Nasıl? Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-32/103 16

17 DİK KOORDİNATLAR (Bölüm 13.4) F = ma hareket denklemi en iyi şekilde, problemde özellikle kuvvet (özellikle yörüngeye dik kuvvetler), ivme, hız veya kütlelerin bulunması istendiğinde kullanılabilir. Hatırlayın, dengelenmemiş kuvvetler ivmenin oluşmasına sebep olur! Üç skaler denklem aşağıdaki vektörel denklemden yazılabilir. Bir vektörel denklem olan hareket denklemi, Kartezyen (dik) koordinat sistemindeki üç bileşen cinsinden ifade edilebilir, F = ma veya F x i + F y j+ F z k = m(a x i+a y j + a z k) Veya skaler denklem olarak, F x = ma x, F y = ma y ve F z = ma z Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-33/103 ANALİZ PROSEDÜRÜ Serbest Cisim Diyagramı (herzaman kritik önemdedir!!) Koordinat sisteminizi kurun ve sadece dış kuvvetleri gösteren parcacığın serbest cisim diyagramını çizin. Bu dış kuvvetler genellikle ağırlık, normal kuvvetler, sürtünme kuvvetleri veya uygulanan kuvvetleri içerir. ma vektörünü (bazen atalet kuvveti olarak isimlendirilir) ayrı bir şekilde kinetik diyagram üzerinde gösterin. Hareketin tersi yönde etkiyen bir sürtünme kuvveti olup olmadığını kontrol edin! Eğer parçacık doğrusal elastik bir yaya bağlı ise, k s değerine eşit bir yay kuvveti de SCD üzerinde gösterilmelidir. Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-34/103 17

18 ANALİZ PROSEDÜRÜ (devam) Hareket Denklemi Eğer kuvvetler doğrudan serbest cisim diyagramı üzerinden çözülebilirse (genelde 2D problemler), bu durumda hareket denkleminin skaler formunu kullanın. Daha karmaşık durumlarda (genellikle 3D durum), herbir kuvveti Kartezyen vektör formunda göstermek ve bir vektörel analiz yapmak en doğru yaklaşımdır. İkinci kanunun Kartezyen vektör formülasyonu, F = ma veya F x i + F y j + F z k = m(a x i +a y j +a z k) Üç skaler denklem, bu vektör denklemi kullanılarak yazılabilir. Eğer hareket iki boyutluysa (2D), sizin sadece iki denkleme ihtiyacınız olur. Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-35/103 ANALİZ PROSEDÜRÜ (devam) Kinematik Newton un ikinci kanunu sadece kuvvetler ve ivmeler için bir çözüm sunar. Eğer hız ve konumun bulunması gerekiyorsa, hareket denklemi kullanılarak ivme bulunduktan sonra kinematik denklemler de kullanılmalıdır. Problemi çözmek için ilk üç haftada öğrenilen kinematik araçlardan (dik, n-t, silindirik koord.) uygun olanı kullanılabilir. Fakat problemin hareket denkleminin çözümü sırasında kulanılan pozitif koordinat yönleri ile uyumlu yönler kullandığınızdan emin olmanız gerekir! Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-36/103 18

19 ÖRNEK Verilen: Motor kabloyu sabit ivmeyle içine doğru sarmaktadır, öyleki, başlangıçta durağan haldeki 20-kg lık sandık s = 6 m lik yolu 3 s de almıştır. k = 0.3. İstenen: Kabloda gelişen çekme kuvveti. Plan: 1) Sandığın SCD ve kinetik diyagramını çizin. 2) Kinematik bir denklemle sandığın ivmesini hesaplayın. 3) Kablo kuvvetini hesaplamak için hareket denklemini kullanın. Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-37/103 ÖRNEK (devam) Çözüm: 1) Sandığın serbest cisim diyagramı ve kinetik diyagramını çizin. y x W = 20 g T F k = 0.3 N = 20 a N Hareket yokuş yukarı olduğundan, x ekseni eğimli yüzey boyunca uzanacak şekilde x-y eksenini döndürün. Bu durumda hareket, sadece x doğrultusunda oluşacaktır. Yüzey ve sandık arasında bir sürtünme kuvveti olur. Bu, neden SCD üzerinde gösterildiği yöndedir? Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-38/103 19

20 2) Kinamatik denklem kullanılarak s = v 0 t + ½ a t 2 6 = (0) 3 + ½ a (3 2 ) a = m/s 2 3) Hareket denklemini uygula ÖRNEK (devam) + F y = 0-20 g (cos ) + N = 0 N = N s = 6 m at t=3 s v 0 = 0 m/s y + F x = m a T 20g(sin ) 0.3 N = 20 a T = 20 (981) (sin ) + 0.3(169.9) + 20 (1.333) T = 176 N W = 20 g T Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-39/103 N x F k = 0.3 N KAVRAMSAL YOKLAMA 1. Eğer kabloda 3 N luk bir çekme varsa, B bloğunun ivmesini hesaplayın. A) 4.26 m/s 2 B) 4.26 m/s 2 C) 8.31 m/s 2 D) 8.31 m/s 2 10 kg k =0.4 4 kg 2. Bloğun ivmesini hesaplayın. A) 2.20 m/s 2 B) 3.17 m/s 2 C) 11.0 m/s 2 D) 4.26 m/s N 5 kg Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-40/103 20

21 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ Verilen: 300-kg lık B çubuğu, başlangıçta durağan haldeyken, seri haldeki küçük tekerler üzerinden çekiliyor. M motoru kabloyu v = (0.4 t 2 ) m/s ile içine sarmaktadır, burada t saniye cinsindendir. İstenen: Kablodaki kuvvet ve t = 5 s anındaki s mesafesi. Plan: Hem kuvvet hem de hız terimlerini içerdiğinden, bu problem hem kinematik hem de kinetik (hareket denklemi) gerektirmektedir. 1) Çubuğun SCD ve kinetik diyagramını çizin. 2) İvmeyi ve kuvveti bulmak için hareket denklemini uygulayın. 3) Kinematik denklem kullanarak, mesafeyi hesaplayın. Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-41/103 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ (devam) Çözüm: 1) Çubuğun serbest cisim diyagramı ve kinetik diyagramı: y x W = 300 g T = 300 a N Çubuğun x ekseni yönünde hareket ettiğine dikkat!! 2) x yönündeki harekete, skaler hareket denklemini uygulayın, + F x = T = 300 a v = 0.4 t 2 olduğundan a = ( dv/dt ) = 0.8 t T = 240 t t = 5s anında T = 1200 N olur. Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-42/103 21

22 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ (devam) 3) Mesafeyi hesaplamak için kinematik denklem kullanılırsa; v = (0.4 t 2 ) m/s olduğundan s = s 0 + v dt = 0 + (0.4 t 2 ) dt s =. t t = 5 s anında, s =. 5 = 16.7 m Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-43/103 DİKKAT YOKLAMASI kg lık kutu 4 m/s 2 ivme ile yukarı yönde hareket ediyorsa, kablolardaki çekme kuvvetini hesaplayın. A) 2265 N B) 3365 N C) 5524 N D) 6543 N 60 T a = 4 m/s N luk bir parçacığa F 1 = (3i + 5j) N ve F 2 = (-7i + 9j) N olmak üzere iki kuvvet etkimektedir. Parçacığın ivmesini hesaplayın. A) (-0.4 i j) m/s 2 B) (-4 i + 14 j) m/s 2 C) (4i - 14 j) m/s 2 D) (0.4 i 1.4 j) m/s 2 Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-44/103 22

23 Örnek: Ders dışında incelenecek M motorunun kabloya uyguladığı kuvvet diyagramda gösterildiği gibiyse, vagonun t=3 s anındaki hızını bulunuz. Vagon ve yükün kütlesi 200 kg dır ve başlangıç anında vagon durağandır. 4-45/103 Örnek: Ders dışında incelenecek (devam) 4-46/103 23

24 Örnek: Ders dışında incelenecek (devam) 4-47/103 Örnek: Ders dışında incelenecek (devam) 0<t<3 sn bölgesi 4-48/103 24

25 HAREKET DENKLEMLERİ: NORMAL VE TEĞETSEL KOORDİNATLAR Bugünün Hedefleri: 1. Normal ve teğetsel koordinatlar kullanarak hareket denkleminin uygulanması. Sınıf Etkinliği: Sözel Yoklama Uygulamalar n-t Koordinatları ile Hareket Denklemi Kavramsal Yoklama Örnek Problem Çözümü Dikkat Yoklaması Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-49/103 SÖZEL YOKLAMA 1. Hareket denkleminin normal bileşeni F n =ma n olarak yazılabilir, burada F n olarak adlandırılır. A) impuls B) merkezcil kuvvet C) teğetsel kuvvet D) atalet kuvveti 2. Normal ve teğetsel koordinatlardaki pozitif n yönü. A) teğetsel bileşene normaldir B) her zaman eğrilik merkezine yönelmiş durumdadır C) binormal bileşene normaldir D) üsttekilerin tümü. Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-50/103 25

26 UYGULAMALAR Yarış pistlerindeki yolun dönemeç kısımları (kurb), yüksek hızlardaki araçların savrularak yan yola geçmesini engelleyen sürtünme kuvvetlerini azaltmak için genellikle eğimlidir. Eğer aracın hızını maksimuma çıkarıp tekerle yol arasındaki sürtünme katsayısını minimuma indirirseniz, aracın yolun dışına savrulmasını önleyen minimum eğim açısını (, enine eğimi) nasıl hesaplarsınız? Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-51/103 UYGULAMALAR (devam) Bu resimde, eğlence parklarında bulunan bir radar görülmektedir. Hidrolik olarak beslenen kollar sabit bir hızla dönerken kabinlerde bulunan kişilere bir merkezcil kuvvet uygular. A ve B kabinlerinde bulunan yolcuların, oturakları ile temasını kaybetmemesi için gerekli en küçük açısal hızları hesaplamamız gerekir. Bu hesap için hangi parametrelere ihtiyacımız bulunur? Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-52/103 26

27 UYGULAMALAR (devam) Uydular, dünyanın çekim kuvvetini merkezcil kuvvet olarak kullanarak dünya etrafındaki yörüngelerinde kalmaya devam ederler. Bu kuvvet, uydunun hız vektörünün yönünü değiştirir. Uydunun yörüngesinin yarıçapı bilindiğinde, uydunun bu yörünge üzerinde kalabilmesi için hangi hızda olması gerektiğini hesaplamamız gerekir. Bu durumu hangi denklemle kontrol ederiz? Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-53/103 NORMAL VE TEĞETSEL KOORDİNATLAR (Bölüm 13.5) Eğer parçacık eğrisel bir yol üzerinde hareket ediyorsa, hareket denklemini normal ve teğetsel koordinatlar cinsinden yazmak daha uygun olabilir. Eylemsiz koordinat sistemi Normal yön (n) her zaman yolun eğrilik merkezine yönelmiş durumdadır. Bir çemberde eğrilik merkezi, çemberin merkezidir. Teğetsel yön (t) yörüngeye teğettir, genellikle parçacığın hareket yönünde iken pozitif olarak seçilir. Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-54/103 27

28 HAREKET DENKLEMLERİ Hareket denklemi bir vektörel denklem olduğundan, F= ma, n ve t koordinatları cinsinden de yazılabilir, a n a t Eylemsiz koordinat sistemi F t u t + F n u n + F b u b = ma t +ma n Burada F t ve F n, sırasıyla t ve n yönlerinde etkiyen kuvvet bileşenlerinin toplamlarıdır. Bu vektörel denklem, ancak eşitliğin her iki tarafındaki aynı eksendeki bileşenlerin ayrı ayrı birbirine eşit olması ile sağlanır ve iki skaler denklem ile sonuçlanır: F t = ma t ve F n = ma n Binormal (b) yönde herhangi bir hareket olmadığından, ayrıca F b = 0 yazabiliriz. Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-55/103 NORMAL VE TEĞETSEL KOORDİNATLAR 4-56/103 28

29 NORMAL VE TEĞETSEL İVME Teğetsel ivme, a t = dv/dt, hızın büyüklüğünün zamanla değişimini ifade eder. F t nin yönüne bağlı olarak parçacığın hızı artmaktadır ya da azalmaktadır. Normal ivme, a n = v 2 /, hız vektörünün yönünün zamanla değişimini ifade eder. a n in her zaman yörüngenin eğrilik merkezine doğru olduğunu hatırlayın!! Bu sebeple F n her zaman yörünge merkezine doğrudur. Eğer hareketin yörüngesi y = f(x) fonksiyonu ile tanımlanmışsa, eğri üzerindeki herhangi bir noktanın eğrilik yapıçapını yandaki formülle hesapladığımızı hatırlayalım!! ρ 1 dy dx d y dx / Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-57/103 n-t KOORDİNATLAR İLE PROBLEMİ ÇÖZME Eğer parçacık bilinen bir eğrisel yörünge (yol) üzerinde hareket ediyorsa n-t koordinatlarını kullanın. Parçacık üzerine n-t koordinatını yerleştir. Parçacığın SCD ve kinetik diyagramını çiz. Normal ivme (a n ) her zaman içeriye doğru (positif n-yönü) etkir. Teğetsel ivme ise hem pozitif hem de negatif t yönünde etkiyebilir. Hareket denklemini skaler formda uygula ve çöz. Problemin türüne göre kinematik ilişkiler kurmak gerekebilir: a t = dv/dt = v dv/ds a n = v 2 / Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-58/103 29

30 ÖRNEK Verilen: 10-kg lık top düşey duran dairesel yolun A noktasındayken 3 m/s lik bir hıza sahiptir. İstenen: Kablodaki çekme kuvveti ve topun süratindeki artış. Plan: 1) Problem eğrisel bir yörünge içerdiğinden ve yola dik olan kuvvetin bulunmasını gerektirdiğinden n-t koordinatlarını kullanın. Topun SCD ve kinetik diyagramlarını çizin. 2) n-t yönlerinde hareket denklemlerini uygulayın. Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-59/103 Çözüm: ÖRNEK (devam) 1) Topun A noktasına n-t koordinat sistemi yerleştir, yani açıyla. Topun SCD ve kinetik diyagramını çiz. SCD Kinetik diyagram n T W n ma n = t t ma t Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-60/103 30

31 ÖRNEK (devam) 2) n-t yönlerinde hareket denklemlerini uygula. (a) F n = ma n T W sin = m a n a n = v 2 / = 3 2 /2, W = 10(9.81) N ve m = 10 kg T 98.1 sin 10) (3 2 /2) T = 114 N (b) F t = ma t W cos = ma t 98.1 cos = 10 a t a t = (dv/dt) = 6.94 m/s 2 SCD n T W t Kinetik diyagram n ma n t ma t Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-61/103 KAVRAMSAL YOKLAMA kg lık bir çuval düzgün bir yüzey üzerinden aşağı doğru kaymaktadır. Eğer yüzeyin düz bir yerinde (A da) normal kuvvet 98.1 N ( ) ise eğrilik yarıçapı. A) 0.2 m B) 0.4 m v=2m/s C) 1.0 m D) hiçbiri. A N luk blok düzgün bir yüzey üzerinde hareket ediyor. Eğer A noktasında yüzey üzerindeki normal kuvvet 10 N ise, hız. A) 5.9 m/s B) 11.8 m/s A C) 17.7 m/s D) 23.7 m/s =7 m Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-62/103 31

32 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ I 3 m Verilen: Çocuk 200 N luk bir ağırlığa sahiptir. = 60 anında çocuğun G ağırlık merkezi v = 5 m/s lik bir hıza sahiptir. İstenen: Salınan iki zincirin herbirindeki çekme kuvveti ve tam o anda süratindeki artış oranı. Plan: 1) n-t koordinat sistemini kullan ve çocuğun bir parçacık olduğunu farzet. SCD ve kinetik diyagramları çiz. 2) n-t yönleri için hareket denklemini uygula. Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-63/103 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ I (devam) Solution: 1) Çocuk üzerindeki n-t koordinat sistemi lik açı ile yerleştirilebilir. Çocuğu bir yumurcak/parçacık olarak düşünecek olursak SCD ve kinetik diyagramlar şu şekilde çizilebilir. 3 m SCD W n 2T t = Kinetik diyagram n ma n ma t t Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-64/103 32

33 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ I (devam) SCD Kinetik diyagram W n 2T = n ma n t ma t t 2) n-t yönleri için hareket denklemini uygula. F n = ma n 2T W sin = ma n a n = v 2 / = 5 2 /3, W = 200 N, m = kg T = 171 N F t = ma t 200 cos = (200 / 9.81) a t a t = v = 4.91 m/s 2 Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-65/103 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II Verilen: 800 kg lık bir araba parabol şeklindeki bir tepe üzerinde seyahat etmektedir. Araba A noktasında iken, hızı ve ivmesi v = 9 m/s ve a = 3 m/s 2 dir (arabanın boyutu ihmal edilecek) İstenen: Arabanın, yolun A noktasına uyguladığı bileşke normal kuvvet ve bileşke sürtünme kuvveti. Plan: 1) Arabanın bir parçacık olduğunu varsay ve SCD ve kinetik diyagramını çiz. 2) n-t yönlerinde hareket denklemlerini uygula. 3) Yolun A noktasındaki eğimini ve eğrilik yarıçapını bulmak için kalkülüs (türev-integral işlemleri) kullan. Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-66/103 33

34 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II (devam) Çözüm: 1) n-t koordinat sistemi arabanın üzerine A noktasında iken yerleştirilebilir. Aracın parçacık olduğunu düşünün ve serbest cisim ve kinetik diyagramlarını çizin. n F N W t ma n W = mg = arabanın ağırlığı N = yol üzerindeki bileşke normal kuvvet F = yol üzerindeki bileşke süertünme kuvveti = n ma t t Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-67/103 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II (devam) 2) n-t yönlerinde hareket denklemlerini uygula : F n = ma n W cos N = ma n W = mg ve a n = v 2 / = (9) 2 / kullanılarak (800)(9.81) cos N = (800) (81/ ) N = 7848 cos / Denk. n F N W II t F t = ma t W sin F = ma t ma n ma t W = mg ve a t = 3 m/s 2 (verilen) kullanılarak (800)(9.81) sin F = (800) (3) n t F = 7848 sin 2400 Denk. (2) Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-68/103 34

35 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II (devam) 3) Türevler alarak yu hesapla x = 80 m de y = f(x) : y = 20(1 x 2 /6400) dy/dx = ( 40) x / 6400 d 2 y/dx 2 = ( 40) / 6400 [1 + ( dy dx ) 2 ] 3/2 = = d 2 y x = 80 m dx 2 [1 + ( 0.5) 2 ] 3/ = m Eğrinin A noktasındaki eğimini kullanarak yı hesapla: dy dx tan = dy/dx x = 80 m = tan -1 (dy/dx) = tan -1 (-0.5) = 26.6 Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-69/103 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II (devam) Denk. (1) den: N = 7848 cos / = 7848 cos (26.6 ) / = 6728 N Denk. (2) den : F = 7848 sin 2400 = 7848 sin = 1114 N Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-70/103 35

36 DİKKAT YOKLAMASI 1. Bir cismin teğetsel ivmesi A) hız vektörünün yönündeki değişimi ifade eder. B) hızın büyüklüğündeki değişimi ifade eder. C) eğrilik yarıçapının bir fonksiyonudur. D) Hem B hem de C kg lık bloğun sürati, sarkacın en alt noktasında olduğu anda v = 30 m/s dir. Kablonun o andaki çekme kuvvetini hesaplayın. A) 1596 N B) 1796 N C) 1996 N D) 2196 N 10 m v = 30m/s Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-71/103 Örnek: Ders dışında incelenecek Şekilde görülen durumda iken yay 0.6 m uzamıştır ve ucunda 5kg lık kütle asılıdır. Top 1.8 m/s lik teğetsel hıza sahip olduğunda oluşan θ açısını bulun. 4-72/103 36

37 Örnek: Ders dışında incelenecek (devam) 4-73/103 ÖDEV Şekildeki araç, düşey kurbun (yol yol eğrisinin) tepesini A noktasında 50 km/saat hızla geçip ardından B de yolun en çukur noktasına ulaşıyor. Her iki noktada da eğrilik yarıçapı 80 m ve aracın kütle merkezi yoldan 1 m yukarıda olduğuna göre, B noktasında yol ve tekerler arasındaki normal kuvvetin, A noktasındakinin 2 katı olması için aracın B deki hızı ne olmalıdır? Cevap: V B = m/s 4-74/103 37

38 HAREKET DENKLEMİ: SİLİNDİRİK KOORDİNATLAR Bugünün Hedefleri: 1. Silindirik koordinatlar kullanarak bir parçacığın kinetiğini analiz etme. Sınıf Etkinliği: Sözel Yoklama Uygulamalar Silindirik Koordinatlar Kullanarak Hareket Denklemi Radyal Ve Enine Yönler Arasındaki Açı Kavramsal Yoklama Örnek Problem Çözümü Dikkat Yoklaması Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-75/103 SÖZEL READING YOKLAMA QUIZ 1. Yolun parçacığa uyguladığı normal kuvvet her zaman a diktir. A) radyal çizgi. B) enine doğrultu. C) yolun teğeti. D) Hiçbiri. 2. Bir parçacık üzerine etkiyen kuvvetler silindirik bileşenlere ayrıldığında, sürtünme kuvvetleri her zaman yönde etkir. A) radyal B) teğetsel C) enine D) Hiçbiri. Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-76/103 38

39 UYGULAMALAR 400 N ağırlığındaki çocuğa etkiyen kuvvetler silindirik koordinatlar kullanılarak analiz edilebilir. Helisel kaydırakta aşağı doğru ilerlerken cocuk üzerine etkiyen sürtünme kuvvetlerini tanımlamak için nasıl bir denklem yazardınız? Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-77/103 UYGULAMALAR (devam) Uçak yukarıda görülen sekilde düşey bir takla attığında merkezcil kuvvet, pilot üzerinde kendi ağırlığından daha küçük bir normal kuvvet (görünen ağırlık) oluşmasına neden olur. Pilotun A noktasında ağırlıksız durumda kalması için gerekli olan hızı nasıl hesaplarız? Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-78/103 39

40 SİLİNDİRİK KOORDİNATLAR (Bölüm 13.6) Problem çözmek için kullanılan bu yaklaşımın bir önceki bölümde çalışılan normal ve teğetsel koordinatlar ile bazı dış benzerlikleri vardır. Bununla birlikte yörünge (yol) çok daha karışık veya silindirik koorinatların kullanılmasını gerektirecek bazı özellikleri olabilir. Silindirik koordinatlarda (r, ve z koordinatları kullanarak) yazılan denge denklemleri veya Hareket Denklemleri skaler formda ifade edilebilir: F r = ma r = m (r r 2 ) F = ma = m (r 2 r ) F z = ma z = m z Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-79/103 SİLİNDİRİK KOORDİNATLAR (devam) Eğer parçacığın hareketi sadece r düzleminde olacak şekilde sınırlandırılmışsa (örneğin z koordinatı sabit), bu durumda sadece aşağıda gösterilen ilk iki denklem kullanılacaktır. Dolayısıyla koordinat sistemi, polar koordinat sistemi haline gelmektedir. Bu durumda yol sadece nın bir fonksiyonu olur. F r = ma r = m(r r 2 ) F = ma = m(r 2r ) Sabit orijinli bir koordinat sistemi kullanıldığına dikkat edin, n-t yaklaşımında olduğu gibi cisim merkezli bir sistem değildir. Silindirik koordinatlarda karşılaşılan en direkt problemler, bilinen ivmelerin oluşturduğu F r, F, F z kuvvetlerinin bulunmasıdır. Ancak eğer parçacığın hareketi, herhangi bir anda tanımlı değilse, bu durumda kuvvetin yönüyle ve şiddetiyle ilgili bazı bilgilere ihtiyaç vardır. Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-80/103 40

41 TEĞETSEL VE NORMAL KUVVETLER Eğer bir P kuvveti bir parçacığı r = f ( ) ile tanımlanmış bir yol üzerinde harekete zorluyorsa, yolun parçacık üzerine uyguladığı N normal kuvveti her zaman yolun teğetine diktir. F sürtünme kuvveti ise her zaman yolun teğeti doğrultusunda ve hareketin tersi yönde etkir. N ve F nin yönleri açısı kullanılarak radyal koordinata göre tanımlanabilir. Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-81/103 AÇISININ HESABI Uzatılmış radyal çizgi ve eğrinin teğeti arasında tanımlanan açısı, bazı problemlerin çözümü için gerekli olabilir. Bu açı aşağıdaki ilişki ile hesaplanabilir. tan / Eğer hesap sonucu pozitif çıkarsa, pozitif yönde (radyal çizgiden teğete doğru saat ibrelerine ters yönde) gösterilir, eğer negatifse saat ibreleri yönde gösterilir. Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-82/103 41

42 AÇISININ HESABI 4-83/103 ÖRNEK Verilen: 0.2 kg lık pim (P), geometrisi r = (0.6 cos 2 ) m ile tanımlanan düz yüzeyli eğrisel bir kanal (slot) içinde bir harekete zorlanmaktadır (r metre cinsinde) Slotlu OA kolu ise = 3 rad/s lik sabit bir açısal hıza sahiptir. Hareket düşey düzlemdedir. İstenen: = 0 iken OA kolunun P pimi üzerine uyguladığı kuvvet. Plan: 1) SCD ve kinetik diyagramı çizin. 2) Kinematik denklemleri silindirik koordinatlar için çıkarın. 3) Kuvveti bulmak için hareket denklemini uygulayın. Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-84/103 42

43 Çözüm: 1) SCD ve kinetik diyagram: = 0 iken r, koordinat sistemini yerleştir ve bu iki diyagramı çiz. ÖRNEK (devam) SCD W N r = Kinetik diyagram ma ma r Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-85/103 ÖRNEK (devam) 2) r 0.6 cos 2 olduğu biliniyor, bu durumda: r 1.2sin 2 r 2.4 cos sin 2 Kinematik: = 0, = 3 rad/s (verilmiş), = 0 rad/s 2. r 0.6cos m r 1.2sin m/s r 2.4 cos sin m/s İvme bileşenleri a r = = (0.6)(-3) 2 = 27 m/s 2 a = 2 = (0.6)(0) + 2(0)(-3) = 0 m/s 2 Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-86/103 43

44 ÖRNEK (devam) 3) Hareket denklemi: yönü (+ ) F θ = ma θ N 0.2 (9.81) = 0.2 (0) N = 1.96 N SCD W N r = Kinetik diyagram ma ma r a r = 27 m/s 2 a θ = 0 m/s 2 Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-87/103 KAVRAMSAL YOKLAMA 1. Bir pilot, uçağı ile düşeyde sabit r yarıçaplı bir çember üzerinde sabit v hızı ile dönüşler C yaparken pilotun görünen ağırlığının en büyük olduğu yer A) A noktasıdır. B) B noktasıdır. C) C noktasıdır. D) D noktasıdır. 2. Pilotun C noktasındaki ağırlığının bulunması gerekseydi, problemi çözmek için aşağıdaki hangi yaklaşım en iyisi olurdu? A) Hareket Denklemi: Silindirik Koordinatlar B) Hareket Denklemi : Normal ve Teğetsel Koordinatlar C) Hareket Denklemi : Polar kordinatlar D) Fark yok hepsi kullanışsız. E) B ve C arasında yazı tura at. Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-88/103 r B D A 44

45 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ Given:Parlak yüzeyli C tenekesi A dan B ye doğru kıvrılan ve r = (1.2 cos ) m ile tanımlanan bir yoldan taşınmaktadır. Tenekenin kütlesi 3 kg dır. Hesaplarda sürtünmeyi ve tenekenin boyutlarını ihmal et İstenen: = 30 ve açısal hız sabit = 0.5 rad/s iken yolun tenekeye uyguladığı kuvvetler Plan: 1) Kinematik denklemler kullanarak ivme bileşenlerini bul. 2) SCD ve kinematik diyagramı çiz. 3) Kuvvetleri bulmak için hareket denklemini uygula. Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-89/103 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ (devam) Çözüm: 1) Kinematik: r 1.2 cos θ r 1.2 sin θ θ r 1.2 cos θ θ 1.2 sin θ θ = 30, θ = 0.5 rad/s and θ = 0 rad/s 2 iken, r = m r = 0.3 m/s r = m/s 2 İvmeler: a r = r rθ = (1.039) = m/s 2 a = rθ + 2r θ = (1.039) ( 0.3) 0.5 = 0.3 m/s 2 Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-90/103 45

46 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ (devam) 2) SCD Kinetik Diyagram 30 3(9.81) N r ma ma r 30 N F 3) Hareket denklemini uygula: F r = ma r -3(9.81) sin30 + N cos30 = 3 ( ) F = ma F + N sin30 3(9.81) cos30 = 3 (-0.3) N = 15.2 N, F = 17.0 N Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-91/103 DİKKAT YOKLAMASI 1. Eğer r = 2 ve = 2t ise t = 2 s için and nün büyüklüğünü bulun. A) 4 cm/sec, 2 rad/sec 2 B) 4 cm/sec, 0 rad/sec 2 C) 8 cm/sec, 16 rad/sec 2 D) 16 cm/sec, 0 rad/sec 2 Çeviren: Doç.Dr.İS MIISR 4-92/103 46

47 Örnek: Ders dışında incelenecek 4-93/103 Örnek: Ders dışında incelenecek (devam) 4-94/103 47

48 Örnek: Ders dışında incelenecek (devam) 4-95/103 Örnek: Ders dışında incelenecek (devam) 4-96/103 48

49 Örnek: Ders dışında incelenecek 4-97/103 Örnek: Ders dışında incelenecek (devam) 4-98/103 49

50 Örnek: Ders dışında incelenecek (devam) 4-99/103 Örnek: Ders dışında incelenecek (devam) 4-100/103 50

51 Örnek: Ders dışında incelenecek (devam) 4-101/103 Örnek: Ders dışında incelenecek (devam) 4-102/103 51

52 Örnek: Ders dışında incelenecek (devam) 0.96 m/s2 Fr = 131 N Fθ = 38.4 N Fz = 215 N 4-103/103 52