Düzgün olmayan dairesel hareket

Transkript

1 Düzgün olmayan dairesel hareket Dairesel harekette cisim üzerine etki eden net kuvvet merkeze doğru yönelmişse cismin hızı sabit kalır. Eğer net kuvvet merkeze doğru yönelmemişse, kuvvet teğetsel ve radyal bileşenlere ayrılır. F r vektör bileşeni, dairenin merkezine yönelmiştir ve merkezcil ivmenin meydana gelişinden sorumludur. F t vektör bileşeni, yörüngeye teğettir ve teğetsel ivmenin meydana gelişinden sorumludur ve parçacığın hızının zamanla değişmesine sebep olur. a t = v t a r = v2 r a = a t + a r

2 İvmeli sistemlerde hareket Bir parçacık, eylemsiz koordinat sisteminde ki bir gözlemciye göre a ivmesiyle hareket ediyorsa, eylemsiz gözlemci Newton un II. yasasını kullanarak (F = ma) parçacığın hareketini açıklayabilir Eğer gözlemci, ivmeli referans sistemi içinde ise parçacığın hareketine Newton un II. yasasını uygulamak isterse, yalancı (hayali) kuvvetlerle (eylemsizlik kuvvetleri) karşılaşır. Bu kuvvetler, ivmeli sistem içinde gerçek kuvvetler olarak görüldüğü açıklanmıştır. Ancak bu yalancı kuvvetlerin, hareket, eylemsiz koordinat sisteminden gözlendiği zaman mevcut olmadıkları belirtilmelidir.

3 m kütleli küçük bir top, ivme ölçme kutusunun tavanına asılmıştır. Eylemsiz koordinat sisteminde, durgun olan bir gözlemciye göre, topa etki eden kuvvetler T gerilmesi ve mg çekim kuvvetidir. Eylemsiz sistemdeki gözlemciye göre, m kütleli top ile kutunun ivmesi aynıdır ve bu ivme ipteki T gerilmesinin düşey bileşeni tarafından meydana getirilir. Buna göre eylemsiz sistemde ki gözlemci Newton un II. yasasını; F = T + mg = ma F x = TsinƟ = ma F y = TcosƟ mg = 0 a = gtanɵ Eylemli gözlemciye göre; F x = TsinƟ f hayali =0 f hayali = ma hayali F y = TcosƟ mg = 0

4 Şekilde görüldüğü gibi yatay düzlemde döner masa üzerinde sürtünmesiz olarak duran m kütleli bir bloğu ele alalım. Blok bir iple masanın merkezine bağlanmıştır. Eylemsiz gözlemciye göre; blok düzgün olarak dönerse v 2 r değerinde bir merkezcil ivme etkisinde kalır. Merkezcil ivmenin ipteki T gerilmesi tarafından meydana getirildiği sonucuna varılır ve T = mv 2 r yazılabilir. Eylemli gözlemciye göre; blok durgundur ve ivmesi sıfırdır. Bu eylemli gözlemci ipin cisme uyguladığı merkeze yönelmiş kuvveti dengeleyen dışarı doğru yönelmiş bir hayali kuvvet ile tanışır, bu kuvvetin değeri mv 2 r dir. T mv 2 r = 0

5 Alıştırma m kütleli küçük bir küre şekilde görüldüğü gibi, r uzunluğunda bir ipin ucuna bağlanarak düşey düzlemde bir O noktası etrafında dairesel yörüngede döndürülüyor. Cismin hızının v olduğu ve ipin düşeyle Ɵ açısı yaptığı bir anda, ipteki gerilmeyi hesaplayınız. F t = mgsinɵ = ma t a t = gsinɵ F r = T mgcosɵ = m v2 R T = m(v2 R + gcosɵ ) T üst = m v2 R g (cos 1800 = 1) T alt = m v2 R + g (cos 00 = +1)

6 Alıştırma..

7

8 Alıştırma

9

10 Bölüm 7: İş ve Kinetik Enerji Kuvvetin bir cismi hareket ettirmede ne ölçüde etkili olduğu ile ilgileniyorsak, yalnızca kuvvetin büyüklüğü ile değil aynı zamanda yönünüde göz önüne almanız gerekir Buna göre harekete neden olan gerekli işi belirlemek istediğimizde, cismin ne kadar hareket ettiğinide bilmemiz gerekir. Cisim üzerine sabit bir kuvvet uygulayan bir etkenin cisim üzerinde yaptığı iş (W); W = Fcosθ r İş skaler bir niceliktir ve birimi newton-metre (N.m) veya joule (J) dur.

11 İki vektörün skaler çarpımı.. Kuvvet ve yer değiştirm vektörünün (F. r) şeklinde yazılımı, skaler çarpım olarak adlandırılır. Genel olarak A ve B gibi herhangi iki vektörün skaler çarpımı, iki vektörün büyüklükleri ile bunların arasındaki açının kosinüsünün çarpımına eşittir; A. B = ABcosθ A. B = B. A A. B + C = A. B + A. C A, B ye dikse (θ = 90 0 ) A. B = 0 olur. A vektörü B vektörüne paralel ve aynı yönlüyse A. B = AB A vektörü B vektörüne paralel fakat ters yönlüyse A. B = AB İ, j ve k birim vektörlerinin skaler çarpımları; i. i = j. j = k. k = 1 i. j = i. k = j. k = 0 A ve B vektörlerinin bileşenleri cinsinden; A = A x i + A y j + A z k B= B x i + B y j + B z k A. B = A x B x + A y B y + A z B z

12 Alıştırma... SORU: A ve B vektörleri, A = 2i + 3j ve B= i + 2j olarak veriliyor. a) A. B skaler çarpımını bulunuz. b) A ile B arasındaki θ açısını bulunuz. CEVAP: a) A. B = (2i + 3j). ( i + 2j) = 2i. i + 3j2j = = 4 b)a = A x 2 + A y 2 = = 13 B= B x 2 + B y 2 = ( 1) = 5 cosθ = A.B AB = = 4 65 θ = cos = 60.20

13 Alıştırma... SORU: xy-düzleminde hareket eden bir parçacık, F = 5i + 2j N luk sabit bir kuvvetin etkisi ile d = 2i + 3j lik yerdeğiştirme yapıyor a) Yerdeğiştirme ve kuvvetin büyüklüklerini hesaplayınız b) F tarafından yapılan işi bulunuz. CEVAP: d = x 2 + y 2 = = 3.6 m F x = F x 2 + F y 2 = = 5.4 N W = F. d = 5i + 2j. 2i + 3j = 16 J

14 Alıştırma... SORU: Bir fabrika işçisi 30.0 kg lık bir sandığı düz bir zeminde, bir sabit hızla, üzerinde yatay bir kuvvet kullanarak 4.5 m itiyor. Sandık ile zemin arasındaki kinetik sürtünme katsayısı 0,25 e eşittir. A) işçinin uygulaması gereken kuvvetin büyüklüğünü bulunuz B) Bu kuvvet sandık üzerinde ne kadar iş yapar? C) Sandık üzerinde sürtünme ne kadar iş yapar? D) Normal kuvveti sandık üzerinde ne kadar iş yapar? E) Sandık üzerinde yapılan toplam iş ne kadardır?

15 Değişken bir kuvvetin yaptığı iş Bir parçacık, değişken bir F kuvveti etkisinde, x ekseni üzerinde x i x f yerdeğiştirmesi yapsın, Kuvvetin yaptığı işi hesaplarken, x yerdeğiştirmesinde, kuvvetin F x bileşeni yaklaşık olarak sabit olur. Bu küçük yerdeğiştirme için kuvvetin yaptığı iş; W = F x x Toplam iş yaklaşık olarak; x W~ f xi F x x lim x 0 x f x x i F x x = f xi F x dx Bu belirli integral, sayısal olarak x i ile x f arasındaki F x in x e göre değişim eğrisinin altındaki alana eşittir; x W = f xi F x dx Parçacık üzerine birden fazla kuvvet etkirse, toplam iş; x W = f xi Fx dx

16 Alıştırma.. SORU: Bir cisim üzerine etkiyen kuvvetin cisminkonumuna bağlılığı şekildeki gibidir; a) x = 0 8 m b) x = 8 12 m c) x = 0 12 m CEVAP: x a) W 0 8 = f xi F x dx = 0 F x dx = = 24J 2 b) W 8 12 = xi x f F x dx = 8 12 F x dx = 3 4 c) W 0 12 = W W 8 12 = 24J 6J = 18j 2 = 6J

17 Alıştırma.. SORU: F = (4xi + 3yj) N luk kuvvetin etkisindeki bir cisim orijinden başlayarak x = 5 m noktasına hareket etmektedir. Kuvvetin yaptığı işi bulunuz. CEVAP: W = ri r f F dr (dr = dxi + dyj) W = ri r f (4xi + 3yj) (dxi + dyj) W = ri r f (4xdx + 3ydy) = 0 5 4xdx y dy W = 4 x = 50 J

18 Yayın yaptığı iş.. Yay, denge konumundan gerilir veya sıkıştırılırsa, cisim üzerine; F s = kx (Hooke yasası) ( eksi işareti, yayın etkidiği kuvvetin daima yerdeğiştirme ile zıt yönlü olduğunu ifade eder ) Yay sabiti k olan bir yayın boyunu, kuvvet uygulayarak x i x s getirilsin, yayın elimize uyguladığı kuvvetin yaptığı iş; x W = f xi F x dx = xi x f x kxdx = k f xi xdx = k x2 2 x s x i = 1 2 kx i kx s 2 Yay başlangıçta uzamasız durumdaysa (x i = 0) ve yayı x kadar germiş veya sıkıştırılmışsa (± x), yay kuvvetinin yaptığı iş; W = 1 2 kx2

19 ÖDEV... Yarıçapları r = 0.5 m olan ve w=16 rad/s sabit açısal hızı ile dönen iki tekerlek arasına geçirilen ve eğim açısı θ=37 0 olan bir taşıyıcı bant üzerinde kütlesi m= 4 kg olan bir cisim bulunmaktadır. Cisim ile bant arasındaki sürtünme katsayısı f=1.25 dir. Cisim yay sabiti k=50 N/m olan bir yay sayesinde yere göre sabit durnaktadır. Cisim yaydan kurtulursa banda göre kaymaya başlar. Cismin banda göre kayması bittiğinde açığa çıkan enerji kaç J dür? (v = wr)